Câmp de rupere

În algebră , un câmp de divizare (sau câmp de reducibilitate complet ) al unui polinom $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ , definit pe un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , este cea mai mică extensie a $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ care conține toate rădăcinile $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ .

Definiție

Este $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ un câmp e $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ un polinom cu coeficienți în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . De sine $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ este constant, câmpul său de rupere este $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . Să fie acum $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ nu constantă de grad $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . O extensie $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ din $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este un câmp de rupere al $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ de sine:

exista $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in L$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n} \ în L}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n} \ în L}$ (nu neapărat distinct) ed $u\in K\setminus \{0\}$ ${\ displaystyle u \ în K \ setminus \ {0 \}}$ ${\ displaystyle u \ în K \ setminus \ {0 \}}$ astfel încât

p(x)=u(x-\alpha _{1})\cdots (x-\alpha _{n})

{\ displaystyle p (x) = u (x- \ alpha _ {1}) \ cdots (x- \ alpha _ {n})}

{\ displaystyle p (x) = u (x- \ alpha _ {1}) \ cdots (x- \ alpha _ {n})}

;

extensia generată de $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}}$ pe $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este egal cu $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ .

A doua condiție poate fi exprimată și spunând că, dacă $L_{1}$ ${\ displaystyle L_ {1}}$ $L_ {1}$ este o extensie intermediară între $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ și $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ (adică dacă $K\subseteq L_{1}\subsetneq L$ ${\ displaystyle K \ subseteq L_ {1} \ subsetneq L}$ ${\ displaystyle K \ subseteq L_ {1} \ subsetneq L}$ ), atunci există $i\in \{1,\ldots ,n\}$ ${\ displaystyle i \ in \ {1, \ ldots, n \}}$ ${\ displaystyle i \ in \ {1, \ ldots, n \}}$ astfel încât $\alpha _{i}\notin L_{1}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i} \ notin L_ {1}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i} \ notin L_ {1}}$ ; in acest sens, $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ este cea mai mică extensie a $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ care conține toate rădăcinile (nu neapărat distincte) $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}}$ din $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ .

Constructie

De sine $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ este un polinom cu coeficienți în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , este întotdeauna posibil să construim un câmp de rupere a $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ pe $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , prin aplicarea în mod repetat a coeficienților de inele de polinoame .

De fapt, să presupunem că $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ luată în calcul $K[x]$ ${\ displaystyle K [x]}$ $K [x]$ ca $f_{1}(x)\cdots f_{n}(x)$ ${\ displaystyle f_ {1} (x) \ cdots f_ {n} (x)}$ ${\ displaystyle f_ {1} (x) \ cdots f_ {n} (x)}$ . Deci, inelul coeficient $K_{1}[x]:=K[x]/(f_{1}(x))$ ${\ displaystyle K_ {1} [x]: = K [x] / (f_ {1} (x))}$ ${\ displaystyle K_ {1} [x]: = K [x] / (f_ {1} (x))}$ este un câmp (din moment ce $(f_{1}(x))$ ${\ displaystyle (f_ {1} (x))}$ ${\ displaystyle (f_ {1} (x))}$ este un ideal maxim ) pe care îl conține $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ și o rădăcină de $f_{1}(x)$ ${\ displaystyle f_ {1} (x)}$ ${\ displaystyle f_ {1} (x)}$ . Factorizarea $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ în $K_{1}[x]$ ${\ displaystyle K_ {1} [x]}$ ${\ displaystyle K_ {1} [x]}$ va include deci un factor liniar (corespunzător rădăcinii lui $f_{1}(x)$ ${\ displaystyle f_ {1} (x)}$ ${\ displaystyle f_ {1} (x)}$ ).

Procedura poate fi repetată (trecând apoi la factori $f_{2}(x),\ldots ,f_{n}(x)$ ${\ displaystyle f_ {2} (x), \ ldots, f_ {n} (x)}$ ${\ displaystyle f_ {2} (x), \ ldots, f_ {n} (x)}$ ) și se încheie de la gradul de $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ s-a terminat; câmpul rezultat este exact un câmp de divizare a $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ pe $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ .

Aplicând această construcție fiecărui polinom (cu ajutorul lemei lui Zorn dacă câmpul de pornire nu este numărabil ) obținem construcția unei închideri algebrice a $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ .

Unicitate

Două câmpuri despărțitoare ale aceluiași polinom, pe același câmp, sunt izomorfe .

De sine $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este un câmp închis algebric care conține $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ (de exemplu, dacă este închiderea sa algebrică ) atunci există un singur câmp de fragmentare a $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ cuprins în $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ . Automorfismele acestui câmp de divizare formează un grup care, dacă $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ este separabil pe $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , se numește grupul Galois al polinomului; măsoară, într-un anumit sens, în câte moduri diferite câmpul de divizare al $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ poate fi construit.

Subcâmpurile din $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ care sunt câmpuri de divizare a unui polinom separabil cu coeficienți în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ sunt exact extensiile de grad algebric , normal și finit ale $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ .

De sine $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ este ireductibil , acest câmp este închiderea normală a subcâmpului $K(\alpha )$ ${\ displaystyle K (\ alpha)}$ $K (\ alfa)$ , unde este $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este orice rădăcină a $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ .

Exemple

Este $K=\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle K = \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle K = \ mathbb {Q}}$ câmpul numerelor raționale e $p(x)=x^{3}-2$ ${\ displaystyle p (x) = x ^ {3} -2}$ ${\ displaystyle p (x) = x ^ {3} -2}$ . Câmpul de rupere al $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ cuprinse în câmpul numerelor complexe $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ (care este închis algebric) este subcâmpul generat (su $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ ) din rădăcina cubică a lui 2 și din a treia rădăcină a unității .
Câmpul de rupere al $x^{2}+1$ ${\ displaystyle x ^ {2} +1}$ $x ^ 2 + 1$ pe teren $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ numerele reale sunt totul $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ .
Câmpul de rupere al $x^{p^{n}}-x$ ${\ displaystyle x ^ {p ^ {n}} - x}$ ${\ displaystyle x ^ {p ^ {n}} - x}$ pe teren $\mathbb {Z} _{p}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ $\ mathbb {Z} _p$ din restul claselor modulo $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ (unde este $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este un număr prim ) este un câmp finit de ordine $p^{n}$ ${\ displaystyle p ^ {n}}$ $p ^ n$ . În special, existența și unicitatea câmpurilor despărțitoare demonstrează că, dacă $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ este puterea unui număr prim, atunci există un singur câmp (până la izomorfism) de cardinalitate $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ .

Bibliografie

Stefania Gabelli, Teoria ecuațiilor și teoria lui Galois , Milano, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică