Domeniul integrității

În algebră , un domeniu de integritate este un inel comutativ cu unitate astfel încât $0\neq 1$ ${\ displaystyle 0 \ neq 1}$ ${\ displaystyle 0 \ neq 1}$ unde produsul oricăror două elemente diferite de zero este un element diferit de zero. Domeniile de integritate sunt extensii ale numerelor întregi și oferă un set natural pentru studierea divizibilității.

Cu alte cuvinte, un domeniu de integritate este un inel comutativ fără divizori de zero. Mai exact inelul $(A;+,\cdot )$ ${\ displaystyle (A; +, \ cdot)}$ $(A; +, \ cdot)$ este un domeniu de integritate dacă se aplică următoarele condiții:

$a\cdot b=b\cdot a\ \ \forall a,b\in A$ ${\ displaystyle a \ cdot b = b \ cdot a \ \ \ forall a, b \ în A}$ $a \ cdot b = b \ cdot a \ \ \ forall a, b \ în A$
$a\cdot b=0\Rightarrow a=0\ \lor \ b=0$ ${\ displaystyle a \ cdot b = 0 \ Rightarrow a = 0 \ \ lor \ b = 0}$ ${\ displaystyle a \ cdot b = 0 \ Rightarrow a = 0 \ \ lor \ b = 0}$

A doua lege se numește Legea de anulare a produselor . În mod echivalent, un domeniu de integritate poate fi definit ca un inel comutativ în care idealul este nul $\{0\}$ ${\ displaystyle \ {0 \}}$ $\ {0 \}$ este prim sau ca subinel al unui câmp .

Condiția care $0\neq 1$ ${\ displaystyle 0 \ neq 1}$ ${\ displaystyle 0 \ neq 1}$ servește singurului scop de a exclude inelul banal $\{0\}$ ${\ displaystyle \ {0 \}}$ $\ {0 \}$ cu un singur element.

Exemple

Domenii de integritate

Exemplul tipic este inelul $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ a numerelor întregi.
Fiecare câmp este un domeniu de integritate. În schimb, fiecare domeniu de integritate artinian este un câmp. În special, singurele domenii de integritate finită sunt câmpurile finite .
Inelul $D[x]$ ${\ displaystyle D [x]}$ ${\ displaystyle D [x]}$ a polinoamelor din $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ un coeficienți într-un domeniu de integritate $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ este, de asemenea, un domeniu al integrității. De exemplu, inelul $\mathbb {Z} [x]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [x]}$ $\ mathbb {Z} [x]$ de polinoame cu coeficienți întregi este un domeniu de integritate; precum și inelul $\mathbb {R} [x,y]$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} [x, y]}$ $\ mathbb {R} [x, y]$ polinoame în două variabile cu coeficienți reali .
Ansamblul tuturor numerelor reale ale formei $a+b{\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle a + b {\ sqrt {2}}}$ $a + b {\ sqrt {2}}$ cu $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ numere întregi este un subinel al $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ și, prin urmare, un domeniu al integrității. Un exemplu similar este dat de subinelul numerelor complexe ale formei $a+bi$ ${\ displaystyle a + bi}$ $a + bi$ cu $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ numere întregi (numărul întreg Gauss ).
Numărul întreg p-adic .
De sine $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este un subgrup deschis conectat al planului complex $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ , apoi inelul $H(U)$ ${\ displaystyle H (U)}$ ${\ displaystyle H (U)}$ a funcțiilor holomorfe $f\colon U\to \mathbb {C}$ ${\ displaystyle f \ colon U \ to \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle f \ colon U \ to \ mathbb {C}}$ este un domeniu al integrității.
De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un inel comutativ și $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este un ideal în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , apoi inelul coeficient $A/P$ ${\ displaystyle A / P}$ ${\ displaystyle A / P}$ este un domeniu al integrității dacă și numai dacă $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este un ideal primar .

Inele care nu sunt domenii de integritate

Grupul ciclic a terminat cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ elementele au, de asemenea, o evidentă structură inelară comutativă. De sine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este un număr prim , acest inel este un câmp și, prin urmare, un domeniu de integritate. Dacă în schimb $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ nu este prim, inelul nu este un domeniu al integrității. Într-adevăr: de când $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ nu este prim exist $a<n$ ${\ displaystyle a <n}$ $a <n$ Și $b<n$ ${\ displaystyle b <n}$ ${\ displaystyle b <n}$ astfel încât $n=ab$ ${\ displaystyle n = ab}$ $n = ab$ , și o astfel de egalitate în grup devine $0=ab$ ${\ displaystyle 0 = ab}$ ${\ displaystyle 0 = ab}$ , cu $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ altul decât zero.
Un inel necomutativ nu este un domeniu de integritate. De exemplu, inelul matricial $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ în general nu este comutativ.

Câmpul fracțiilor

Același subiect în detaliu: câmpul cotientului .

De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un domeniu al integrității, cel mai mic domeniu $\mathrm {Quot} (A)$ ${\ displaystyle \ mathrm {Citat} (A)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {Citat} (A)}$ care contine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ca subring este determinat doar până la izomorfisme și se numește câmpul fracțiilor sau câmpul coeficient al lui $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Câmpul coeficientului poate fi construit în mod explicit, citând setul de perechi ale produsului cartezian al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , scris în formă $a/b$ ${\ displaystyle a / b}$ $a / b$ , cu $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $b\neq 0$ ${\ displaystyle b \ neq 0}$ ${\ displaystyle b \ neq 0}$ , prin relația de echivalență $a/b\sim c/d$ ${\ displaystyle a / b \ sim c / d}$ ${\ displaystyle a / b \ sim c / d}$ dacă și numai dacă $ad=bc$ ${\ displaystyle ad = bc}$ $ad = bc$ și asigurându-i operațiuni

a/b+c/d=(ad+bc)/bd

{\ displaystyle a / b + c / d = (ad + bc) / bd}

a / b + c / d = (ad + bc) / bd

(a/b)(c/d)=ac/bd

{\ displaystyle (a / b) (c / d) = ac / bd}

(a / b) (c / d) = ac / bd

.

Câmpul fracțiilor de numere întregi este câmpul numerelor raționale : în acest caz relația de echivalență este cea obișnuită, deci $4/3$ ${\ displaystyle 4/3}$ ${\ displaystyle 4/3}$ Și $8/6$ ${\ displaystyle 8/6}$ ${\ displaystyle 8/6}$ sunt într-adevăr același număr rațional. Câmpul fracțiunilor unui câmp este câmpul în sine.

Alte proprietăți

Este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ un domeniu al integrității.

De sine $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ sunt două elemente ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ astfel încât $ax=a$ ${\ displaystyle ax = a}$ ${\ displaystyle ax = a}$ Și $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este diferit de zero, atunci „poate fi simplificat” totuși $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ nu este inversabil și obține $x=1$ ${\ displaystyle x = 1}$ $x = 1$ : de fapt avem $a(x-1)=0$ ${\ displaystyle a (x-1) = 0}$ ${\ displaystyle a (x-1) = 0}$ prin urmare $x=1$ ${\ displaystyle x = 1}$ $x = 1$ deoarece $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un domeniu al integrității.
Caracteristica $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este zero sau un număr prim .
De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ are prima caracteristică $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ , asa de $f(x)=x^{p}$ ${\ displaystyle f (x) = x ^ {p}}$ ${\ displaystyle f (x) = x ^ {p}}$ definește un homomorfism între inelele injective $f\colon A\to A$ ${\ displaystyle f \ colon A \ to A}$ ${\ displaystyle f \ colon A \ to A}$ , numit omoborfism Frobenius .

Divizibilitate, elemente prime și ireductibile

Același subiect în detaliu: Factorizarea (teoria inelului) .

În orice inel putem extinde conceptele de divizibilitate și număr prim prezent în $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ : într-un inel comutativ definițiile sunt totuși mult mai simple, iar într-un domeniu de integritate relația dintre elemente și funcționarea produsului se dovedește a fi mai apropiată de ceea ce se întâmplă în $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ .

Separabilitate

De sine $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt elemente ale unui inel comutativ $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , să spunem asta $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ împarte $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sau $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este divizorul lui $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sau $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ este un multiplu al $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ dacă și numai dacă există un element $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ astfel încât $ax=b$ ${\ displaystyle ax = b}$ ${\ displaystyle ax = b}$ . În acest caz scriem $a|b$ ${\ displaystyle a | b}$ $a | b$ . Avem următoarele proprietăți:

de sine $a|b$ ${\ displaystyle a | b}$ $a | b$ Și $b|c$ ${\ displaystyle b | c}$ ${\ displaystyle b | c}$ , asa de $a|c$ ${\ displaystyle a | c}$ ${\ displaystyle a | c}$ ;
de sine $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ împarte $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , asa de $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ împarte orice multiplu de $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ ;
de sine $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ împarte două elemente, atunci $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ le împarte și suma și diferența lor.

Elementele care împart $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ sunt unitățile din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , și sunt tocmai elementele inversabile ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Unitățile împart orice alt element.

De sine $a|b$ ${\ displaystyle a | b}$ $a | b$ Și $b|a$ ${\ displaystyle b | a}$ ${\ displaystyle b | a}$ , atunci să spunem asta $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt elemente asociate ; $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt asociate dacă și numai dacă există o unitate $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ astfel încât $au=b$ ${\ displaystyle au = b}$ ${\ displaystyle au = b}$ .

Elemente prime și ireductibile

În încercarea de a extinde o definiție a numărului prim din $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ la un inel comutativ $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ oricare, observăm imediat că două definiții echivalente în $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ s-ar putea să nu mai fie așa în general. Din acest motiv, definim două concepte distincte, vorbind despre elemente ireductibile și prime .

Un element $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este ireductibil dacă nu este o unitate și nu poate fi scris ca produs al două neunități.
Un element $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ care nu este o unitate și diferită de zero $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este primul dacă $p|ab$ ${\ displaystyle p | ab}$ ${\ displaystyle p | ab}$ implica $p|a$ ${\ displaystyle p | a}$ ${\ displaystyle p | a}$ sau $p|b$ ${\ displaystyle p | b}$ ${\ displaystyle p | b}$ , pentru fiecare $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Cele două definiții coincid pe $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ : un număr $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este ireductibil (sau prim) dacă și numai dacă $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ sau $-n$ ${\ displaystyle -n}$ $-n$ este un număr prim.

De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un domeniu al integrității, un element prim este întotdeauna ireductibil. De fapt, să presupunem că $p=ab$ ${\ displaystyle p = ab}$ ${\ displaystyle p = ab}$ unde este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt elemente ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Atunci $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ împarte $la b$ ${\ displaystyle ab}$ $ab$ . Prin urmare $p|a$ ${\ displaystyle p | a}$ ${\ displaystyle p | a}$ sau $p|b$ ${\ displaystyle p | b}$ ${\ displaystyle p | b}$ deoarece $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este primul. Presupune $p|a$ ${\ displaystyle p | a}$ ${\ displaystyle p | a}$ , acesta este $a=pq$ ${\ displaystyle a = pq}$ ${\ displaystyle a = pq}$ . Prin urmare $p=pqb$ ${\ displaystyle p = pqb}$ ${\ displaystyle p = pqb}$ , adică $p(1-qb)=0$ ${\ displaystyle p (1-qb) = 0}$ ${\ displaystyle p (1-qb) = 0}$ . Atâta timp cât $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un domeniu al integrității și $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ nu este zero, avem $qb=1$ ${\ displaystyle qb = 1}$ ${\ displaystyle qb = 1}$ prin urmare $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ este o unitate. Prin urmare $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este ireductibil.

În general, un element ireductibil poate să nu fie prim. De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un domeniu de factorizare unic, cele două concepte sunt echivalente.