Grupul cotientului

În matematică , un grup coeficient este o anumită structură algebrică care poate fi construită dintr-un grup dat $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ și un subgrup normal al acestuia $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ .

Definiție

Premisă

Este $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ un grup , e $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ un subgrup normal al acestuia . Relația de echivalență poate fi introdusă pe $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ definit, pentru fiecare $g, g^{'}$ ${\ displaystyle g, g '}$ ${\ displaystyle g, g '}$ aparținând $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , din ^[1]

g\sim g^{\prime }\quad {\overset {def}{\Longleftrightarrow }}\quad g^{\prime }g^{-1}\in H\quad \Longleftrightarrow \quad g^{\prime }=hg,\quad h\in H

{\ displaystyle g \ sim g ^ {\ prime} \ quad {\ overset {def} {\ Longleftrightarrow}} \ quad g ^ {\ prime} g ^ {- 1} \ în H \ quad \ Longleftrightarrow \ quad g ^ {\ prime} = hg, \ quad h \ în H}

{\ displaystyle g \ sim g ^ {\ prime} \ quad {\ overset {def} {\ Longleftrightarrow}} \ quad g ^ {\ prime} g ^ {- 1} \ în H \ quad \ Longleftrightarrow \ quad g ^ {\ prime} = hg, \ quad h \ în H}

.

Este indicat cu $[g]$ ${\ displaystyle [g]}$ ${\ displaystyle [g]}$ clasa de echivalență

[g]=\{hg\mid h\in H\}=Hg

{\ displaystyle [g] = \ {hg \ mid h \ in H \} = Hg}

{\ displaystyle [g] = \ {hg \ mid h \ in H \} = Hg}

pentru fiecare $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ aparținând $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ ( lateralul drept al $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ în $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ ). Într-un mod similar, este posibil să se definească clasa

[g]^{*}=\{gh\mid h\in H\}=gH

{\ displaystyle [g] ^ {*} = \ {gh \ mid h \ in H \} = gH}

{\ displaystyle [g] ^ {*} = \ {gh \ mid h \ in H \} = gH}

( lateral stâng ), definit de relația:

g\sim ^{*}g^{\prime }\quad {\overset {def}{\Longleftrightarrow }}\quad g^{-1}g^{\prime }\in H\quad \Longleftrightarrow \quad g^{\prime }=gh,\quad h\in H

{\ displaystyle g \ sim ^ {*} g ^ {\ prime} \ quad {\ overset {def} {\ Longleftrightarrow}} \ quad g ^ {- 1} g ^ {\ prime} \ în H \ quad \ Longleftrightarrow \ quad g ^ {\ prime} = gh, \ quad h \ în H}

{\ displaystyle g \ sim ^ {*} g ^ {\ prime} \ quad {\ overset {def} {\ Longleftrightarrow}} \ quad g ^ {- 1} g ^ {\ prime} \ în H \ quad \ Longleftrightarrow \ quad g ^ {\ prime} = gh, \ quad h \ în H}

.

Atâta timp cât $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ Este normal, $[g]=[g]^{*}$ ${\ displaystyle [g] = [g] ^ {*}}$ ${\ displaystyle [g] = [g] ^ {*}}$ , adică cele laterale coincid.

Grupul cotientului

Se numește grup de coeficient $G/H$ ${\ displaystyle G / H}$ ${\ displaystyle G / H}$ întregul

G/H=\{[g]\mid g\in G\}

{\ displaystyle G / H = \ {[g] \ mid g \ în G \}}

{\ displaystyle G / H = \ {[g] \ mid g \ în G \}}

a claselor de echivalență; clasa $[g]$ ${\ displaystyle [g]}$ ${\ displaystyle [g]}$ este bine definit, deoarece relația de echivalență realizează o partiție a $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , asa de

g\not \sim g^{\prime }\Rightarrow [g]\cap [g^{\prime }]=\varnothing

{\ displaystyle g \ not \ sim g ^ {\ prime} \ Rightarrow [g] \ cap [g ^ {\ prime}] = \ varnothing}

{\ displaystyle g \ not \ sim g ^ {\ prime} \ Rightarrow [g] \ cap [g ^ {\ prime}] = \ varnothing}

Și

\bigsqcup _{g\in G}[g]=G

{\ displaystyle \ bigsqcup _ {g \ in G} [g] = G}

{\ displaystyle \ bigsqcup _ {g \ in G} [g] = G}

.

Întregul $G/H$ ${\ displaystyle G / H}$ ${\ displaystyle G / H}$ poate fi văzut și ca setul lateralelor din $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ în $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ .

Structura grupului

Întregul $G/H$ ${\ displaystyle G / H}$ ${\ displaystyle G / H}$ este bine definit pentru fiecare tip de subgrup; dacă totuși $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ este normal (așa cum sa presupus), poate fi înarmat $G/H$ ${\ displaystyle G / H}$ ${\ displaystyle G / H}$ a unei structuri de grup într-un mod natural prin inducerea produsului din cel definit în $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ ; de fapt, următorul produs este definit:

*:G/H\times G/H\to G/H

{\ displaystyle *: G / H \ ori G / H \ până la G / H}

{\ displaystyle *: G / H \ ori G / H \ până la G / H}

gH*g^{\prime }H:=gg^{\prime }H

{\ displaystyle gH * g ^ {\ prime} H: = dd ^ {\ prime} H}

{\ displaystyle gH * g ^ {\ prime} H: = dd ^ {\ prime} H}

sau $\quad [g]*[g^{\prime }]:=[gg^{\prime }]$ ${\ displaystyle \ quad [g] * [g ^ {\ prime}]: = [dd ^ {\ prime}]}$ ${\ displaystyle \ quad [g] * [g ^ {\ prime}]: = [dd ^ {\ prime}]}$ .

Acest lucru satisface axiomele grupului, deoarece:

de sine $a\sim a^{\prime }$ ${\ displaystyle a \ sim a ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle a \ sim a ^ {\ prime}}$ Și $b\sim b^{\prime }$ ${\ displaystyle b \ sim b ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle b \ sim b ^ {\ prime}}$ (adică dacă $a^{\prime }=ah$ ${\ displaystyle a ^ {\ prime} = ah}$ ${\ displaystyle a ^ {\ prime} = ah}$ Și $b^{\prime }=bk$ ${\ displaystyle b ^ {\ prime} = bk}$ ${\ displaystyle b ^ {\ prime} = bk}$ , cu $h,k\in H$ ${\ displaystyle h, k \ in H}$ ${\ displaystyle h, k \ in H}$ ), asa de $(ab)^{-1}a^{\prime }b^{\prime }=b^{-1}a^{-1}a^{\prime }b^{\prime }=b^{-1}hbk$ ${\ displaystyle (ab) ^ {- 1} a ^ {\ prime} b ^ {\ prime} = b ^ {- 1} a ^ {- 1} a ^ {\ prime} b ^ {\ prime} = b ^ {- 1} hbk}$ ${\ displaystyle (ab) ^ {- 1} a ^ {\ prime} b ^ {\ prime} = b ^ {- 1} a ^ {- 1} a ^ {\ prime} b ^ {\ prime} = b ^ {- 1} hbk}$ , care aparține $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ de ce este normal acest lucru; în consecință, $ab\sim a^{\prime }b^{\prime }$ ${\ displaystyle ab \ sim a ^ {\ prime} b ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle ab \ sim a ^ {\ prime} b ^ {\ prime}}$ , iar produsul este bine definit;
elementul unitar al $G/H$ ${\ displaystyle G / H}$ ${\ displaystyle G / H}$ este exact $[1]$ ${\ displaystyle [1]}$ ${\ displaystyle [1]}$ (unde este $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ este elementul de unitate al $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ ), ca, pentru fiecare $g\in G$ ${\ displaystyle g \ în G}$ $g \ în G$ , da $gH*1H=(g1)H=gH$ ${\ displaystyle gH * 1H = (g1) H = gH}$ ${\ displaystyle gH * 1H = (g1) H = gH}$ .
relația merită $[g]^{-1}=[g^{-1}]$ ${\ displaystyle [g] ^ {- 1} = [g ^ {- 1}]}$ ${\ displaystyle [g] ^ {- 1} = [g ^ {- 1}]}$ , deoarece $gH*g^{-1}H=(gg^{-1})H=1H$ ${\ displaystyle gH * g ^ {- 1} H = (dd ^ {- 1}) H = 1H}$ ${\ displaystyle gH * g ^ {- 1} H = (dd ^ {- 1}) H = 1H}$ (acesta este $g^{-1}H$ ${\ displaystyle g ^ {- 1} H}$ ${\ displaystyle g ^ {- 1} H}$ este inversul $g H.$ ${\ displaystyle gH}$ $gH$ ).

Prin urmare, $(G/H,*)$ ${\ displaystyle (G / H, *)}$ ${\ displaystyle (G / H, *)}$ este un grup .

Proiecție

Pentru fiecare grup de coeficienți, este posibil să se definească în mod natural o proiecție canonică definită de aplicație:

\pi :G\to G/H

{\ displaystyle \ pi: G \ to G / H}

{\ displaystyle \ pi: G \ to G / H}

g\to [g]

{\ displaystyle g \ to [g]}

{\ displaystyle g \ to [g]}

.

Această aplicație este un homomorfism între grupuri , adică

\pi (gg^{\prime })=\pi (g)*\pi (g^{\prime })

{\ displaystyle \ pi (dd ^ {\ prime}) = \ pi (g) * \ pi (g ^ {\ prime})}

{\ displaystyle \ pi (dd ^ {\ prime}) = \ pi (g) * \ pi (g ^ {\ prime})}

pentru fiecare $g,g^{\prime }$ ${\ displaystyle g, g ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle g, g ^ {\ prime}}$ aparținând $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ . Aplicația este, de asemenea, evident surjectivă , având în vedere că, pentru fiecare $[g]$ ${\ displaystyle [g]}$ ${\ displaystyle [g]}$ , da

\pi ^{-1}([g])\ni g

{\ displaystyle \ pi ^ {- 1} ([g]) \ ni g}

{\ displaystyle \ pi ^ {- 1} ([g]) \ ni g}

.

Mai mult, nucleul aplicației este exact întregul $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ , având în vedere că ^[2]

g\in \operatorname {Ker} (\pi )\Leftrightarrow \pi (g)=[1]\Leftrightarrow gH=1H\Leftrightarrow g=1h,h\in H\Leftrightarrow g\in H

{\ displaystyle g \ in \ operatorname {Ker} (\ pi) \ Leftrightarrow \ pi (g) = [1] \ Leftrightarrow gH = 1H \ Leftrightarrow g = 1h, h \ in H \ Leftrightarrow g \ in H}

{\ displaystyle g \ in \ operatorname {Ker} (\ pi) \ Leftrightarrow \ pi (g) = [1] \ Leftrightarrow gH = 1H \ Leftrightarrow g = 1h, h \ in H \ Leftrightarrow g \ in H}

Notă

^ Notația multiplicativă pentru legea compoziției definită pe grup este utilizată mai jos.
^ Rețineți că nucleul unui homomorfism din $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ la $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este ansamblul elementelor din $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ că funcția se aplică în elementul neutru al $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ (în acest caz, $[1]$ ${\ displaystyle [1]}$ ${\ displaystyle [1]}$ ).

Bibliografie

Serge Lang , Algebra liniară , Bollati Boringhieri , 1970, ISBN 88-339-5035-2 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Notația multiplicativă pentru legea compoziției definită pe grup este utilizată mai jos.

[2] Rețineți că nucleul unui homomorfism din $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ la $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este ansamblul elementelor din $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ că funcția se aplică în elementul neutru al $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ (în acest caz, $[1]$ ${\ displaystyle [1]}$ ${\ displaystyle [1]}$ ).

[1]

[2]