Reciprocitate quadratică

În matematică , în teoria numerelor , legea reciprocității pătratice se referă la solvabilitatea relativă în aritmetica modulară a două ecuații pătratice corelate, oferind condițiile pentru care ambele, nici una sau doar una dintre ele au o soluție. În consecință, ne permite să determinăm solvabilitatea oricărei ecuații pătratice în aritmetica modulară.

A fost inițial conjecturat de Euler și Legendre și dovedit în mod satisfăcător de Gauss în 1796.

Afirmație

Fie p și q două numere prime diferite diferite de 2. Aceasta implică, în special, că p și q sunt congruente cu 1 sau cu 3 ( mod 4). Dacă cel puțin unul dintre ei este congruent cu 1 mod 4, atunci congruența

x^{2}\equiv p\ ({\rm {mod}}\ q)

{\ displaystyle x ^ {2} \ equiv p \ ({\ rm {mod}} \ q)}

x ^ {2} \ equiv p \ ({{\ rm {mod}}} \ q)

are o soluție x dacă și numai dacă congruență

y^{2}\equiv q\ ({\rm {mod}}\ p)

{\ displaystyle y ^ {2} \ equiv q \ ({\ rm {mod}} \ p)}

y ^ {2} \ equiv q \ ({{\ rm {mod}}} \ p)

are o soluție y (cele două soluții vor fi în general diferite). Dacă în schimb ambele numere prime sunt congruente cu 3 mod 4, atunci congruența

x^{2}\equiv p\ ({\rm {mod}}\ q)

{\ displaystyle x ^ {2} \ equiv p \ ({\ rm {mod}} \ q)}

x ^ {2} \ equiv p \ ({{\ rm {mod}}} \ q)

are o soluție x dacă și numai dacă congruență

y^{2}\equiv q\ ({\rm {mod}}\ p)

{\ displaystyle y ^ {2} \ equiv q \ ({\ rm {mod}} \ p)}

y ^ {2} \ equiv q \ ({{\ rm {mod}}} \ p)

Nu are nicio soluție.

Folosind simbolul Legendre

\left({\frac {p}{q}}\right)=\left\{{\begin{matrix}1&(p\ \mathrm {quadrato\ mod\ } q)\\-1&(\mathrm {altrimenti} )\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) = \ left \ {{\ begin {matrix} 1 & (p \ \ mathrm {square \ mod \} q) \\ - 1 & (\ mathrm {else}) \ end {matrix}} \ right.}

\ left ({\ frac {p} {q}} \ right) = \ left \ {{\ begin {matrix} 1 & (p \ {\ mathrm {square \ mod \}} q) \\ - 1 & ( {\ mathrm {else}}) \ end {matrix}} \ right.

se poate rezuma ca

\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{\frac {(p-1)(q-1)}{4}}.

{\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) \ left ({\ frac {q} {p}} \ right) = (- 1) ^ {\ frac {(p-1) (q-1)} {4}}.}

\ left ({\ frac {p} {q}} \ right) \ left ({\ frac {q} {p}} \ right) = (- 1) ^ {{\ frac {(p-1) ( q-1)} {4}}}}.

De cand ${\frac {(p-1)(q-1)}{4}}$ ${\ displaystyle {\ frac {(p-1) (q-1)} {4}}}$ ${\ frac {(p-1) (q-1)} {4}}$ este chiar dacă cel puțin unul dintre p și q este congruent cu 1 mod 4 și impar numai atunci când ambele p și q sunt congruente cu 3 mod 4, $\left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) \ left ({\ frac {q} {p}} \ right)}$ $\ left ({\ frac {p} {q}} \ right) \ left ({\ frac {q} {p}} \ right)$ este egal cu 1 dacă cel puțin unul dintre p și q este congruent cu 1 mod 4 și este egal cu - 1 când ambele p și q sunt congruente cu 3 mod 4.

Exemplu

Dacă luăm de exemplu p egal cu 11 și q cu 19, legea reciprocității pătratice ne spune că $\left({\frac {11}{19}}\right)$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {11} {19}} \ right)}$ $\ left ({\ frac {11} {19}} \ right)$ = $-\left({\frac {19}{11}}\right)$ ${\ displaystyle - \ left ({\ frac {19} {11}} \ right)}$ $- \ left ({\ frac {19} {11}} \ right)$ , care la rândul său este egal cu $-\left({\frac {8}{11}}\right)$ ${\ displaystyle - \ left ({\ frac {8} {11}} \ right)}$ $- \ left ({\ frac {8} {11}} \ right)$ sau $-\left({\frac {-3}{11}}\right)$ ${\ displaystyle - \ left ({\ frac {-3} {11}} \ right)}$ $- \ left ({\ frac {-3} {11}} \ right)$ pentru proprietățile aritmeticii modulare. Pentru a continua, avem nevoie de o procedură pentru a calcula explicit $\left({\frac {2}{q}}\right)$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {2} {q}} \ right)}$ $\ left ({\ frac {2} {q}} \ right)$ Și $\left({\frac {-1}{q}}\right)$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {-1} {q}} \ right)}$ $\ left ({\ frac {-1} {q}} \ right)$ . De cand

\left({\frac {-1}{q}}\right)=(-1)^{\frac {q-1}{2}}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {-1} {q}} \ right) = (- 1) ^ {\ frac {q-1} {2}}}

\ left ({\ frac {-1} {q}} \ right) = (- 1) ^ {{{\ frac {q-1} {2}}}}

,

putem continua să vedem asta $-\left({\frac {-3}{11}}\right)$ ${\ displaystyle - \ left ({\ frac {-3} {11}} \ right)}$ $- \ left ({\ frac {-3} {11}} \ right)$ = $\left({\frac {3}{11}}\right)$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {3} {11}} \ right)}$ $\ left ({\ frac {3} {11}} \ right)$ , și continuați lanțul cu $-\left({\frac {11}{3}}\right)$ ${\ displaystyle - \ left ({\ frac {11} {3}} \ right)}$ $- \ left ({\ frac {11} {3}} \ right)$ , $-\left({\frac {2}{3}}\right)$ ${\ displaystyle - \ left ({\ frac {2} {3}} \ right)}$ $- \ left ({\ frac {2} {3}} \ right)$ sau $-\left({\frac {-1}{3}}\right)=1$ ${\ displaystyle - \ left ({\ frac {-1} {3}} \ right) = 1}$ $- \ left ({\ frac {-1} {3}} \ right) = 1$ , completând astfel calculul.

Variat

Gauss a fost foarte mândru de această lege, pe care a definit-o Aureum Theorema , atât de mult încât de-a lungul anilor a publicat mai multe demonstrații. Cartea lui Franz Lemmermeyer Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein , publicată în 2000, conține citate a 196 de dovezi diferite ale legii de reciprocitate pătratică.

Există, de asemenea, legile cubice, quartice (biquadratic) și ale exponenței majore ale reciprocității; dar deja două dintre rădăcinile cubice ale lui 1 ( rădăcinile unității ) nu sunt numere reale și, prin urmare, astfel de reciprocități se află în afara aritmeticii numerelor raționale.

Lema lui Gauss se ocupă de proprietățile reziduurilor pătratice și este utilizată în două dintre dovezile Gaussiene ale legii.

Bibliografie

H. Davenport, Arithmetic Superior, Zanichelli, Bologna, 1994, ISBN 88-08-09154-6 - Capitolul III.5

linkuri externe

(EN) Reciprocity quadratic , al Enciclopediei Britannice , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică