Lema Gauss (teoria numerelor)

În teoria numerelor , lema Gauss , care și-a luat numele de la Carl Friedrich Gauss , este o teoremă utilizată în unele dovezi ale reciprocității pătratice .

Pentru fiecare prim ciudat $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ , este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ un coprimo întreg cu $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ . Luați în considerare numerele întregi :

a,2a,3a,\ldots ,{\frac {p-1}{2}}a

{\ displaystyle a, 2a, 3a, \ ldots, {\ frac {p-1} {2}} a}

{\ displaystyle a, 2a, 3a, \ ldots, {\ frac {p-1} {2}} a}

și reziduurile lor modulo $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ redus în raza de acțiune $\left[-{\frac {p}{2}},{\frac {p}{2}}\right]$ ${\ displaystyle \ left [- {\ frac {p} {2}}, {\ frac {p} {2}} \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [- {\ frac {p} {2}}, {\ frac {p} {2}} \ right]}$ . Este $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ numărul acestor reziduuri care sunt negative. Atunci:

\left({\frac {a}{p}}\right)=(-1)^{s},

{\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {p}} \ right) = (- 1) ^ {s},}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {p}} \ right) = (- 1) ^ {s},}

unde este $\left({\frac {a}{p}}\right)$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {p}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {p}} \ right)}$ este simbolul Legendre . Dintr-un punct de vedere destul de sofisticat, acesta reprezintă un caz de transfer .

Demonstrație

După criteriul Euler știm că

\left({\frac {a}{p}}\right)=a^{\frac {p-1}{2}}{\pmod {p}}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {p}} \ right) = a ^ {\ frac {p-1} {2}} {\ pmod {p}}}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {p}} \ right) = a ^ {\ frac {p-1} {2}} {\ pmod {p}}}

înmulțind ambele părți cu factorialul de ${\frac {p-1}{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {p-1} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {p-1} {2}}}$

\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {p-1}{2}}\right)!=\prod _{n=1}^{\frac {p-1}{2}}an{\pmod {p}}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {p}} \ right) \ left ({\ frac {p-1} {2}} \ right)! = \ prod _ {n = 1} ^ {\ frac {p-1} {2}} an {\ pmod {p}}}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {p}} \ right) \ left ({\ frac {p-1} {2}} \ right)! = \ prod _ {n = 1} ^ {\ frac {p-1} {2}} an {\ pmod {p}}}

să analizăm acum reziduurile de $la n$ ${\ displaystyle an}$ ${\ displaystyle an}$ redus în raza de acțiune $\left[-{\frac {p}{2}},{\frac {p}{2}}\right]$ ${\ displaystyle \ left [- {\ frac {p} {2}}, {\ frac {p} {2}} \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [- {\ frac {p} {2}}, {\ frac {p} {2}} \ right]}$ . Atunci:

nu există două reziduuri similare; de fapt dacă

ak_{1}=ak_{2}{\pmod {p}}

{\ displaystyle ak_ {1} = ak_ {2} {\ pmod {p}}}

{\ displaystyle ak_ {1} = ak_ {2} {\ pmod {p}}}

asa de

p|k_{1}-k_{2}

{\ displaystyle p | k_ {1} -k_ {2}}

{\ displaystyle p | k_ {1} -k_ {2}}

, și a fi

{\displaystyle k_{1},k_{2}<semantics><mrow class=

{\ displaystyle k_ {1}, k_ {2} <p}

{\ displaystyle k_ {1}, k_ {2} <p}

, acest lucru este posibil numai dacă

k_{1}=k_{2}

{\ displaystyle k_ {1} = k_ {2}}

{\ displaystyle k_ {1} = k_ {2}}

nu există două reziduuri opuse; de fapt dacă

ak_{1}=-ak_{2}{\pmod {p}}

{\ displaystyle ak_ {1} = - ak_ {2} {\ pmod {p}}}

{\ displaystyle ak_ {1} = - ak_ {2} {\ pmod {p}}}

asa de

p|k_{1}+k_{2}

{\ displaystyle p | k_ {1} + k_ {2}}

{\ displaystyle p | k_ {1} + k_ {2}}

dar fiind

k_{1},k_{2}<{\frac {p}{2}}

{\ displaystyle k_ {1}, k_ {2} <{\ frac {p} {2}}}

{\ displaystyle k_ {1}, k_ {2} <{\ frac {p} {2}}}

este imposibil.

În consecință, valorile absolute ale reziduurilor $la n$ ${\ displaystyle an}$ ${\ displaystyle an}$ toate sunt diferite și în raza de acțiune $\left[1,{\frac {p-1}{2}}\right]$ ${\ displaystyle \ left [1, {\ frac {p-1} {2}} \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [1, {\ frac {p-1} {2}} \ right]}$ , deci pentru produsul respectivelor reziduuri este valabil

\prod _{n=1}^{\frac {p-1}{2}}an=\left({\frac {p-1}{2}}\right)!\left(-1\right)^{s}{\pmod {p}}

{\ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ frac {p-1} {2}} an = \ left ({\ frac {p-1} {2}} \ right)! \ left (-1 \ dreapta) ^ {s} {\ pmod {p}}}

{\ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ frac {p-1} {2}} an = \ left ({\ frac {p-1} {2}} \ right)! \ left (-1 \ dreapta) ^ {s} {\ pmod {p}}}

unde este $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ este deci numărul de reziduuri negative

\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {p-1}{2}}\right)!=\left({\frac {p-1}{2}}\right)!\left(-1\right)^{s}{\pmod {p}}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {p}} \ right) \ left ({\ frac {p-1} {2}} \ right)! = \ left ({\ frac {p-1} {2}} \ right)! \ Left (-1 \ right) ^ {s} {\ pmod {p}}}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {p}} \ right) \ left ({\ frac {p-1} {2}} \ right)! = \ left ({\ frac {p-1} {2}} \ right)! \ Left (-1 \ right) ^ {s} {\ pmod {p}}}

și simplificarea prin factorialul de ${\frac {p-1}{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {p-1} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {p-1} {2}}}$ teza se obține:

\left({\frac {a}{p}}\right)=\left(-1\right)^{s}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {p}} \ right) = \ left (-1 \ right) ^ {s}}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {p}} \ right) = \ left (-1 \ right) ^ {s}}

Bibliografie

Harold Davenport, Arithmetic Superior , Bologna, Zanichelli, 1994, ISBN 88-08-09154-6 .
Tom M. Apostol, Introducere în teoria numerelor analitice , New York, Springer-Verlag, 1976, ISBN 0-387-90163-9 .
Trygve Nagell, Introducere în teoria numerelor , ediția a II-a, New York, Chelsea, 2001, ISBN 0-8218-2833-9 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Lema Gauss - pagina MathWorld despre lema lui Gauss.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică