Teorema

Teorema lui Pitagora are mai mult de 350 de dovezi .

O teoremă este o propoziție care, pornind de la condiții inițiale stabilite în mod arbitrar, trage concluzii, dând o dovadă . Teoremele joacă un rol foarte important în matematică , în logică , în unele filozofii (de exemplu în Parmenide și Spinoza ) și, în general, în toate disciplinele formale. Teorema în greacă înseamnă: la ce se privește, despre care se speculează (θεώρημα); la nivel etimologic are aceeași derivare a teoriei (de la verbul θεωρέω theoréo , „ Privesc , observ, contemplez”).

Structura unei teoreme

O teoremă este compusă din una sau mai multe ipoteze , o teză și o dovadă a tezei.

Ipotezele sunt condițiile inițiale pe care vrem să le argumentăm, sunt pur arbitrare și nu au motive să fie dovedite.
Teza este consecința ipotezelor, într-o teoremă de fiecare dată când apar condițiile inițiale descrise în ipoteze, apare și teza.
O teoremă, pentru a fi astfel, trebuie să conțină o dovadă, adică un set de implicații logice care pot asigura că ipotezele implică teza. Pentru a obține o dovadă satisfăcătoare, pot fi urmate diferite scheme demonstrative, cum ar fi dovada prin inducție matematică, dovada prin absurditate sau dovada constructivă.

Tipuri de dovezi

Același subiect în detaliu: Dovada matematică .

Există în principal trei tipuri de dovezi: dovada constructivă, dovada prin absurditate și dovada prin inducție matematică.

Demonstrație constructivă

Același subiect în detaliu: Constructivismul matematic .

Dovada constructivă are loc utilizând condițiile inițiale ale ipotezelor pentru a obține, printr-o serie de implicații logice, condițiile tezei.

Dacă, de exemplu, am vrut să demonstrăm în mod constructiv că dacă luăm două numere pare a și b (ipoteză) atunci suma lor a + b va fi și un număr par (teză), putem spune că faptul că a și b sunt implică chiar că le putem scrie ca a = 2 × n și b = 2 × m și acest lucru implică faptul că suma lor este egală cu a + b = 2 × n + 2 × m = 2 × ( n + m ), care este un numar par.

Plecând de la ipoteză, printr-o serie de implicații logice am obținut teza.

Dovadă prin absurditate

Același subiect în detaliu: Dovadă prin absurditate .

Dovada prin absurd este făcută presupunând că teza este greșită și demonstrând că o teză greșită implică afirmații care intră în conflict cu ipotezele.

De exemplu, dacă am vrut să dovedim absurd că dacă luăm două numere reale a și b diferite de 0 (ipoteză) atunci suma lor a + b va fi diferită de diferența lor a - b (teză) presupunem că teza este greșită și, prin urmare, că suma celor două numere este egală cu diferența lor: a + b = a - b , aceasta implică faptul că a + b - a = - b ceea ce la rândul său implică faptul că b = - b, dar aceasta, în setul de numere reale, este adevărat numai dacă b este egal cu 0 și acest lucru este absurd deoarece, spre deosebire de ipoteza că a și b sunt diferite de zero.

Am negat teza și, prin implicații logice, am obținut condiții care intră în conflict cu ipotezele.

Dovadă prin inducție

Același subiect în detaliu: Dovadă prin inducție .

Dovada prin inducție sau metoda de inducție matematică (altele se întâmplă pentru inducție în științele naturii) este utilizată pentru teoreme care afirmă că elementele unui anumit set numeros posedă o anumită proprietate. Dacă este posibil să se demonstreze că teorema este valabilă pentru primul element al mulțimii și că, dacă teorema este valabilă pentru orice element, atunci este valabilă și pentru următorul, atunci teza a fost dovedită.

Ideea intuitivă cu care poate fi înțeles sensul metodei de inducție este aceea a unui „efect domino”, astfel încât plăcile de domino dispuse de-a lungul unui rând cad toate, sunt suficiente două condiții:

că prima carte cade;
că fiecare țiglă este poziționată în așa fel încât căderea să provoace căderea următoarei.

Pentru a da un exemplu de dovadă prin inducție putem demonstra că dacă n este un număr natural mai mare de 0 (ipoteză) atunci numărul n + n ² este par (teză). Putem observa că această teoremă afirmă că elementele mulțimii numerelor naturale mai mari de 0, care poate fi numărat, posedă o anumită proprietate. Prin urmare, demonstrăm că teorema este valabilă pentru primul element al mulțimii: dacă n = 1 atunci n + n ² = 1 + 1 ² = 2 care este un număr par. Acum demonstrăm că dacă teorema este adevărată pentru orice număr natural k mai mare de 0 este adevărat și pentru numărul ulterior k + 1. Deci presupunem că dacă k este un număr natural mai mare decât 0 atunci k + k ² este un par număr. Pentru următorul număr k + 1 putem spune că ( k + 1) + ( k + 1) ² = k + 1 + k ² + 2 k + 1 = ( k + k ² ) + 2 ( k + 1) este De asemenea, este un număr par, deoarece 2 ( k + 1) este par, ( k + k ² ) este un număr pe care l-am presupus a fi par și suma a două numere pare este pare.

În matematică

În matematică prin teoremă, înțelegem strict o afirmație care este dovedită în contextul unei teorii formale (ca orice altă propoziție care poate fi derivată din axiomele teoriei prin intermediul unei proceduri demonstrative ) și că într-o expunere sistematică a teoria este prezentată ca urmare a ușurării. Celelalte implicații logice care sunt dovedite în matematică se numesc corolari dacă demonstrația lor este realizată grație implicațiilor unei teoreme, leme dacă implicațiile lor sunt necesare pentru demonstrarea teoremei, termenul propoziție este folosit și pentru toate acele implicații logice dintre două predicate care au o relevanță mai mică decât o teoremă.

Distincția dintre teoreme și propoziții simple ale teoriei este o chestiune discutabilă și poate depinde parțial de tradiție, parțial de simplitatea propoziției și, prin urmare, de ușurința de a înțelege semnificația acesteia și de a o aminti, parțial de evaluările numărului și ponderii consecințele care pot fi derivate dintr-o propoziție.

În matematică, toate acele afirmații despre care se crede că sunt adevărate, dar pentru care nu este disponibilă nicio dovadă satisfăcătoare, se numesc conjecturi .

Teorema, legea, axioma

Este util să distingem diferența dintre termenii folosiți foarte des în științele exacte : teoremă, lege , axiomă .

O teoremă este o propoziție demonstrată logic printr-o secvență (finită) de implicații logice, de tipul
$A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow D\quad {\text{ossia}}\quad A\rightarrow D\,\!$ ${\ displaystyle A \ rightarrow B \ rightarrow C \ rightarrow D \ quad {\ text {ie}} \ quad A \ rightarrow D \, \!}$ ${\ displaystyle A \ rightarrow B \ rightarrow C \ rightarrow D \ quad {\ text {ie}} \ quad A \ rightarrow D \, \!}$
unde A este o axiomă a sistemului sau o propoziție dovedită în ultima vreme în virtutea axiomelor. Un exemplu este teorema lui Pitagora sau teorema lui Thales .
Se spune că o relație matematică este extrapolată din datele empirice și capabilă să explice o observație experimentală cu un grad suficient de precizie (cum ar fi mișcarea corpurilor, mareele etc.). Un exemplu este legea lui Coulomb pentru electrostatice sau legile lui Newton pentru dinamică . Cu toate acestea, legea în fizică este diferită de cea a unui tip matematic, deși este exprimată în limbaj matematic. Primul nu posedă caracterul de necesitate ca cel de-al doilea.
Se spune axiomă (sau postulat, deși cele două concepte ar trebui distinse ^{[de ce? ]} ) o propoziție care nu este dovedită (și nu poate fi demonstrată prin definiție), dar se presupune că este adevărată, deoarece este considerată evidentă sau, în orice caz, indispensabilă în dezvoltarea axiomatică a unui sistem. Nu poate exista un sistem complet lipsit de axiome ^{[ fără sursă ]} . Exemple sunt axiomele lui Peano pentru matematică sau axiomele lui Zermelo-Fraenkel pentru teoria mulțimilor .