Simbolul Legendre

Simbolul lui Legendre este utilizat în matematică în contextul teoriei numerelor și în special în câmpurile de factorizare și reziduuri pătratice . Este numit după matematicianul francez Adrien-Marie Legendre .

Definiție

Simbolul lui Legendre este definit astfel:

De sine $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este un număr prim impar și $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este un număr întreg , apoi simbolul lui Legendre $\left({\frac {a}{p}}\right)$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {p}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {p}} \ right)}$ Este egal cu:

$0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ de sine $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ împarte $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ ;
$1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ de sine $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este un pătrat modulo $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ , adică dacă există un număr întreg $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ astfel încât $k^{2}\equiv a{\pmod {p}}$ ${\ displaystyle k ^ {2} \ equals {\ pmod {p}}}$ ${\ displaystyle k ^ {2} \ equals {\ pmod {p}}}$ , sau echivalent dacă $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este un modul de reziduu pătratic $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ ;
$-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$ de sine $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ nu este un pătrat modulo $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ , adică dacă $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ nu este un reziduu pătratic modulo $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ .

Generalizarea simbolului Legendre a $\left({\frac {a}{n}}\right)$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {n}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {n}} \ right)}$ cu $n\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ $n \ in \ mathbb {N}$ ciudat este simbolul lui Jacobi .

Proprietățile simbolului Legendre

Simbolul Legendre are o serie de proprietăți care vă permit să accelerați calculele. Cele mai importante sunt:

$\left({\frac {ab}{p}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {b}{p}}\right)$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {ab} {p}} \ right) = \ left ({\ frac {a} {p}} \ right) \ left ({\ frac {b} {p}} \ dreapta)}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {ab} {p}} \ right) = \ left ({\ frac {a} {p}} \ right) \ left ({\ frac {b} {p}} \ dreapta)}$ (adică este o funcție complet multiplicativă în argumentul său superior)
Dacă a ≡ b (mod p ), atunci $\left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {b}{p}}\right)$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {p}} \ right) = \ left ({\ frac {b} {p}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {p}} \ right) = \ left ({\ frac {b} {p}} \ right)}$
$\left({\frac {1}{p}}\right)=1$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {p}} \ right) = 1}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {p}} \ right) = 1}$
$\left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\left({\frac {p-1}{2}}\right)}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {-1} {p}} \ right) = (- 1) ^ {\ left ({\ frac {p-1} {2}} \ right)}}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {-1} {p}} \ right) = (- 1) ^ {\ left ({\ frac {p-1} {2}} \ right)}}$ , adică 1 dacă p ≡ 1 (mod 4) și −1 dacă p ≡ 3 (mod 4)
$\left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\left({\frac {p^{2}-1}{8}}\right)}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {2} {p}} \ right) = (- 1) ^ {\ left ({\ frac {p ^ {2} -1} {8}} \ right)}}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {2} {p}} \ right) = (- 1) ^ {\ left ({\ frac {p ^ {2} -1} {8}} \ right)}}$ , adică 1 dacă p ≡ 1 sau 7 (mod 8) și −1 dacă p ≡ 3 sau 5 (mod 8)
Dacă q este un prim impar, atunci $\left({\frac {q}{p}}\right)=\left({\frac {p}{q}}\right)(-1)^{\left({\frac {p-1}{2}}\right)\left({\frac {q-1}{2}}\right)}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {q} {p}} \ right) = \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) (- 1) ^ {\ left ({\ frac {p -1} {2}} \ right) \ left ({\ frac {q-1} {2}} \ right)}}$ ${\ displaystyle \ left ({\ frac {q} {p}} \ right) = \ left ({\ frac {p} {q}} \ right) (- 1) ^ {\ left ({\ frac {p -1} {2}} \ right) \ left ({\ frac {q-1} {2}} \ right)}}$

Ultima proprietate se numește legea reciprocității pătratice .

Simbolul lui Legendre este, de asemenea, legat de criteriul lui Euler , demonstrat de Leonardo Euler :

\left({\frac {a}{p}}\right)\equiv a^{\left({\frac {p-1}{2}}\right)}{\pmod {p}}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {p}} \ right) \ equals ^ {\ left ({\ frac {p-1} {2}} \ right)} {\ pmod {p}}}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {p}} \ right) \ equals ^ {\ left ({\ frac {p-1} {2}} \ right)} {\ pmod {p}}}

În cele din urmă, simbolul Legendre este un caracter Dirichlet , numit și caracterul pătratic modulo p .

Funcții conexe

Simbolul Jacobi este o generalizare a simbolului Legendre care ia ca număr un număr impar compus în loc de primul p .

Bibliografie

Tom M. Apostol (1976): Introducere în teoria numerelor analitice, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9 , (Capitolul 9.2)
H. Davenport, Aritmetica superioară, Zanichelli, Bologna, 1994, ISBN 88-08-09154-6 - Capitolul III.3

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică