Lema Gauss (polinoame)

Numele lemei Gauss se referă, în teoria polinoamelor , la două afirmații diferite:

produsul a două polinoame primitive este de asemenea primitiv;
dacă un polinom este ireductibil la $\mathbb {Z} [x]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [x]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [x]}$ , atunci este ireductibil și în $\mathbb {Q} [x]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} [x]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} [x]}$ , adică un polinom cu coeficienți întregi ireductibili în numere întregi este ireductibil și în raționali.

A doua afirmație este o consecință directă a primei și ambele pot fi extinse la cazul în care în loc de $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ un domeniu de factorizare unic este considerat R e în loc de $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ considerăm câmpul fracțiilor F ale lui R.

Este numit după matematicianul german Carl Friedrich Gauss .

Dovada primei leme

Fie f (x) și g (x) două polinoame primitive (cu coeficienți întregi); aceasta înseamnă că cel mai mare divizor comun al coeficienților fiecărui polinom este 1. Să presupunem în mod absurd că produsul lor h (x) = f (x) g (x) nu este primitiv: în consecință va exista un p prim care împarte toți coeficienții lui h (x) . Deoarece f (x) și g (x) sunt primitive, vor exista coeficienții lor care nu sunt împărțiți la p .

Ideea este acum să „construim” un coeficient de h (x) care nu este împărțit la p : considerăm deci a _r și b _s , cei doi coeficienți de grad minim care nu sunt împărțiți la p și construim c _{r + s} , coeficientul de h (x) de grad r + s . Îl putem scrie ca:

c_{r+s}=a_{r}b_{s}+(a_{r+1}b_{s-1}+a_{r+2}b_{s-2}+\ldots )+(a_{r-1}b_{s+1}+a_{r-2}b_{s+2}+\ldots )

{\ displaystyle c_ {r + s} = a_ {r} b_ {s} + (a_ {r + 1} b_ {s-1} + a_ {r + 2} b_ {s-2} + \ ldots) + (a_ {r-1} b_ {s + 1} + a_ {r-2} b_ {s + 2} + \ ldots)}

{\ displaystyle c_ {r + s} = a_ {r} b_ {s} + (a_ {r + 1} b_ {s-1} + a_ {r + 2} b_ {s-2} + \ ldots) + (a_ {r-1} b_ {s + 1} + a_ {r-2} b_ {s + 2} + \ ldots)}

Primul addendum nu este divizibil cu p ; cu toate acestea, cele două cantități dintre paranteze sunt, deoarece fiecare dintre b _s-1 , b _s-2 ... este, la fel ca fiecare dintre a _r-1 , a _r-2 și așa mai departe. Deci poți scrie

$c_{r+s}=a_{r}b_{s}+ph$ ${\ displaystyle c_ {r + s} = a_ {r} b_ {s} + ph}$ ${\ displaystyle c_ {r + s} = a_ {r} b_ {s} + ph}$

pentru o h întreagă. Dar c _{r + s} este suma unei mărimi divizibile și a unei nu și, prin urmare, nu poate fi divizibil cu p și acest lucru este absurd. Deci h (x) este primitiv, așa cum am vrut să dovedim.

Dovadă alternativă

O altă dovadă poate fi dată folosind inelul $\mathbb {Z} _{p}[x]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} [x]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} [x]}$ polinoame cu coeficienți în câmpul finit $\mathbb {Z} _{p}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ $\ mathbb {Z} _p$

De fapt, presupuneți în mod absurd că h (x) = f (x) g (x) nu este primitiv. Ca și în dovada anterioară, va exista un p prim care împarte toți coeficienții săi. Apoi în ring $\mathbb {Z} _{p}[x]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} [x]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} [x]}$ va fi f (x) g (x) = 0 . Dar fiind $\mathbb {Z} _{p}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ $\ mathbb {Z} _p$ un câmp este, de asemenea, un domeniu de integritate (adică nu există divizori ai zero) și, prin urmare, inelul polinoamelor sale este, de asemenea, un domeniu de integritate. Deci, unul dintre f (x) și g (x) ar trebui să fie 0 in $\mathbb {Z} _{p}[x]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} [x]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} [x]}$ , adică toți coeficienții săi ar trebui să fie divizibili cu p . Dar am presupus că atât f (x) cât și g (x) erau primitive, deci acest lucru este absurd, iar h (x) este primitiv.

Dovada celei de-a doua leme

Această a doua lemă este echivalentă cu a spune că dacă un polinom cu coeficienți întregi este descompus în $\mathbb {Q} [x]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} [x]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} [x]}$ , apoi se descompune și în $\mathbb {Z} [x]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [x]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [x]}$ .

Dacă f (x) nu este primitiv atunci obținem imediat o descompunere non-banală în $\mathbb {Z} [x]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [x]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [x]}$ și, prin urmare, putem presupune, fără a pierde generalitatea, că f (x) este primitiv. Dacă punem f (x) = g (x) h (x) , cu $g(x),h(x)\in \mathbb {Q} [x]$ ${\ displaystyle g (x), h (x) \ in \ mathbb {Q} [x]}$ ${\ displaystyle g (x), h (x) \ in \ mathbb {Q} [x]}$ nu constante, atunci ele există $a,b\in \mathbb {Q} \setminus \{0\}$ ${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {Q} \ setminus \ {0 \}}$ ${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {Q} \ setminus \ {0 \}}$ astfel încât $g'(x)=a\cdot g(x)$ ${\ displaystyle g '(x) = a \ cdot g (x)}$ ${\ displaystyle g '(x) = a \ cdot g (x)}$ Și $h'(x)=b\cdot h(x)$ ${\ displaystyle h '(x) = b \ cdot h (x)}$ ${\ displaystyle h '(x) = b \ cdot h (x)}$ sunt polinoame primitive ale $\mathbb {Z} [x]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [x]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [x]}$ . Prin urmare, avem:

f(x)=(a^{-1}\cdot a\cdot g(x))(b^{-1}\cdot b\cdot h(x))=(ab)^{-1}g'(x)h'(x)

{\ displaystyle f (x) = (a ^ {- 1} \ cdot a \ cdot g (x)) (b ^ {- 1} \ cdot b \ cdot h (x)) = (ab) ^ {- 1 } g '(x) h' (x)}

{\ displaystyle f (x) = (a ^ {- 1} \ cdot a \ cdot g (x)) (b ^ {- 1} \ cdot b \ cdot h (x)) = (ab) ^ {- 1 } g '(x) h' (x)}

Prin lema anterioară, produsul lui g '(x) și h' (x) este primitiv ca f (x) și, prin urmare, ab trebuie să fie egal cu $\pm 1$ ${\ displaystyle \ pm 1}$ $\ pm 1$ , și, prin urmare, f (x) este reductibil la $\mathbb {Z} [x]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [x]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [x]}$ .

Urmări

Consecința primei leme este că GCD al produsului a două polinoame este produsul GCD al acestora.

A doua lema implică faptul că se poate înțelege ireductibilitatea unui polinom între raționale prin studierea unui polinom între numere întregi, unde pot fi aplicate instrumente precum criteriul lui Eisenstein .

Teorema rădăcinilor raționale