Polinom ireductibil

În matematică , un polinom $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ se spune să fie ireductibile atunci când nu există polinoame $q(x)$ ${\ displaystyle q (x)}$ $q (x)$ Și $s(x)$ ${\ displaystyle s (x)}$ ${\ displaystyle s (x)}$ astfel încât $q(x)\cdot s(x)=p(x)$ ${\ displaystyle q (x) \ cdot s (x) = p (x)}$ ${\ displaystyle q (x) \ cdot s (x) = p (x)}$ cu $q(x)$ ${\ displaystyle q (x)}$ $q (x)$ Și $s(x)$ ${\ displaystyle s (x)}$ ${\ displaystyle s (x)}$ nu inversabil. În caz contrar, polinomul este declarat a fi reductibilă.

În cazul în care coeficienții polinomului sunt luate într - un domeniu , factorii unui polinom reductibilă sunt atât de grad inferior și nu este constantă. De exemplu

p(x)=x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1),

{\ displaystyle p (x) = x ^ {3} -1 = (x-1) (x ^ {2} + x + 1),}

{\ displaystyle p (x) = x ^ {3} -1 = (x-1) (x ^ {2} + x + 1),}

este reductibil.

Cu toate acestea, în cazul în care coeficienții sunt considerate ca aparținând unui inel , acest lucru nu este întotdeauna adevărat: de exemplu , polinomul $2x+6$ ${\ displaystyle 2x + 6}$ ${\ displaystyle 2x + 6}$ este evident ireductibil dacă este considerat ca un polinom în $\mathbb {Q} [X]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} [X]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} [X]}$ , în timp ce este reductibil dacă este luat în considerare $\mathbb {Z} [X]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [X]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [X]}$ , deoarece factorizarea $2x+6=2(x+3)$ ${\ displaystyle 2x + 6 = 2 (x + 3)}$ ${\ displaystyle 2x + 6 = 2 (x + 3)}$ nu este banal, ca invers al $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ , adică $1/2$ ${\ displaystyle 1/2}$ $1/2$ , nu este un număr întreg și, prin urmare $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ nu este un element inversabil al inelului de polinoame cu coeficienți întregi.

Exemple

Ireductibilitatea depinde puternic de alegerea inelului la care coeficienții trebuie să aparțină. De exemplu, polinomul

p(x)=x^{2}-2,

{\ displaystyle p (x) = x ^ {2} -2,}

{\ displaystyle p (x) = x ^ {2} -2,}

este ireductibil în cazul în care acest inel este că de numere întregi , în timp ce acesta este reductibilă dacă inelul este câmpul de numere reale , deoarece aici se rupe în

p(x)=x^{2}-2=(x+{\sqrt {2}})(x-{\sqrt {2}}).

{\ displaystyle p (x) = x ^ {2} -2 = (x + {\ sqrt {2}}) (x - {\ sqrt {2}}).}

{\ displaystyle p (x) = x ^ {2} -2 = (x + {\ sqrt {2}}) (x - {\ sqrt {2}}).}

În mod similar, polinomul

q(x)=x^{2}+1,

{\ displaystyle q (x) = x ^ {2} +1,}

{\ displaystyle q (x) = x ^ {2} +1,}

este ireductibilă pe numere reale, în timp ce este reductibilă pe numere complexe , deoarece ea se descompune ca

q(x)=(x+i)(x-i).

{\ displaystyle q (x) = (x + i) (xi).}

{\ displaystyle q (x) = (x + i) (x-i).}

Polinoame ireductibile în diferite domenii

Numere complexe

Prin teorema fundamentală a algebrei , un polinom este ireductibilă pe domeniul complexelor dacă și numai dacă are studii $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ .

Numere reale

Polinoamele ireductibile din domeniul realelor sunt tocmai:

polinoame de gradul I;
polinoame de gradul doi cu delta mai mică decât zero.

Prin urmare, orice polinom cu coeficienți reali este produsul unor polinoame de aceste două tipuri. Acest lucru rezultă din faptul că dacă un număr complex $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ este un zero al unei, apoi , de asemenea , sa polinomul complex de conjugat ${\overline {z}}$ ${\ displaystyle {\ overline {z}}}$ $\ overline {z}$ este soluție și produsul factorilor

(x-z)(x-{\overline {z}})=x^{2}-(z+{\overline {z}})x+z{\overline {z}},

{\ displaystyle (xz) (x - {\ overline {z}}) = x ^ {2} - (z + {\ overline {z}}) x + z {\ overline {z}},}

{\ displaystyle (x-z) (x - {\ overline {z}}) = x ^ {2} - (z + {\ overline {z}}) x + z {\ overline {z}},}

este alcătuit din numere reale.

Numere rationale

În domeniul numerelor raționale, există polinoame ireductibile de orice grad, dar nu există un criteriu general pentru a determina dacă un polinom este sau nu ireductibil. Cu toate acestea, există diverse metode care pot da sau nu rezultate; în general , primul pas este de a transforma polinomului original într - un polinom cu coeficienți întregi, înmulțirea cu cel mai mic multiplu comun al numitorilor. Operațiunea este mulțumită legale către Gauss Lema , care garantează că polinomul original este ireductibilă dacă și numai în cazul în care acest lucru este transformat ( cu excepția cazului în factori constanți, care sunt pe ireductibilă $\mathbb {Z} [x]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [x]}$ $\ mathbb {Z} [x]$ dar inversabil în $\mathbb {Q} [x]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} [x]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} [x]}$ ). Apoi, puteți încerca diverse moduri:

Uita - te pentru raționale rădăcini ; de rădăcină rațională teorema lor divide numărătorul trebuie $a_{0}$ ${\ displaystyle a_ {0}}$ $a_ {0}$ , În timp ce numitorul trebuie să împartă coeficientul de director . Setul de valori posibile este astfel limitat; dacă una dintre acestea este o rădăcină, atunci polinomul este cu siguranță reductibil.

Dacă un polinom nu admite rădăcini raționale, nu înseamnă întotdeauna că este ireductibil pe $\mathbb {Q} [x]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} [x]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} [x]}$ : acest lucru este valabil dacă și numai dacă gradul polinomului este mai mic sau egal cu trei.

Încercarea de a aplica criteriul lui Eisenstein .
Luați în considerare polinomul din $\mathbb {Z} _{p}[x]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} [x]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} [x]}$ , cu $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ primul astfel încât $p\nmid a_{n}.$ ${\ displaystyle p \ nmid a_ {n}.}$ ${\ displaystyle p \ nmid a_ {n}.}$

În special, dacă polinomul este ireductibil la $\mathbb {Z} _{p}[x]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} [x]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} [x]}$ atunci este și în $\mathbb {Q} [x]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} [x]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} [x]}$ . Dar inversul nu este adevărat.

Ireductibilitate absolută

un polinom multivariată definit pe numere raționale este definită ca fiind absolut ireductibilă în cazul în care este ireductibilă pe domeniul complex . ^[1] ^[2] ^[3] De exemplu , $x^{2}+y^{2}-1$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -1}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -1}$ este absolut ireductibil; in schimb $x^{2}+y^{2},$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2},}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2},}$ în timp ce este ireductibil pe numere întregi și reale, este reductibil pe numere complexe precum $x^{2}+y^{2}=(x+iy)(x-iy),$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = (x + iy) (x-iy),}$ ${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = (x + iy) (x-iy),}$ și, prin urmare, nu este absolut ireductibil.

Mai general, un polinom definit pe un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este absolut ireductibil dacă este ireductibil pe fiecare extensie algebrică a $K.,$ ${\ displaystyle K,}$ ${\ displaystyle K,}$ ^{[4] este} un set algebrică afină definit prin ecuații cu coeficienți într - un domeniu $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este absolut ireductibil dacă nu este unirea a două seturi de ecuații algebrice definite într - un algebric închis extensie $K. .$ ${\ displaystyle K.}$ ${\ displaystyle K.}$ Cu alte cuvinte, un set algebrică absolut ireductibilă este sinonim cu o varietate algebric , ^[5] , care subliniază faptul că coeficienții ecuațiilor care o definesc nu poate aparține unui câmp algebric închis.

Conceptul de ireductibilitatea absolută se aplică, cu același înțeles, de asemenea , reprezentări liniare ale grupurilor algebrice .

În toate cazurile, fiind absolut ireductibilă este echivalent cu a fi ireductibilă privind închiderea algebrică a taberei de bază.

Exemple de ireductibilitate absolută

Un polinom univariată de grad mai mare decât sau egal cu 2 nu este absolut ireductibilă, datorită teorema fundamentală a algebrei .
Ireductibilă bidimensional reprezentare a grupării simetrice $S_{3}$ ${\ displaystyle S_ {3}}$ $S_ {3}$ de ordine 6, definit inițial pe câmpul de numere raționale , este absolut ireductibilă.
Reprezentarea grupului de circulare a rotații în planul este ireductibil (pe câmpul numerelor reale), dar nu este absolut ireductibilă. După ce a extins câmpul la numere complexe, acesta se împarte în două componente ireductibile. Acest lucru este de așteptat, deoarece gruparea circulară este comutativă și este cunoscut faptul că toate reprezentările ireductibile ale grupurilor comutative de pe un corp algebric închis sunt unidimensionale.
„Adevărata“ varietatea algebrică definită de ecuația

x^{2}+y^{2}=1

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}

este absolut ireductibil. ^[3] Este obișnuit cercul pe numere reale și rămâne o ireductibilă secțiune conica pe câmpul numerelor complexe. Ireductibilitatea absolută este mai general valabilă pe orice non - caracteristică două domeniu. În caracteristica a doua, ecuația este echivalentă cu

(x+y-1)^{2}=0.

{\ displaystyle (x + y-1) ^ {2} = 0.}

{\ displaystyle (x + y-1) ^ {2} = 0.}

Apoi definește linia dublă

x+y=1,

{\ displaystyle x + y = 1,}

{\ displaystyle x + y = 1,}

care este o neredus schemă .

Soiul algebric dat de ecuație

x^{2}+y^{2}=0

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 0}

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 0}

nu este absolut ireductibil. De fapt, membrul stâng poate fi descompus ca

x^{2}+y^{2}=(x+yi)(x-yi),

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = (x + yi) (x-yi),}

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = (x + yi) (x-yi),}

unde este

the

{\ displaystyle i}

the

este o rădăcină pătrată de -1 . Prin urmare, această varietate algebrică este formată din două linii care se intersectează la origine și nu este nicidecum ireductibilă. Totuși, acest lucru se aplică deja taberei de bază

-1

{\ displaystyle -1}

-1

este un pătrat sau se menține pe extensia pătratică obținută prin adăugare

the .

{\ displaystyle i.}

{\ displaystyle i.}

Notă

^ Pur și Matematică Aplicată, vol. 20, 1986, ISBN 9780080873329 , https://books.google.com/books?id=njgVUjjO-EAC&pg=PA10 . Blank sau lipsește din titolo parametru ( ajutor ).
^ 2003, ISBN 9783540654667 , https://books.google.com/books?id=Pnlxei_XfFQC&pg=PA26 . Blank sau lipsește din titolo parametru ( ajutor ).
^ ^A ^b 2, 2004, ISBN 9780203494455 , https://books.google.com/books?id=9IFMCsQJyscC&pg=SA8-PA17 . Blank sau lipsește din titolo parametru ( ajutor ).
^ Monografii în matematică contemporană, 1994, ISBN 9780306110368 , https://books.google.com/books?id=PI66sVXDp7UC&pg=PA53 . Blank sau lipsește din titolo parametru ( ajutor ).
^ 2009, ISBN 9781400831302 , https://books.google.com/books?id=utDJWUVogZ4C&pg=PA47 . Blank sau lipsește din titolo parametru ( ajutor ).

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Pur și Matematică Aplicată, vol. 20, 1986, ISBN 9780080873329 , https://books.google.com/books?id=njgVUjjO-EAC&pg=PA10 . Blank sau lipsește din titolo parametru ( ajutor ).

[2] 2003, ISBN 9783540654667 , https://books.google.com/books?id=Pnlxei_XfFQC&pg=PA26 . Blank sau lipsește din titolo parametru ( ajutor ).

[tucker-3] A ^b 2, 2004, ISBN 9780203494455 , https://books.google.com/books?id=9IFMCsQJyscC&pg=SA8-PA17 . Blank sau lipsește din titolo parametru ( ajutor ).

[4] Monografii în matematică contemporană, 1994, ISBN 9780306110368 , https://books.google.com/books?id=PI66sVXDp7UC&pg=PA53 . Blank sau lipsește din titolo parametru ( ajutor ).

[5] 2009, ISBN 9781400831302 , https://books.google.com/books?id=utDJWUVogZ4C&pg=PA47 . Blank sau lipsește din titolo parametru ( ajutor ).

[1]

[2]

[3]

[4] este

[5]