Câmp închis algebric

În matematică , un câmp închis algebric este un câmp $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ în care orice polinom neconstant cu coeficienți în $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ are o rădăcină în $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ (adică un element $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ astfel încât valoarea polinomului în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este elementul neutru al adaosului de câmp).

De exemplu, câmpul numerelor reale nu este închis algebric, deoarece ecuația polinomială

3x^{2}+1=0

{\ displaystyle 3x ^ {2} + 1 = 0}

{\ displaystyle 3x ^ {2} + 1 = 0}

nu are soluții în reali, chiar dacă ambii coeficienți (3 și 1) sunt reali. Dimpotrivă, câmpul numerelor complexe este închis algebric: așa afirmă teorema fundamentală a algebrei .

Proprietăți echivalente

Un mod comun de exprimare a faptului că un câmp $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este închis algebric prin reducibilitatea polinoamelor sale: $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este închis algebric dacă și numai dacă există vreun polinom $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ de grad $n\geq 1$ ${\ displaystyle n \ geq 1}$ ${\ displaystyle n \ geq 1}$ poate fi descompus ca $p(x)=K(x-x_{1})\cdots (x-x_{n})$ ${\ displaystyle p (x) = K (x-x_ {1}) \ cdots (x-x_ {n})}$ ${\ displaystyle p (x) = K (x-x_ {1}) \ cdots (x-x_ {n})}$ , unde este $x_{1},\ldots ,x_{n}$ ${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}$ ${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}$ sunt elemente ale $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ . The $x_{i}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ $x_i$ tocmai elementele câmpului sunt anulate $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ . Echivalent, $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este închis algebric dacă și numai dacă singurele polinoame ireductibile sunt liniare.

De asemenea, din definiție rezultă că un câmp este închis algebric dacă și numai dacă nu are propriile extensii algebrice sau dacă și numai dacă nu are propriile extensii finite .

Închidere algebrică

Același subiect în detaliu: închiderea algebrică .

Orice domeniu $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ poate fi inclus într-un câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ închis algebric care este, într-un anumit sens, "cel mai mic" câmp închis algebric care îl conține: mai precis, astfel încât să nu existe câmp intermediar între $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ Și $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este închis algebric sau, echivalent, astfel încât $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este algebrică pe $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ . În acest caz, $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ se numește închidere algebrică a $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ : două închideri algebrice ale $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ sunt întotdeauna izomorfe între ele, deși în general nu este posibil să se stabilească un izomorfism canonic între două închideri algebrice (abstracte) ale $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ . Pentru a dovedi această proprietate este necesar să folosiți lema lui Zorn .

De exemplu, câmpul numerelor complexe este o închidere algebrică a câmpului numerelor reale, dar nu este închiderea algebrică a numerelor raționale , care este în schimb câmpul numerelor algebrice .

Bibliografie

Stefania Gabelli, Teoria ecuațiilor și teoria lui Galois , Milano, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică