Închidere algebrică

În matematică , în special în algebră , închiderea algebrică a unui câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este cea mai mică extensie algebrică a $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ care este închis algebric ; în termeni mai puțin riguroși, închiderea algebrică a $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este acel câmp care se obține prin „adăugarea” la $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ rădăcinile tuturor polinoamelor cu coeficienți în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ .

Fiecare câmp are o închidere algebrică, iar acest lucru este unic , cu excepția izomorfisme : acest lucru ne permite să vorbim despre închiderea algebrică $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , în loc de o închidere algebrică a $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ .

Exemple

Teorema fundamentală a algebrei afirmă că câmpul $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ al numerelor complexe este închis algebric și, în consecință, este închiderea algebrică a câmpului numerelor reale . In orice caz, $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ nu este închiderea algebrică a câmpului $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ a numerelor raționale , deoarece conține elemente ( numerele transcendente ) care nu sunt algebrice $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ . Închiderea algebrică a raționalelor este, pe de altă parte, câmpul numerelor algebrice .

Există multe câmpuri închise algebric în cadrul numerelor complexe și care conțin strict câmpul numerelor algebrice. Printre acestea, există închiderile algebrice ale extensiilor transcendente ale numerelor raționale, de exemplu închiderea algebrică a $\mathbb {Q} (\pi )$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} (\ pi)}$ $\ mathbb {Q} (\ pi)$ .

Pentru un câmp finit de prima caracteristică p , închiderea algebrică este un câmp de cardinalitate numărabil , care conține o copie a câmpului de ordine $p^{n}$ ${\ displaystyle p ^ {n}}$ $p ^ n$ pentru fiecare număr întreg pozitiv n (și este de fapt unirea acestor copii).

Existența și unicitatea

Folosind lema lui Zorn , se poate arăta că fiecare câmp are o închidere algebrică și că închiderea algebrică a unui câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este unic cu excepția izomorfismelor care fixează fiecare element al $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . Cu toate acestea, nu există izomorfism „canonic” între două închideri algebrice: de exemplu, având în vedere două închideri $F_{1},F_{2}$ ${\ displaystyle F_ {1}, F_ {2}}$ $F_1, F_2$ a câmpului $\mathbb {F} _{p}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}$ ${\ mathbb {F}} _ {p}$ cu elemente p , există un număr infinit (și nenumărat ) de izomorfisme ale $F_{1}$ ${\ displaystyle F_ {1}}$ $F_ {1}$ în $F_{2}$ ${\ displaystyle F_ {2}}$ $F_ {2}$ .

Proprietate

Închiderea algebrică ${\overline {K}}$ ${\ displaystyle {\ overline {K}}}$ $\ overline {K}$ din $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ poate fi văzută ca cea mai mare extensie algebrică a $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , în sensul că orice altă extensie algebrică $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ din $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ poate fi scufundat în interior ${\overline {K}}$ ${\ displaystyle {\ overline {K}}}$ $\ overline {K}$ (în general într-un mod non-unic); rezultă, de asemenea, că ${\overline {K}}$ ${\ displaystyle {\ overline {K}}}$ $\ overline {K}$ este și închiderea algebrică a $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ .

Închiderea algebrică a unui câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ are aceeași cardinalitate ca $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ de sine $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este infinit și poate fi numărat dacă $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ s-a terminat.

Bibliografie

Stefania Gabelli, Teoria ecuațiilor și teoria lui Galois , Milano, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8 .
James S. Milne, Fields and Galois Theory ( PDF ), v.4.30, 2012. Accesat la 6 decembrie 2012 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică