Extensie algebrică

În algebra abstractă , o extensie a câmpurilor $L/K$ ${\ displaystyle L / K}$ $L / K$ se spune că este algebric dacă fiecare element al $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ se poate obține ca rădăcina unui polinom cu coeficienți în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ .

Definiții

Este $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ un câmp . O extensie este datele unui alt câmp $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ și un homomorfism injectiv al $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ în $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ . Prin omomorfism, $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ poate fi văzut ca un subcâmp al $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ . Extensia este indicată în general cu notația $L/K$ ${\ displaystyle L / K}$ $L / K$ .

Un element $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ din $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ este algebrică pe $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ dacă există un polinom (nu nul) $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ un coeficienți în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ astfel încât

p(a)=0.

{\ displaystyle p (a) = 0.}

{\ displaystyle p (a) = 0.}

Un element non-algebric pe $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ se numește transcendent .

Dacă toate elementele din $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ sunt algebrice pe $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , extensia $L/K$ ${\ displaystyle L / K}$ $L / K$ se numește algebric . Altfel este transcendent .

Polinom minim

Dintre toate polinoamele care se anulează în $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , există unul în special de grad minim, numit polinom minim de $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ pe $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . Se arată că este unic până la o constantă multiplicativă (acest lucru este echivalent cu a spune că există un singur polinom monic minim, adică cu un coeficient al termenului de grad maxim egal cu $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ ) și că idealul generat de acesta reprezintă nucleul homomorfismului de evaluare

\varphi \colon K[X]\to L,g\mapsto g(a).

{\ displaystyle \ varphi \ colon K [X] \ to L, g \ mapsto g (a).}

{\ displaystyle \ varphi \ colon K [X] \ to L, g \ mapsto g (a).}

Mai mult, gradul acestui polinom este tocmai gradul $[K(a):K]$ ${\ displaystyle [K (a): K]}$ ${\ displaystyle [K (a): K]}$ extensie $K(a)/K$ ${\ displaystyle K (a) / K}$ ${\ displaystyle K (a) / K}$ , unde este $K(a)$ ${\ displaystyle K (a)}$ ${\ displaystyle K (a)}$ este subcâmpul $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ generat de $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ și din $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ .

Exemple

Lasa-i sa fie $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ , $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ Și $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ câmpurile numerelor raționale , reale și , respectiv, complexe .

Extensia $\mathbb {R} /\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} / \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} / \ mathbb {Q}}$ este transcendent, deoarece π nu este rădăcina vreunui polinom cu coeficienți raționali.
Extensia $\mathbb {C} /\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} / \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} / \ mathbb {R}}$ este algebric, deoarece orice număr este complex $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este rădăcina unui polinom cu coeficienți reali, de exemplu

p(x)=(x-a)(x-{\bar {a}})

{\ displaystyle p (x) = (xa) (x - {\ bar {a}})}

{\ displaystyle p (x) = (x-a) (x - {\ bar {a}})}

Să luăm în considerare subcâmpul $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}})}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}})}$ din $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ generat de $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ Și ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ . Extensia $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}) / \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}}) / \ mathbb {Q}}$ este algebric, deoarece ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ este rădăcina polinomului cu coeficienți raționali

p(x)=x^{2}-2

{\ displaystyle p (x) = x ^ {2} -2}

{\ displaystyle p (x) = x ^ {2} -2}

Orice polinom $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ un coeficienți în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ definește câmpul său de divizare , care este o extensie algebrică a $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ "generat" din rădăcinile $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ .

Câmpuri închise algebric

Se spune că un câmp care nu are extensii algebrice (altele decât el însuși) este închis algebric . Un exemplu este câmpul numărului complex .

Fiecare câmp are o extensie algebrică care este închisă algebric (și cea mai mică dintre acestea este închiderea sa algebrică ), dar pentru a demonstra acest lucru în cazul general, este necesară una dintre formele axiomei de alegere .

Generalizări

Teoria modelelor generalizează noțiunea de extensie algebrică la teorii arbitrare: o imersiune a $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ în $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ se numește extensie algebrică dacă pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ există o formulă $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ la parametrii din $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , astfel încât $p(x)$ ${\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ este adevărat și întregul

\{y\in N|p(y)\}

{\ displaystyle \ {y \ în N | p (y) \}}

{\ displaystyle \ {y \ în N | p (y) \}}

s-a terminat. Aplicând această definiție teoriei câmpurilor obținem definiția obișnuită a extensiei algebrice. Grupul Galois al $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ pe $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ poate fi încă definit ca grupul de automorfism, iar cea mai mare parte a teoriei grupului Galois poate fi dezvoltată în acest context mai general.

Elemente conexe

linkuri externe

Extensii algebrice pe projectomatematica.dm.unibo.it
Minimul polinomial al proiectomatematica.dm.unibo.it

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică