Teorema lui Cayley

Teorema lui Cayley , numită după matematicianul britanic Arthur Cayley , este o teoremă referitoare la teoria grupurilor.

Teorema afirmă că fiecare grup este izomorf pentru un subgrup al unui grup simetric . Cu alte cuvinte, fiecare grup poate fi considerat ca un anumit grup de permutări .

Afirmație

Este $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ un grup de cardinalitate arbitrară (nu neapărat finită). Este $S(G)$ ${\ displaystyle S (G)}$ $S (G)$ grupul simetric al $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ (adică grupul de permutări ale setului $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ ). Teorema lui Cayley afirmă următorul fapt:

Grupul $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este izomorfă pentru un subgrup de $S(G)$ ${\ displaystyle S (G)}$ $S (G)$ .

În special, fiecare grup finit $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este izomorfă la un subgrup al unui grup simetric finit.

Grupul simetric de pe n obiecte conține o copie a fiecărui grup de ordine n.

Construcția izomorfismului

Un izomorfism poate fi construit după cum urmează.

T_{g}:G\to G

{\ displaystyle T_ {g}: G \ to G}

T_ {g}: G \ to G

astfel încât

T_{g}(x)=gx

{\ displaystyle T_ {g} (x) = gx}

T_ {g} (x) = gx

adică se înmulțește la stânga cu elementul $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ din $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ . Aplicația $T_{g}$ ${\ displaystyle T_ {g}}$ $T_ {g}$ este o permutare asupra elementelor $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ și, prin urmare, rezultă $S(G)$ ${\ displaystyle S (G)}$ $S (G)$ . Pentru a încheia, definiți doar aplicația:

$T:G\to S(G)$ ${\ displaystyle T: G \ to S (G)}$ $T: G \ S (G)$

care se asociază cu fiecare element $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ din $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ permutarea corespunzătoare $T_{g}$ ${\ displaystyle T_ {g}}$ $T_ {g}$ .

Este ușor să arătăm cum această aplicație realizează de fapt un homomorfism ( proprietatea asociativă a operației definite la $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ )

În plus, acest homomorfism se dovedește a fi injectiv și, prin urmare, $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este izomorfă pentru imaginea sa $T(G)$ ${\ displaystyle T (G)}$ $T (G)$ .

Observare

În general, dovada standard a teoremei lui Cayley nu dă reprezentarea lui $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ într-un grup de permutări de ordin minim.

Exemple simple de acest lucru pot fi văzute luând $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ coincizând tocmai cu un grup de permutări.

De exemplu, luați $G=S_{3}$ ${\ displaystyle G = S_ {3}}$ ${\ displaystyle G = S_ {3}}$ , adică egal cu grupul simetric pe 3 obiecte (care are ordinul 3! = 6). Folosind procedura de demonstrare a teoremei este posibil să o reprezentăm ca un subgrup de $S_{6}$ ${\ displaystyle S_ {6}}$ ${\ displaystyle S_ {6}}$ (un grup a cărui ordine este 6! = 720).

Cu toate acestea, din moment ce $S_{3}$ ${\ displaystyle S_ {3}}$ $S_ {3}$ este deja în sine un grup de permutări, una dintre reprezentările sale este aceea pe $S_{3}$ ${\ displaystyle S_ {3}}$ $S_ {3}$ în sine, care, după cum sa spus deja, are doar ordinea 6 ^[1]

Exemple

Construcția tocmai descrisă poate fi vizualizată concret pe unele grupuri cunoscute. Aici $S_{n}$ ${\ displaystyle S_ {n}}$ $S_ {n}$ este grupul permutărilor setului $\{0,\ldots ,n-1\}$ ${\ displaystyle \ {0, \ ldots, n-1 \}}$ $\ {0, \ ldots, n-1 \}$ și fiecare permutare este descrisă ca un produs al ciclurilor.

Grupul ciclic $\mathbb {Z} _{2}=\{0,1\}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2} = \ {0,1 \}}$ ${\ mathbb {Z}} _ {2} = \ {0,1 \}$ este identificat la un subgrup de $S_{2}$ ${\ displaystyle S_ {2}}$ $S_2$ : elementul 0 corespunde identității și elementul 1 permutării (01).
$\mathbb {Z} _{3}=\{0,1,2\}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {3} = \ {0,1,2 \}}$ ${\ mathbb {Z}} _ {3} = \ {0,1,2 \}$ este identificat la un subgrup de $S_{3}$ ${\ displaystyle S_ {3}}$ $S_ {3}$ : elementul 0 corespunde identității, elementul 1 la permutare (123) și elementul 2 la permutare (132). Egalitatea 1 + 1 = 2 corespunde (123) (123) = (132).
$\mathbb {Z} _{4}=\{0,1,2,3\}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {4} = \ {0,1,2,3 \}}$ ${\ mathbb {Z}} _ {4} = \ {0,1,2,3 \}$ este identificat la un subgrup de $S_{4}$ ${\ displaystyle S_ {4}}$ $S_ {4}$ : elementele corespund $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ , (1234), (13) (24), (1432).

Aplicații

Teorema are numeroase aplicații atât din punct de vedere practic, cât și teoretic. În teoria graficelor permite, de exemplu, să obțină numeroase proprietăți structurale ale graficelor și copacilor .

Notă

^ (EN) Peter J. Cameron, Introducere în algebră, ediția a doua, Oxford University Press , 2008, p. 134, ISBN 978–0–19–852793–0 .

Bibliografie

Israel Nathan Herstein , Algebra , Editori Riuniti , 2003, ISBN 88-359-5479-7 .
Walter Ledermann , Introducere în teoria grupurilor finite , în seria Poliedro , Roma, Ediții Cremonese , 1967, pp. 85-89, ISBN nu există.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[Cameron2008-1] (EN) Peter J. Cameron, Introducere în algebră, ediția a doua, Oxford University Press , 2008, p. 134, ISBN 978–0–19–852793–0 .

[1]