Automorfism intern

Un automorfism intern al unui grup este un automorfism indus de un element $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ grupului prin conjugare , adică un automorfism în formă

T_{g}(x)=g^{-1}xg

{\ displaystyle T_ {g} (x) = g ^ {- 1} xg}

{\ displaystyle T_ {g} (x) = g ^ {- 1} xg}

pentru un element fix $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ a grupului. De fapt, această funcție este un homomorfism injectiv și surjectiv , adică un izomorfism .

Un automorfism care nu este intern se numește extern .

Într-un grup abelian , singurul automorfism intern este identitatea. De asemenea, două elemente $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ și $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ care aparțin aceluiași lateral cu centrul $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ induc același automorfism intern. De fapt dacă $g=hz$ ${\ displaystyle g = hz}$ ${\ displaystyle g = hz}$ cu $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ în centru atunci

g^{-1}xg

{\ displaystyle g ^ {- 1} xg}

{\ displaystyle g ^ {- 1} xg}

=

z^{-1}h^{-1}xhz

{\ displaystyle z ^ {- 1} h ^ {- 1} xhz}

{\ displaystyle z ^ {- 1} h ^ {- 1} xhz}

=

h^{-1}xh.

{\ displaystyle h ^ {- 1} xh.}

{\ displaystyle h ^ {- 1} xh.}

Ansamblul automorfismelor interne formează un grup, notat cu $\operatorname {Inn} (G)$ ${\ displaystyle \ operatorname {Inn} (G)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Inn} (G)}$ , care este un subgrup normal al grupului $\operatorname {Aut} (G)$ ${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (G)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (G)}$ a automorfismelor de grup $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ . Grupul $\operatorname {Inn} (G)$ ${\ displaystyle \ operatorname {Inn} (G)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Inn} (G)}$ este izomorf pentru grupul coeficientului $G/Z(G)$ ${\ displaystyle G / Z (G)}$ ${\ displaystyle G / Z (G)}$ , unde este $Z(G)$ ${\ displaystyle Z (G)}$ $Z (G)$ este centrul $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ .

În grupul simetric pe $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ elemente, dacă $n\neq 6$ ${\ displaystyle n \ neq 6}$ ${\ displaystyle n \ neq 6}$ , toate automorfismele sunt interne.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică