Automorfism extern

În matematică , automorfismul extern este un automorfism care nu este un automorfism intern , adică, astfel încât să nu existe niciun element al grupului care să poată induce automorfismul prin conjugare . Automorfismele externe pot fi obținute ca coeficient al grupului de automorfisme în raport cu subgrupul normal de automorfisme interne.

Automorfisme externe pentru $\operatorname {V_{4}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {V_ {4}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {V_ {4}}}$

Exemplul clasic este cel al grupului Klein $\operatorname {V_{4}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {V_ {4}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {V_ {4}}}$ , izomorfă la $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2} \ times \ mathbb {Z} _ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {2} \ times \ mathbb {Z} _ {2}}$ care, fiind un abelian, nu are automorfisme interne non-banale. Cu toate acestea, există cinci automorfisme externe non-banale: permutațiile grupului simetric pe cele trei obiecte diferite de identitate. De exemplu, unul dintre aceste automorfisme acționează în acest fel

$a\mapsto a,\qquad b\mapsto c,\qquad c\mapsto b.$ ${\ displaystyle a \ mapsto a, \ qquad b \ mapsto c, \ qquad c \ mapsto b.}$ ${\ displaystyle a \ mapsto a, \ qquad b \ mapsto c, \ qquad c \ mapsto b.}$

Automorfisme externe pentru un grup ciclic $\operatorname {C_{n}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {C_ {n}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {C_ {n}}}$

Într-un grup ciclic cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ elemente sunt acolo $\varphi (n)$ ${\ displaystyle \ varphi (n)}$ $\ varphi (n)$ generatorii și un alt automorfism decât identitatea este neapărat extern (datorită capabilității grupului) și este complet determinat prin stabilirea imaginii unui generator. Dar apoi grupul de automorfisme ale unui grup ciclic de ordine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ are ordine $\varphi (n)$ ${\ displaystyle \ varphi (n)}$ $\ varphi (n)$ (unde este $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ este funcția lui Euler φ ).

Automorfisme externe pentru un grup simetric $\operatorname {S_{n}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {S_ {n}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {S_ {n}}}$

În grupul simetric pe $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ obiecte, dacă $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este diferit de $6$ ${\ displaystyle 6}$ $6$ , automorfismele sunt doar interne.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

Automorfism extern

Automorfisme externe pentru V. 4 {\ displaystyle \ operatorname {V_ {4}}}

Automorfisme externe pentru un grup ciclic C. n {\ displaystyle \ operatorname {C_ {n}}}

Automorfisme externe pentru un grup simetric S. n {\ displaystyle \ operatorname {S_ {n}}}

Automorfisme externe pentru $\operatorname {V_{4}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {V_ {4}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {V_ {4}}}$

Automorfisme externe pentru un grup ciclic $\operatorname {C_{n}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {C_ {n}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {C_ {n}}}$

Automorfisme externe pentru un grup simetric $\operatorname {S_{n}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {S_ {n}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {S_ {n}}}$