Subgrup normal

Subgrupul normal este o noțiune importantă de algebră și mai precis de teoria grupurilor.

Având în vedere un grup G, un subgrup K G este normal (sau invariante) în cazul în care stânga și din dreapta părțile laterale ale fiecărui element g G coincid, adică:

gK=Kg

{\ displaystyle gK = Kg}

gK = Kg

În acest caz, scriem:

K\triangleleft G

{\ displaystyle K \ triangleleft G}

K \ triangleleft G

.

Subgrupurile normale sunt importante în teoria grupurilor, deoarece dacă K este un subgrup normal al lui G este posibil să se definească grupul coeficient G / K.

Definiții echivalente

Există o serie de moduri echivalente de a defini un subgrup normal. Între acestea:

K este un subgrup normal dacă este trimis în sine prin orice automorfism intern :

\forall g\in G,k\in K\quad gkg^{-1}\in K

{\ displaystyle \ forall g \ in G, k \ in K \ quad gkg ^ {- 1} \ in K}

\ forall g \ in G, k \ in K \ quad gkg ^ {{- 1}} \ in K

K este un subgrup normal dacă este închis în raport cu operația conjugală

Proprietate

De sine $K\triangleleft H\triangleleft G$ ${\ displaystyle K \ triangleleft H \ triangleleft G}$ $K \ triangleleft H \ triangleleft G$ , nu se spune că $K\triangleleft G$ ${\ displaystyle K \ triangleleft G}$ $K \ triangleleft G$ . De fapt pot exista izomorfisme non-interne ale $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ care sunt izomorfisme interne ale $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ și că nu trimit $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ in sinea lui. De exemplu, în grupul alternativ $A_{4}$ ${\ displaystyle A_ {4}}$ $A_ {4}$ există trei subgrupuri de ordinul 2 și fiecare dintre ele este normal în un subgrup ( Abelian ) de ordinul 4, care este el însuși normal în $A_{4}$ ${\ displaystyle A_ {4}}$ $A_ {4}$ . Dar cele trei subgrupuri de ordinul doi sunt permutate ciclic de automorfismul intern indus de fiecare element al $A_{4}$ ${\ displaystyle A_ {4}}$ $A_ {4}$ de ordinul 3 și, prin urmare, niciuna dintre ele nu este normală în $A_{4}$ ${\ displaystyle A_ {4}}$ $A_ {4}$ .

Totuși, dacă adăugăm ipoteza că $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ fi caracteristic , în $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ , adică trimis în sine de fiecare automorfism al $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ , chiar ai asta $K\triangleleft G$ ${\ displaystyle K \ triangleleft G}$ $K \ triangleleft G$ .

Exemple

Într-un grup abelian , orice subgrup este normal.
Nucleul unui omomorfism h : G → H este un subgrup normal al lui G.
Subgrupurile {e} și G (cel mai mic și cel mai mare dintre subgrupurile lui G ) sunt întotdeauna normale. Dacă acestea sunt singurele subgrupuri normale, se spune că grupul este simplu .
Grupul de traduceri ale spațiului euclidian este un subgrup normal al grupului de mișcări rigide ale spațiului. De exemplu, în trei dimensiuni: dacă rotiți, apoi traduceți și, în cele din urmă, rotiți în cealaltă direcție, obțineți o traducere (care poate fi diferită de cea inițială).
Intersecția unei familii de subgrupuri normale este normală.
Imaginea inversă a omomorfismului unui subgrup normal este normală. Pe de altă parte, imaginea unui subgrup normal printr-un homomorfism nu este neapărat normală.
Produsul grupurilor normale într-un produs al grupurilor este normal.
Fiecare subgrup al indexului 2 este normal. Mai general, dacă indexul subgrupului $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ a grupului terminat $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este cel mai mic număr prim care împarte ordinea lui $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , asa de $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ este un subgrup normal de $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ .

Bibliografie

Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , ed. A II-a, San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .
Ralph Grimaldi, Matematică discretă și combinatorie , ISBN 0-201-19912-2 .
Gunther Schmidt, 2010. Matematică relațională . Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76268-7 .
Antonio Machì, Grupuri: O introducere la ideile și metodele Teorii de grup , Springer, 2010, ISBN 88-470-0622-8 .
JS Milne, Teoria grupului ( PDF ), 2012. Accesat la 22 februarie 2013 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) AL Shmel'kin, grupul Nilpotent , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică