Algebra minciunii

În matematică , o algebră Lie (numită după Sophus Lie ) este o structură algebrică utilizată în principal pentru studiul obiectelor geometrice analitice, cum ar fi grupurile Lie și varietățile diferențiate .

Definiție

O algebră Lie este o structură constând dintr-un spațiu vectorial ${\mathfrak {g}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ pe un anumit domeniu $\mathbb {F}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F}}$ ${\ mathbb {F}}$ (de exemplu , numere reale , numere complexe sau un câmp finit ) și de către un operator binar $[\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\longrightarrow {\mathfrak {g}}$ ${\ displaystyle [\ cdot, \ cdot]: {\ mathfrak {g}} \ times {\ mathfrak {g}} \ longrightarrow {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle [\ cdot, \ cdot]: {\ mathfrak {g}} \ times {\ mathfrak {g}} \ longrightarrow {\ mathfrak {g}}}$ , denumit produs Lie , care îndeplinește următoarele proprietăți:

este biliniar , adică $\,\![\alpha x+\beta y,z]=\alpha [x,z]+\beta [y,z]$ ${\ displaystyle \, \! [\ alpha x + \ beta y, z] = \ alpha [x, z] + \ beta [y, z]}$ ${\ displaystyle \, \! [\ alpha x + \ beta y, z] = \ alpha [x, z] + \ beta [y, z]}$ Și $\,\![z,\alpha x+\beta y]=\alpha [z,x]+\beta [z,y]$ ${\ displaystyle \, \! [z, \ alpha x + \ beta y] = \ alpha [z, x] + \ beta [z, y]}$ ${\ displaystyle \, \! [z, \ alpha x + \ beta y] = \ alpha [z, x] + \ beta [z, y]}$ pentru fiecare $x,y,z\in {\mathfrak {g}},\alpha ,\beta \in \mathbb {F}$ ${\ displaystyle x, y, z \ in {\ mathfrak {g}}, \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {F}}$ ${\ displaystyle x, y, z \ in {\ mathfrak {g}}, \ alpha, \ beta \ in \ mathbb {F}}$ ;
satisface identitatea Jacobi , adică $\,\![[x,y],z]+[[z,x],y]+[[y,z],x]=0$ ${\ displaystyle \, \! [[x, y], z] + [[z, x], y] + [[y, z], x] = 0}$ ${\ displaystyle \, \! [[x, y], z] + [[z, x], y] + [[y, z], x] = 0}$ pentru fiecare $\,\!x,y,z\in {\mathfrak {g}}$ ${\ displaystyle \, \! x, y, z \ in {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle \, \! x, y, z \ in {\ mathfrak {g}}}$ ;
este nilpotent , adică $\,\![x,x]=0$ ${\ displaystyle \, \! [x, x] = 0}$ ${\ displaystyle \, \! [x, x] = 0}$ pentru fiecare $x\in {\mathfrak {g}}$ ${\ displaystyle x \ in {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle x \ in {\ mathfrak {g}}}$ .

Rețineți că prima și a treia proprietate împreună implică $\,\![x,y]=-[y,x]$ ${\ displaystyle \, \! [x, y] = - [y, x]}$ ${\ displaystyle \, \! [x, y] = - [y, x]}$ pentru fiecare $\,\!x,y\in {\mathfrak {g}}$ ${\ displaystyle \, \! x, y \ in {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle \, \! x, y \ in {\ mathfrak {g}}}$ , aceasta este antisimetria produsului Lie: invers, antisimetria implică proprietatea 3 dacă $\mathbb {F}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F}}$ ${\ mathbb {F}}$ are o caracteristică diferită de 2. Rețineți, de asemenea, că, în general, produsul Lie nu este asociativ , adică $\,\![[x,y],z]\neq [x,[y,z]]$ ${\ displaystyle \, \! [[x, y], z] \ neq [x, [y, z]]}$ ${\ displaystyle \, \! [[x, y], z] \ neq [x, [y, z]]}$ .

Exemple

Se spune că o algebră Lie este abeliană dacă produsul Lie produce vectorul nul pentru toate x și y . Fiecare spațiu vectorial devine în mod trivial o algebră Lie abeliană dacă este îmbogățit cu un produs Lie identic nul.

Spațiul euclidian R ³ devine o algebră Lie dotându-l cu produsul Lie furnizat de produsul extern ( produs vector ) între vectori.

Să considerăm o algebră asociativă A a cărei multiplicare o notăm cu $\cdot$ ${\ displaystyle \ cdot}$ $\ cdot$ ; aceasta poate fi transformată într-o algebră Lie definind $\,\![x,y]=x\cdot y-y\cdot x$ ${\ displaystyle \, \! [x, y] = x \ cdot yy \ cdot x}$ ${\ displaystyle \, \! [x, y] = x \ cdot y-y \ cdot x}$ .

Această expresie se numește comutatorul lui x și y . În schimb, se poate arăta că fiecare algebră Lie poate fi considerată ca o subalgebră a alteia obținută în acest mod dintr-o algebră asociativă.

Alte exemple importante de algebre Lie provin din topologia diferențială . Să luăm în considerare câmpurile vectoriale ale unui multiplu diferențiat V , adică transformările X care asociază o altă funcție de același tip, X f , cu o funcție f pe V și care constituie un spațiu vectorial de dimensiuni infinite. Pentru două astfel de câmpuri vectoriale X și Y , produsul Lie [ X , Y ] este definit de: [ X , Y ] f = (XY - YX) f pentru fiecare funcție f pe V. În acest fel obținem algebra Lie a grupului Lie cu dimensiuni infinite ale difereomorfismelor din varietate.

Spațiul vectorial al câmpurilor vectoriale invariante la stânga dintr-un grup Lie este închis sub această operație și, prin urmare, este o algebră Lie dimensională finită. Alternativ, spațiul vectorial care stă la baza algebrei Lie asociat cu un grup Lie poate fi considerat spațiul tangent la elementul de identitate al grupului. Înmulțirea este diferențialul grupului comutator ( a , b ) | → aba ⁻¹ b ⁻¹ la elementul de identitate.

Ca un exemplu concret considerăm SL grup Lie (n, R) de toate n × n matrici pătrate cu componente reale și determinante 1. Tangenta spațiu pentru matricea de identitate poate fi identificată în spațiul tuturor n × n matrici cu zero , urmări, iar structura algebrei Lie care derivă din grupul Lie coincide cu cea care rezultă din comutatoarele pentru multiplicarea matricei.

Pentru alte exemple despre grupurile Lie și algebrele Lie asociate, consultați intrarea despre grupul Lie .

Homomorfisme, subalgebre și idealuri

Un omomorfism φ: g → h între două algebre Lie g și h pe același câmp de bază F este definit ca o hartă liniară F astfel încât [φ ( x ), φ ( y )] = φ ([ x , y ]) pentru toate x și y în g . Compoziția unor astfel de homomorfisme este încă un homomorfism, iar algebrele Lie de pe câmpul F , împreună cu aceste morfisme, formează o categorie . Dacă un astfel de homomorfism este bijectiv, acesta se numește izomorfism , iar cele două algebre Lie g și h sunt numite izomorfe .

O subalgebră a algebrei Lie g este un subespai liniar h al lui g astfel încât [ x , y ] ∈ h pentru toate x , y ∈ h : o astfel de subalgebră este deci ea însăși o algebră Lie.

Un ideal al algebrei Lie g este un sub spațiu h al g astfel încât [ a , y ] ∈ h pentru toate a ∈ g și y ∈ h . Idealurile sunt subalgebre particulare. Dacă h este un ideal al lui g, atunci spațiul coeficient g / h devine o algebră Lie care definește [ x + h , y + h ] = [ x , y ] + h pentru toate x , y ∈ g . Idealurile sunt tocmai nucleele homomorfismelor, iar teorema fundamentală a homomorfismelor este valabilă și pentru algebrele Lie.

Clasificarea algebrelor Lie

Este cunoscută o clasificare destul de satisfăcătoare a algebrelor Lie și aceasta oferă un ajutor notabil pentru clasificarea grupurilor Lie. Orice algebră Lie reală sau complexă cu dimensiune finită poate fi obținută ca algebră Lie a unui grup Lie complet real sau complex conectat simplu ( teorema lui Ado ^[1] ). Cu toate acestea, pot exista mai multe grupuri Lie, chiar dacă nu pur și simplu conectate, care dau naștere aceleiași algebre Lie. De exemplu, grupurile SO (3) (matrici ortogonale 3 × 3 cu elemente reale cu determinant 1) și SU (2) (matrice complexe unitare 2 × 2 cu elemente complexe cu determinant 1) dau naștere la aceeași algebră Lie, tocmai R ³ echipat cu produsul extern.

O caracterizare mai puțin strictă decât cea a algebrei Lie abeliene este cea a algebrei Lie nilpotente ; Se spune că g este nilpotent dacă seria centrală inferioară : g > [ g , g ]> [[ g , g ], g ]> [[[ g , g ], g ], g ]> ... se reduce la vector zero de la un anumit punct. Prin teorema lui Engel, o algebră Lie este nilpotentă dacă și numai dacă pentru fiecare u în g hartă

ad ( u ): g → g

definit de

ad (u) (v) = [u, v]

este nilpotent. Chiar mai puțin strict, o algebră Lie g se spune că este solubilă dacă termenii din seria derivată : g > [ g , g ]> [[ g , g ], [ g , g ]]> [[[ g , g ] , [ g , g ]], [[ g , g ], [ g , g ]]]> ... reduceți la vector zero de la un anumit punct. O subalgebră rezolvabilă maximă se numește subalgebră Borel .

O algebră Lie g se numește semi-simplă dacă singurul ideal rezolvabil al lui g este trivial. În mod echivalent, g este semisimplă dacă și numai dacă așa-numita formă Killing K ( u , v ) = tr (ad ( u ) ad ( v )) este nedegenerată : aici, tr denotă operatorul de urmărire .

Când câmpul F are zero caracteristică, g este semisimplă dacă și numai dacă fiecare dintre reprezentările sale este complet reductibilă, adică dacă și numai dacă pentru fiecare subspatiu invariant al reprezentării există un complement invariant ( teorema Peter-Weyl ).

O algebră Lie se numește simplă dacă nu este abeliană și nu posedă idealuri non-banale. Algebrele Lie simple constituie o subclasă a semisimplului, în timp ce algebrele Lie mai semisimple mai generale pot fi exprimate ca sume directe de algebre Lie simple.

Algebrele Lie semi-simple complexe sunt clasificate prin sistemele lor radiculare .

Notă

^ Din numele matematicianului rus Igor 'Dmitrievič Ado

Bibliografie

James E. Humphreys Introducere în algebrele minciunii și teoria reprezentării , a doua tipărire, revizuită. Texte postuniversitare în matematică, 9. Springer-Verlag, New York, 1978. ISBN 0-387-90053-5
Nathan Jacobson (1962): Lie algebras , Republication Dover Publications, New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4
Victor G. Kac , et. la. Note de curs pentru MIT 18.745: Introducere în algebrele minciunii , [1]
Robert N. Cahn (1984) Algebre semi-simple de minciună și reprezentările lor , Benjamin-Cummings
Hans Samelson Note despre algebra minciunii

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Lie's Algebra , pe Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 39681 · LCCN (EN) sh85076782 · GND (DE) 4130355-6 · BNF (FR) cb119444791 (dată) · BNE (ES) XX535297 (dată) · NDL (EN, JA) 00.567.367

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Din numele matematicianului rus Igor 'Dmitrievič Ado

[1]