Caracteristic (algebră)

În matematică , caracteristica unui inel este definită ca fiind cel mai mic număr natural $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ diferit de zero astfel încât elementul

{\begin{matrix}\underbrace {1+1+\dots +1} \\n\mathrm {~volte} \end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {1 + 1 + \ dots +1} \\ n \ mathrm {~ times} \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {1 + 1 + \ dots +1} \\ n \ mathrm {~ times} \ end {matrix}}}

este egal cu zero. Dacă acest minim nu există, adică dacă $1+1+\ldots +1$ ${\ displaystyle 1 + 1 + \ ldots +1}$ $1 + 1 + \ ldots +1$ este întotdeauna diferită de zero, caracteristica este $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ Pentru definire.

Multe rezultate importante ale algebrei liniare sau ale geometriei algebrice necesită ca inelul sau câmpul utilizat în teorie să aibă zero caracteristică. Prezența unei caracteristici diferite de zero poate duce la fenomene care se ciocnesc cu intuiția geometrică. Alte rezultate necesită ca inelul sau câmpul să nu aibă nicio caracteristică $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ .

Proprietate

Caracteristica unui element

Mai general, caracteristica unui element $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este cel mai mic $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ astfel încât

{\begin{matrix}\underbrace {a+a+\dots +a} \\k\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {a + a + \ dots + a} \\ k \ end {matrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {a + a + \ dots + a} \\ k \ end {matrix}}}

este egal cu zero. Conform acestei definiții, caracteristica inelului poate fi definită ca cel mai mic multiplu comun al caracteristicilor elementelor sale.

Dacă inelul este un domeniu de integritate , fiecare element diferit de zero are aceeași caracteristică.

număr prim

În domeniile integrității, caracteristica este $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ sau un număr prim : singura excepție este inelul banal (format dintr-un singur element $0=1$ ${\ displaystyle 0 = 1}$ $0 = 1$ ) care este singurul domeniu cu caracteristică $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ .

Inel terminat

Un inel cu un număr finit de elemente are întotdeauna o caracteristică diferită de zero.

Sub-inele, morfisme

De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un sub - inel al $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , are aceeași caracteristică ca $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ .

Mai general, dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ sunt inele și $A\to B$ ${\ displaystyle A \ to B}$ ${\ displaystyle A \ to B}$ este un omomorfism al inelelor , apoi caracteristica $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ împarte cea de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Endomorfismul lui Frobenius

Dacă caracteristica unui inel $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un număr prim $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ , asa de

(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p},

{\ displaystyle (x + y) ^ {p} = x ^ {p} + y ^ {p},}

{\ displaystyle (x + y) ^ {p} = x ^ {p} + y ^ {p},}

pentru toate elementele $X, y$ ${\ displaystyle x, y}$ ${\ displaystyle x, y}$ în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Harta

f:x\mapsto x^{p},

{\ displaystyle f: x \ mapsto x ^ {p},}

{\ displaystyle f: x \ mapsto x ^ {p},}

este deci un endomorfism al inelelor, numit endomorfism Frobenius . Este totuși injectiv $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un domeniu al integrității.

Exemple

Câmpuri raționale, reale, complexe

Câmpurile $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ , $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ Și $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ a numerelor raționale , realele și numerele complexe au zero caracteristici.

Inele terminate

Un inel cu un număr finit de elemente are o caracteristică diferită de zero. De exemplu, inelul $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$ $\ Z / n \ Z$ din restul claselor modulo $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , are caracteristică $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

Numere P-adic

Numerele p-adic formează un câmp de caracteristici zero, deși construcția lor utilizează o familie de inele de caracteristici $p^{k}$ ${\ displaystyle p ^ {k}}$ $p ^ {k}$ cu $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ tindând la infinit.

Caracteristică unui câmp

După cum sa menționat mai sus, caracteristica unui câmp $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este zero sau un număr prim. Câmpul minim dintre toți cei care conțin unitate $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ este un subcâmp al $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ care depinde de caracteristică: dacă acesta este zero, este izomorf pentru câmp $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ a numerelor raționale. Daca este $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ , este izomorf pentru un câmp finit .

Există câmpuri infinite de caracteristici $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ , de exemplu închiderea algebrică a $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z} / p \ mathbb {Z}$ .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică