Principiul bunei ordine

În matematică , principiul bunei ordonări (nu trebuie confundat cu teorema bunei ordonări ), numit uneori principiul celui mai mic număr întreg , sau mai corect principiul celui mai mic număr întreg natural , afirmă că:

Fiecare set de numere naturale care nu sunt goale conține un număr mai mic decât toate celelalte. ^[1]

Cu alte cuvinte, orice subset ne-gol de numere naturale are un minim . Acest lucru este echivalent cu a spune că mulțimea numerelor naturale este o mulțime bine ordonată (în raport cu relația de ordine obișnuită).

Principiul

Este $A\subseteq \mathbb {N}$ ${\ displaystyle A \ subseteq \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle A \ subseteq \ mathbb {N}}$ un set ne-gol.

Atunci $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ admite minim, adică există ${\overline {a}}\in A$ ${\ displaystyle {\ overline {a}} \ în A}$ ${\ displaystyle {\ overline {a}} \ în A}$ astfel încât ${\overline {a}}\leq a$ ${\ displaystyle {\ overline {a}} \ leq a}$ ${\ displaystyle {\ overline {a}} \ leq a}$ , $\forall a\in A$ ${\ displaystyle \ forall a \ în A}$ ${\ displaystyle \ forall a \ în A}$ . ^[1]

Echivalența cu principiul inducției

Principiul bunei ordonări este echivalent cu principiul inducției , în sensul că este posibil să se demonstreze, presupunând celelalte axiome ale lui Peano , că prima este adevărată dacă și numai dacă a doua este adevărată. Să dăm o urmă a dovezii. În cele ce urmează, cele două afirmații vor fi indicate cu PDI (pentru inducție) și PBO (pentru o bună comandă).

$PDI\Rightarrow PBO$ ${\ displaystyle PDI \ Rightarrow PBO}$ ${\ displaystyle PDI \ Rightarrow PBO}$

Fie A un subset de naturale care nu are un element minim: arătăm că este gol, demonstrând prin inducție că N - A complementar său coincide cu întregul set N de naturale:

baza inducției : N - A conține 0; dacă nu ar fi cazul 0 ar fi în A și am avea că A are un element minim (exploatăm faptul că 0 este cel mai mic număr natural).
pas inductiv : dacă N - A conține toate numerele de la 0 la n, atunci trebuie să conțină și numărul n +1; dacă nu ar fi cazul, A ar conține n +1, dar niciunul dintre elementele sale minore; n +1 ar fi deci elementul minim al lui A împotriva ipotezei că acest set nu are niciun element minim.

Deducem că N - A coincide cu N și, prin urmare, A este gol.

$PBO\Rightarrow PDI$ ${\ displaystyle PBO \ Rightarrow PDI}$ ${\ displaystyle PBO \ Rightarrow PDI}$

Fie A un subset de N care conține 0 și astfel încât dacă conține n conține și n +1.

Considerăm N - A complementar și arătăm că este gol folosind PBO.

Prin absurditate :

Dacă nu ar fi gol pentru PBO, ar conține un număr minim m , care nu poate fi 0 (care aparține lui A ). Deci, există un predecesor m -1 care nu poate fi găsit în N - A (deoarece minimul său este m ) și care, prin urmare, se află în A. Dar din ipotezele despre A știm că dacă A conține n = m -1 trebuie să conțină și n + 1 = m , ceea ce este fals. Am ajuns la o contradicție și din aceasta deducem că presupunerea că N - A nu era goală era falsă.

Notă

^ ^a ^b M. Manetti , 22 .

Bibliografie

Marco Manetti, Topologia , Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[manetti-1] M. Manetti , 22 .

[1]