Includere

Subsetul B al lui A

În matematică și în special în teoria mulțimilor , incluziunea , notată cu $\subseteq$ ${\ displaystyle \ subseteq}$ $\ subseteq$ , este o relație binară între seturi definită după cum urmează: "setul $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este conținut sau inclus în întreg $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ dacă și numai dacă, pentru fiecare element $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , de sine $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ aparține lui $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ asa de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ aparține lui $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ În simboluri, sunt date două seturi $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , avem:

B\subseteq A\iff \forall x:x\in B\Rightarrow x\in A.

{\ displaystyle B \ subseteq A \ if \ forall x: x \ in B \ Rightarrow x \ in A.}

B \ subseteq A \ iff \ forall x: x \ in B \ Rightarrow x \ in A.

^[1]

Întregul $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ se numește subset de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Vorbim, mai corect, de includere strictă , pentru a indica faptul că fiecare element al $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este, de asemenea, un element al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ dar că există elemente ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ care nu sunt elemente ale $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ .

În cazul în care toate elementele de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ aparțin și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ vorbim despre un subset necorespunzător (cu alte cuvinte, fiecare set este un subset necorespunzător din sine). Vorbim despre un subgrup propriu-zis dacă cel puțin un element al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ nu este inclus în ansamblu $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , adică în cazul includerii stricte.

B este corect inclus în A.

Simbolul folosit pentru a indica un subset este $\subseteq$ ${\ displaystyle \ subseteq}$ $\ subseteq$ , în timp ce simbolul pentru un subset adecvat este $\subset$ ${\ displaystyle \ subset}$ $\ subset$ . Cu toate acestea, este adesea utilizată o notație alternativă care denotă cu $\subset$ ${\ displaystyle \ subset}$ $\ subset$ un subset și cu $\subsetneq$ ${\ displaystyle \ subsetneq}$ $\ subsetneq$ un subset adecvat (acesta din urmă este folosit și atunci când vrem să evidențiem acest lucru $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ nu coincide cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ).

În mod similar, este definit conceptul de superset ; simbolul folosit este $\supseteq$ ${\ displaystyle \ supseteq}$ $\ supseteq$ (sau $\supset$ ${\ displaystyle \ supset}$ $\ supset$ ) pentru superset , e $\supset$ ${\ displaystyle \ supset}$ $\ supset$ (sau $\supsetneq$ ${\ displaystyle \ supsetneq}$ $\ supsetneq$ ) pentru propriul superset .

Exemplu

Lasa-i sa fie $A=\{1,2,3,5,6,11\}$ ${\ displaystyle A = \ {1,2,3,5,6,11 \}}$ $A = \ {1,2,3,5,6,11 \}$ Și $B=\{1,2,3,6\}$ ${\ displaystyle B = \ {1,2,3,6 \}}$ $B = \ {1,2,3,6 \}$ , asa de $B\subset A$ ${\ displaystyle B \ subset A}$ $B \ subset A$ .

Proprietate

Incluziunea este o relație de ordin larg , adică este o relație reflexivă, antisimetrică și tranzitivă; de aceea sunt valabile:

A\subseteq A

{\ displaystyle A \ subseteq A}

A \ subseteq A

( reflexivitate )

B\subseteq A\land A\subseteq B\Rightarrow B=A

{\ displaystyle B \ subseteq A \ land A \ subseteq B \ Rightarrow B = A}

{\ displaystyle B \ subseteq A \ land A \ subseteq B \ Rightarrow B = A}

( antisimetrie )

C\subseteq B\land B\subseteq A\Rightarrow C\subseteq A

{\ displaystyle C \ subseteq B \ land B \ subseteq A \ Rightarrow C \ subseteq A}

{\ displaystyle C \ subseteq B \ land B \ subseteq A \ Rightarrow C \ subseteq A}

( tranzitivitate )

În special, antisimetria relației este de obicei exploatată pentru a defini egalitatea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ :

"

LA

{\ displaystyle A}

LA

e la fel

B.

{\ displaystyle B}

B.

dacă și numai dacă

LA

{\ displaystyle A}

LA

este cuprins în

B.

{\ displaystyle B}

B.

Și

B.

{\ displaystyle B}

B.

este cuprins în

LA

{\ displaystyle A}

LA

",

acesta este:

A=B\iff A\subseteq B\land B\subseteq A.

{\ displaystyle A = B \ if A \ subseteq B \ land B \ subseteq A.}

{\ displaystyle A = B \ if A \ subseteq B \ land B \ subseteq A.}

Setul gol $\varnothing$ ${\ displaystyle \ varnothing}$ $\ varnothing$ este un subset al fiecărui alt set, adică „pentru fiecare set $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ avem asta $\varnothing \subseteq A$ ${\ displaystyle \ varnothing \ subseteq A}$ $\ varnothing \ subseteq A$ ".

Merită

B\subset A\Leftrightarrow A\supset B;

{\ displaystyle B \ subset A \ Leftrightarrow A \ supset B;}

B \ subset A \ Leftrightarrow A \ supset B;

B\subseteq A\Leftrightarrow A\supseteq B.

{\ displaystyle B \ subseteq A \ Leftrightarrow A \ supseteq B.}

B \ subseteq A \ Leftrightarrow A \ supseteq B.

De sine $B\subseteq A$ ${\ displaystyle B \ subseteq A}$ $B \ subseteq A$ , asa de:

B\cup A=A;

{\ displaystyle B \ cup A = A;}

B \ cup A = A;

B\cap A=B.

{\ displaystyle B \ cap A = B.}

B \ cap A = B.

Distincția între incluziune și apartenență

Trebuie să fim foarte atenți să nu confundăm conceptul de incluziune cu cel de apartenență .

Exemple:

este corect: $2\in \{1,2,3\}$ ${\ displaystyle 2 \ in \ {1,2,3 \}}$ $2 \ in \ {1,2,3 \}$ - acesta este $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ aparține întregului $\{1,2,3\}$ ${\ displaystyle \ {1,2,3 \}}$ $\ {1,2,3 \}$
este incorect : $2\subset \{1,2,3\}$ ${\ displaystyle 2 \ subset \ {1,2,3 \}}$ $2 \ subset \ {1,2,3 \}$ - adică nu se poate spune asta $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ este inclus în set $\{1,2,3\}$ ${\ displaystyle \ {1,2,3 \}}$ $\ {1,2,3 \}$
este corect: $\{2\}\subset \{1,2,3\}$ ${\ displaystyle \ {2 \} \ subset \ {1,2,3 \}}$ $\ {2 \} \ subset \ {1,2,3 \}$ - acesta este singletul $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ este inclus în set $\{1,2,3\}$ ${\ displaystyle \ {1,2,3 \}}$ $\ {1,2,3 \}$

Istorie

Simbolul ⊂, precum și simbolurile ∈ , ∩ , ∪ , au fost introduse pentru prima dată de Giuseppe Peano în Formulario mathico , o lucrare publicată în 1895.