Intersecție (teoria mulțimilor)

În matematică și în special în teoria mulțimilor , intersecția (simbolul $\cap$ ${\ displaystyle \ cap}$ $\Cod poștal$ ) din două seturi $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este ansamblul elementelor care aparțin atât mulțimii $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ decât la întreg $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ în același timp.

Intersecția este o operație binară . În algebra booleană corespunde operatorului AND și, în logică, conjuncției .

Definiție

Intersecția a două mulțimi $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ se notează în mod obișnuit cu $A\cap B$ ${\ displaystyle A \ cap B}$ $A \ cap B$ . Prin urmare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este un element al $A\cap B$ ${\ displaystyle A \ cap B}$ $A \ cap B$ dacă și numai dacă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este un element al mulțimilor $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ simultan, în simboluri:

(x\in A\cap B)\Leftrightarrow (x\in A\wedge x\in B).

{\ displaystyle (x \ in A \ cap B) \ Leftrightarrow (x \ in A \ wedge x \ in B).}

(x \ in A \ cap B) \ Leftrightarrow (x \ in A \ wedge x \ in B).

Mai general, având în vedere orice familie $\{A_{\alpha },\alpha \in {\mathcal {I}}\}$ ${\ displaystyle \ {A _ {\ alpha}, \ alpha \ în {\ mathcal {I}} \}}$ $\ {A _ {\ alpha}, \ alpha \ în {\ mathcal {I}} \}$ de mulțimi, intersecția este definită ca acea mulțime $\cap _{\alpha \in {\mathcal {I}}}A_{\alpha }$ ${\ displaystyle \ cap _ {\ alpha \ in {\ mathcal {I}}} A _ {\ alpha}}$ $\ cap _ {{\ alpha \ in {\ mathcal {I}}}} A _ {\ alpha}$ la care un element $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ apartine daca si numai daca $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ aparține fiecăruia dintre $A_{\alpha }$ ${\ displaystyle A _ {\ alpha}}$ $A _ {\ alpha}$ .

Proprietate

Diagrama Euler-Venn pentru intersecție.

Intersecția unei sfere și a unui cub parțial suprapuse

Din definiție rezultă imediat că intersecția este o operație comutativă , în simboluri:

A\cap B=B\cap A.

{\ displaystyle A \ cap B = B \ cap A.}

A \ cap B = B \ cap A.

Intr-adevar

x\in A\cap B\Leftrightarrow x\in A\wedge x\in B\Leftrightarrow x\in B\wedge x\in A\Leftrightarrow x\in B\cap A.

{\ displaystyle x \ in A \ cap B \ Leftrightarrow x \ in A \ wedge x \ in B \ Leftrightarrow x \ in B \ wedge x \ in A \ Leftrightarrow x \ in B \ cap A.}

x \ in A \ cap B \ Leftrightarrow x \ in A \ wedge x \ in B \ Leftrightarrow x \ in B \ wedge x \ in A \ Leftrightarrow x \ in B \ cap A.

Intersecția este, de asemenea, o operație asociativă :

\left(A\cap B\right)\cap C=A\cap \left(B\cap C\right).

{\ displaystyle \ left (A \ cap B \ right) \ cap C = A \ cap \ left (B \ cap C \ right).}

\ left (A \ cap B \ right) \ cap C = A \ cap \ left (B \ cap C \ right).

Intr-adevar

x\in (A\cap B)\cap C\Leftrightarrow x\in A\cap B\wedge x\in C\Leftrightarrow x\in A\wedge x\in B\wedge x\in C\Leftrightarrow

{\ displaystyle x \ in (A \ cap B) \ cap C \ Leftrightarrow x \ in A \ cap B \ wedge x \ in C \ Leftrightarrow x \ in A \ wedge x \ in B \ wedge x \ in C \ Leftrightarrow }

x \ in (A \ cap B) \ cap C \ Leftrightarrow x \ in A \ cap B \ wedge x \ in C \ Leftrightarrow x \ in A \ wedge x \ in B \ wedge x \ in C \ Leftrightarrow

x\in A\wedge x\in B\cap C\Leftrightarrow x\in A\cap (B\cap C).

{\ displaystyle x \ in A \ wedge x \ in B \ cap C \ Leftrightarrow x \ in A \ cap (B \ cap C).}

x \ in A \ wedge x \ in B \ cap C \ Leftrightarrow x \ in A \ cap (B \ cap C).

Din acest motiv, parantezele pot fi prescrise atunci când se ia în considerare intersecția a mai mult de două seturi, prin simpla scriere $A\cap B\cap C$ ${\ displaystyle A \ cap B \ cap C}$ $A \ cap B \ cap C$ .

Exemple

Ca exemplu elementar trebuie să luăm în considerare două mulțimi finite (adică cu un număr finit de elemente) $A=\{1,2,3\}$ ${\ displaystyle A = \ {1,2,3 \}}$ $A = \ {1,2,3 \}$ Și $B=\{2,3,4\}$ ${\ displaystyle B = \ {2,3,4 \}}$ $B = \ {2,3,4 \}$ . În acest caz poate fi verificat direct pentru fiecare element al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ dacă este și un element al $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ (sau invers), obținând

A\cap B=\{2,3\}.

{\ displaystyle A \ cap B = \ {2,3 \}.}

A \ cap B = \ {2,3 \}.

Un exemplu puțin mai abstract este dat de două seturi definite de anumite proprietăți ale elementelor lor: are $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ mulțimea numerelor întregi divizibile cu $4$ ${\ displaystyle 4}$ $4$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ mulțimea numerelor întregi divizibile cu $6$ ${\ displaystyle 6}$ $6$ . În acest caz, $A\cap B$ ${\ displaystyle A \ cap B}$ $A \ cap B$ este mulțimea numerelor întregi divizibile cu ambele $4$ ${\ displaystyle 4}$ $4$ că pentru $6$ ${\ displaystyle 6}$ $6$ , adică toate numerele întregi divizibile cu $12$ ${\ displaystyle 12}$ $12$ .

Seturile de numere pare și numere impare sunt disjuncte; de fapt, un număr nu poate fi impar și în același timp. Intersecția acestor două mulțimi este deci mulțimea goală.

Istorie

Simbolul ∩, precum și simbolurile ∈ , ∪ , ⊂ , au fost introduse pentru prima dată de Giuseppe Peano în Formulario mathico , o lucrare publicată în 1895.

Bibliografie

Thomas Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald Rivest , Sets, etc. , în Introducere în algoritmi , ediția a XX-a, Cambridge, Massachusetts, The MIT Press, 1998.

Elemente conexe

Uniune
Complement împreună
Teoria mulțimilor
Intersecție în geometrie descriptivă: incidență (geometrie descriptivă)
Sistem de ecuații pentru a determina intersecția dintre seturile de soluții ale ecuațiilor individuale ale sistemului.

Alte proiecte

Wikționarul conține lema dicționarului „ intersecție ”
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe intersecție

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică