Asociativitate
Această intrare sau secțiune despre matematică nu citează sursele necesare sau cei prezenți sunt insuficienți . |
În matematică , asociativitatea (sau proprietatea asociativă ) este o proprietate care poate avea o operație binară . Înseamnă că ordinea evaluării este irelevantă dacă operația apare de mai multe ori într-o expresie. Altfel spus, nu sunt necesare paranteze pentru o operație asociativă. De exemplu, ia în considerare egalitatea
- (5 + 2) +1 = 5+ (2 + 1)
Adăugarea 5 și 2 dă 7, iar adăugarea 1 dă rezultatul 8 pentru partea stângă. Pentru a evalua membrul potrivit, începem să adăugăm 2 și 1 pentru a obține 3, apoi adăugăm 3 și 5 pentru a obține din nou 8. Deci, egalitatea este verificată. De fapt, este adevărat pentru toate numerele reale , nu doar pentru 5, 2 și 1. Spunem că „adunarea în mulțimea numerelor reale este o operație asociativă”.
Operațiile asociative sunt frecvente în matematică și, într-adevăr, multe structuri algebrice necesită în mod explicit ca operațiile lor binare să fie asociative. Cu toate acestea, multe operațiuni importante nu sunt asociative; un exemplu comun este produsul vector .
Definiție
În mod formal, o operație binară pe o mulțime S se numește asociativ dacă îndeplinește legea asociativă :
Ordinea evaluării nu afectează valoarea expresiei respective și se arată că același lucru este valabil și pentru expresiile care conțin un număr arbitrar de operații . Deci când este asociativ, ordinea de evaluare poate fi lăsată nespecificată fără a provoca ambiguitate, omiterea parantezelor și simpla scriere:
Exemple
Iată câteva exemple de operații asociative.
- În aritmetică , adunarea și multiplicarea numerelor reale sunt asociative, adică
- Adunarea și multiplicarea numerelor complexe și a cuaternionilor sunt asociative. Suma octetilor este încă asociativă, dar multiplicarea octetilor nu este asociativă.
- Funcțiile cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun acționează asociativ:
- Intersecția și uniunea mulțimilor :
- Dacă M este un set dat și S reprezintă ansamblul tuturor funcțiilor de la M la M , atunci operația de compunere a funcțiilor pe S este asociativă:
- Puțin mai general, având în vedere patru seturi M , N , P și Q , cu f: M la N , g : N la P și h : P la Q , apoi
- Ca inainte. Pe scurt, compoziția hărții este întotdeauna asociativă.
- O matrice reprezintă o transformare liniară între spații vectoriale față de baze fixe, iar produsul matricelor corespunde compoziției transformărilor liniare corespunzătoare. Prin urmare, din asociativitatea compoziției funcțiilor rezultă asociativitatea produsului matricilor.
Nesociativitate
O operație binară pe un set S care nu satisface legea asociativă se numește neasociativ . În simboluri,
Pentru această operațiune, ordinea evaluării este importantă. Scăderea , divizarea și exponențierea sunt exemple binecunoscute de operații neasociative:
În general, parantezele ar trebui utilizate pentru a indica ordinea evaluării, dacă o operație neasociativă apare de mai multe ori într-o expresie. Cu toate acestea, matematicienii sunt de acord cu o anumită ordine de evaluare pentru multe operații comune neasociative. Aceasta este o convenție, nu un adevăr matematic.
O operație asociativă stângă este o operație neasociativă care este evaluată convențional de la stânga la dreapta, adică
în timp ce o operațiune asociativă din dreapta este evaluată convențional de la dreapta la stânga:
Există atât operațiuni asociative în stânga, cât și operațiuni asociative în dreapta; câteva exemple sunt date mai jos.
Alte exemple
Operațiunile asociative din stânga includ:
- Scăderea și împărțirea numerelor reale:
Operațiunile asociative din dreapta includ următoarele:
- Exponențierea numerelor reale:
- Motivul pentru care exponențierea este asociativă corectă este că exponențierea asociativă stângă repetată ar fi mai puțin practic: de exemplu, funcția fără paranteze ar fi identificat cu . Repetițiile multiple pot (și, pentru claritate, sunt) rescrise cu simbolul multiplicării:
- operatorul de atribuire în multe limbaje de programare este asociativ drept, de exemplu în cazul limbajului C.
-
x = y = z;
înseamnăx = (y = z);
și nu(x = y) = z;
-
- Cu alte cuvinte, instrucțiunea atribuie valoarea
z
atât luiy
cât și luix
.
Operațiunile neasociative pentru care nu a fost definită o ordine de evaluare convențională includ următoarele:
- Luați media numerelor reale:
- Luați complementul relativ al seturilor:
Elemente conexe
Alte proiecte
- Wikționarul conține lema dicționarului „ asociativitate ”