Compoziția funcțiilor

În matematică , compoziția funcțiilor este aplicarea unei funcții la rezultatul unei alte funcții. Mai exact, o funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ între două seturi $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ transformă fiecare element al $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ într-una din $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ : când există o altă funcție $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ care transformă fiecare element al $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ într-un element al altui set $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ , compoziția $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ ca funcție care transformă fiecare element al $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ într-una din $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ folosind înainte $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ atunci $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ . Simbolul Unicode al operatorului este ∘ (U + 2218).

Definiție

g\circ f

{\ displaystyle g \ circ f}

g \ circ f

, compoziția

f

{\ displaystyle f}

f

Și

g

{\ displaystyle g}

g

În mod formal, au două funcții $f\colon X\to Y$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to Y}$ $f \ colon X \ to Y$ Și $g\colon Y\to Z$ ${\ displaystyle g \ colon Y \ to Z}$ $g \ colon Y \ to Z$ definim funcția compusă:

g\circ f\colon X\rightarrow Z

{\ displaystyle g \ circ f \ colon X \ rightarrow Z}

g \ circ f \ colon X \ rightarrow Z

(g\circ f)(x)=g(f(x))\ \forall x\in X

{\ displaystyle (g \ circ f) (x) = g (f (x)) \ \ forall x \ în X}

(g \ circ f) (x) = g (f (x)) \ \ forall x \ în X

aplicând mai întâi $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ la $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și apoi aplicând $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ la rezultat $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ .

De exemplu, să presupunem înălțimea unui avion în acel moment $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ este dat de o funcție $h(t)$ ${\ displaystyle h (t)}$ $h (t)$ și că concentrația de oxigen din atmosferă la înălțime $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este dat de o altă funcție $c(x)$ ${\ displaystyle c (x)}$ $c (x)$ . Atunci $(c\circ h)(t)=c(h(t))$ ${\ displaystyle (c \ circ h) (t) = c (h (t))}$ $(c \ circ h) (t) = c (h (t))$ descrie concentrația de oxigen în poziția aeronavei la momentul respectiv $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ .

Din motive istorice, compoziția este scrisă „de la dreapta la stânga”, spre deosebire de citirea normală „de la stânga la dreapta” a limbilor europene. Din acest motiv, unii autori preferă să utilizeze o notație inversată și să scrie $X f g$ ${\ displaystyle xfg}$ $xfg$ in loc de $g(f(x))$ ${\ displaystyle g (f (x))}$ $g (f (x))$ .

Pentru a compune două funcții este strict necesar ca domeniul de $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ coincide cu codomainul din $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . În unele domenii, totuși, prin identificarea necorespunzătoare a două funcții care au aceeași lege de aplicare, dar domenii și codomini diferite, se consideră suficient ca imaginea $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ și domeniul $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ au o intersecție ne-goală.

Proprietate

Compoziția funcțiilor este întotdeauna asociativă . Cu alte cuvinte, dacă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ Și $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ sunt trei funcții cu domenii și codomini corespunzătoare, atunci $f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h$ ${\ displaystyle f \ circ (g \ circ h) = (f \ circ g) \ circ h}$ $f \ circ (g \ circ h) = (f \ circ g) \ circ h$ . Din acest motiv, parantezele pot fi omise în componența mai multor funcții.

Compoziția a două injective funcții este injectiv și a două surjective funcții este surjectiv. Prin urmare, compoziția a două funcții bijective este bijectivă . Dar inversul nu este adevărat.

Ansamblul funcțiilor bijective $f\colon X\to X$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to X}$ $f \ colon X \ to X$ , cu operația de compoziție, este un grup . Proprietatea asociativă este garantată pentru cele de mai sus, elementul neutru este funcția de identitate $(f(x)=x$ ${\ displaystyle (f (x) = x}$ $(f (x) = x$ pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ) și există întotdeauna un invers deoarece funcțiile sunt bijective. Acest grup este, de asemenea, numit grupul de permutare a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Dacă întregul $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ conține mai mult de două elemente, acest grup nu este comutativ : în general, două funcții bijective nu fac naveta.

Derivată a funcțiilor compuse

Același subiect în detaliu: Regula lanțului .

Derivata funcției compuse este produsul derivatei funcției „externe” înmulțită cu derivata funcției „interne”:

D[f(g(x))]=f'(g(x))\cdot g'(x)

{\ displaystyle D [f (g (x))] = f '(g (x)) \ cdot g' (x)}

D [f (g (x))] = f '(g (x)) \ cdot g' (x)

unde notațiile $D[f(x)]$ ${\ displaystyle D [f (x)]}$ $D [f (x)]$ Și $f'(x)$ ${\ displaystyle f '(x)}$ $f '(x)$ indicați același sens al derivatului.

Formula este valabilă și pentru funcțiile mai multor variabile reale și pentru funcțiile vectoriale . Derivarea teoremei funcțiilor compuse afirmă că dacă:

\mathbf {x} (t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),\dots ,x_{n}(t))\quad t\in \mathbb {R}

{\ displaystyle \ mathbf {x} (t) = (x_ {1} (t), x_ {2} (t), \ dots, x_ {n} (t)) \ quad t \ in \ mathbb {R} }

{\ mathbf x} (t) = (x_ {1} (t), x_ {2} (t), \ dots, x_ {n} (t)) \ quad t \ in \ mathbb {R}

este un vector al $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb R ^ n$ ale căror componente sunt funcții diferențiate:

\mathbf {x} '(t)=(x'_{1}(t),x'_{2}(t),\dots ,x'_{n}(t))

{\ displaystyle \ mathbf {x} '(t) = (x' _ {1} (t), x '_ {2} (t), \ dots, x' _ {n} (t))}

{\ mathbf x} '(t) = (x' _ {1} (t), x '_ {2} (t), \ dots, x' _ {n} (t))

si daca $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o funcție diferențiată în $\mathbf {x} (t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} (t)}$ ${\ mathbf x} (t)$ , apoi funcția compusă:

F(t)=f(\mathbf {x} (t))

{\ displaystyle F (t) = f (\ mathbf {x} (t))}

F (t) = f ({\ mathbf x} (t))

este diferențiat în variabilă $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ și avem:

F'(t)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f(\mathbf {x} (t))}{\partial x_{i}}}x'_{i}(t)=(\nabla F(\mathbf {x} ),\mathbf {x} '(t))

{\ displaystyle F '(t) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f (\ mathbf {x} (t))} {\ partial x_ {i}}} x' _ {i} (t) = (\ nabla F (\ mathbf {x}), \ mathbf {x} '(t))}

F '(t) = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} {\ frac {\ partial f ({\ mathbf x} (t))} {\ partial x_ {i}}} x'_ {i} (t) = (\ nabla F ({\ mathbf x}), {\ mathbf x} '(t))

unde este $\nabla$ ${\ displaystyle \ nabla}$ $\ nabla$ este gradientul de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $(,)$ ${\ displaystyle (,)}$ $(,)$ este produsul standard dot euclidian .

În cele din urmă, dacă $\mathbf {f}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f}}$ $\ mathbf f$ Și $\mathbf {g}$ ${\ displaystyle \ mathbf {g}}$ ${\ mathbf g}$ sunt două funcții vectoriale diferențiabile compozabile, apoi:

J[(\mathbf {f} \circ \mathbf {g} )(x)]=J[\mathbf {f} (\mathbf {g} (x))]\cdot J[\mathbf {g} (x)]

{\ displaystyle J [(\ mathbf {f} \ circ \ mathbf {g}) (x)] = J [\ mathbf {f} (\ mathbf {g} (x))] \ cdot J [\ mathbf {g } (X)]}

J [({\ mathbf f} \ circ {\ mathbf g}) (x)] = J [{\ mathbf f} ({\ mathbf g} (x))] \ cdot J [{\ mathbf g} (x )]

unde este $\cdot$ ${\ displaystyle \ cdot}$ $\ cdot$ este multiplicarea matricilor și $J[\mathbf {f} (x)]$ ${\ displaystyle J [\ mathbf {f} (x)]}$ $J [{\ mathbf f} (x)]$ este matricea iacobiană a $\mathbf {f}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f}}$ $\ mathbf f$ .

Compoziții iterate

O functie $f\colon X\to X$ ${\ displaystyle f \ colon X \ to X}$ $f \ colon X \ to X$ (nu neapărat bijectiv) poate fi compus cu sine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ori și rezultatul, numit iterat $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -thth din $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , poate fi scris $f^{n}$ ${\ displaystyle f ^ {n}}$ $f ^ {n}$ când nu generează ambiguitate. De exemplu cu $\sin ^{2}(x)$ ${\ displaystyle \ sin ^ {2} (x)}$ $\ sin ^ {2} (x)$ pătratul sinusului lui este desemnat în mod obișnuit $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , acesta este $\sin(x)^{2}=\sin(x)\cdot \sin(x)$ ${\ displaystyle \ sin (x) ^ {2} = \ sin (x) \ cdot \ sin (x)}$ $\ sin (x) ^ {2} = \ sin (x) \ cdot \ sin (x)$ , în loc de valoarea în $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ a compoziției sânului cu el însuși, adică $(\sin \circ \sin )(x)=\sin(\sin(x))$ ${\ displaystyle (\ sin \ circ \ sin) (x) = \ sin (\ sin (x))}$ $(\ sin \ circ \ sin) (x) = \ sin (\ sin (x))$ .

Studiul compozițiilor iterate ale unei funcții este un subiect comun în contextul sistemelor dinamice discrete și în special în definiția fractalelor , care pot fi găsite prin iterarea unei funcții de ori infinită .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre compunerea funcțiilor

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică