Matrice iacobiană

În analiza matematică , în special în calculul vectorial și în calculul infinitezimal , matricea Jacobi sau matricea iacobiană a unei funcții care are domeniu și interval într-un spațiu euclidian este matricea ale cărei elemente sunt primele derivate parțiale ale funcției. Jacobianul este determinantul matricei Jacobian, atunci când acesta este pătrat. Numele i se datorează lui Carl Gustav Jacob Jacobi . Importanța sa este legată de faptul că, în cazul în care funcția este diferențiată , Jacobianul reprezintă cea mai bună aproximare liniară a funcției în apropierea unui punct dat. În acest sens, Jacobianul ne permite să generalizăm conceptul de derivată extinzând această noțiune la funcțiile vectoriale ale unei variabile vectoriale.

Definiție

Este $\mathbf {f} :U\subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f}: U \ subset \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f}: U \ subset \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {m}}$ o funcție definită pe un set deschis $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ a spațiului euclidian $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb R ^ n$ . Matricea Jacobiană a funcției ${\mathbf {f} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {f}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {f}}}$ în $\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ este matricea primelor derivate parțiale ale funcției calculate în $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ :

\operatorname {J} \mathbf {f} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}},\qquad (\operatorname {J} \mathbf {f} )_{ij}={\frac {\partial f_{i}(\mathbf {x} )}{\partial x_{j}}}.

{\ displaystyle \ operatorname {J} \ mathbf {f} = {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ partial f_ {1}} {\ partial x_ {1}}} & \ cdots & {\ dfrac {\ partial f_ {1}} {\ partial x_ {n}}} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ dfrac {\ partial f_ {m}} {\ partial x_ {1}}} & \ cdots & {\ dfrac {\ partial f_ {m}} {\ partial x_ {n}}} \ end {bmatrix}}, \ qquad (\ operatorname {J} \ mathbf {f}) _ {ij} = {\ frac { \ partial f_ {i} (\ mathbf {x})} {\ partial x_ {j}}}.}

{\ displaystyle \ operatorname {J} \ mathbf {f} = {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ partial f_ {1}} {\ partial x_ {1}}} & \ cdots & {\ dfrac {\ partial f_ {1}} {\ partial x_ {n}}} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ dfrac {\ partial f_ {m}} {\ partial x_ {1}}} & \ cdots & {\ dfrac {\ partial f_ {m}} {\ partial x_ {n}}} \ end {bmatrix}}, \ qquad (\ operatorname {J} \ mathbf {f}) _ {ij} = {\ frac { \ partial f_ {i} (\ mathbf {x})} {\ partial x_ {j}}}.}

Rezultatul este deci produsul tensorial dintre operatorul diferențial vector nabla și funcția în sine:

\operatorname {J} _{j}=\nabla _{i}={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}.

{\ displaystyle \ operatorname {J} _ {j} = \ nabla _ {i} = {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}}.}

{\ displaystyle \ operatorname {J} _ {j} = \ nabla _ {i} = {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}}.}

În special, a spus:

\{\mathbf {e} _{j}\}_{1\leq j\leq n}\qquad \{\mathbf {u} _{i}\}_{1\leq i\leq m},

{\ displaystyle \ {\ mathbf {e} _ {j} \} _ {1 \ leq j \ leq n} \ qquad \ {\ mathbf {u} _ {i} \} _ {1 \ leq i \ leq m },}

{\ displaystyle \ {\ mathbf {e} _ {j} \} _ {1 \ leq j \ leq n} \ qquad \ {\ mathbf {u} _ {i} \} _ {1 \ leq i \ leq m },}

baza canonică a $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb R ^ n$ Și $\mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$ $\ mathbb R ^ m$ respectiv $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ - vectorul coloanei a matricei Jacobian este dat de:

{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\,(\mathbf {f} \cdot \mathbf {e} _{j})=\sum _{i=1}^{m}{\frac {\partial f_{i}(\mathbf {x} )}{\partial x_{j}}}\cdot \mathbf {u} _{i}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}} \, (\ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {e} _ {j}) = \ sum _ {i = 1} ^ { m} {\ frac {\ partial f_ {i} (\ mathbf {x})} {\ partial x_ {j}}} \ cdot \ mathbf {u} _ {i}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}} \, (\ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {e} _ {j}) = \ sum _ {i = 1} ^ { m} {\ frac {\ partial f_ {i} (\ mathbf {x})} {\ partial x_ {j}}} \ cdot \ mathbf {u} _ {i}}

unde punctul indică produsul punct.

Cu toate acestea, Jacobianul nu este o simplă reprezentare matricială a derivatelor parțiale. Functia $\mathbf {f}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f}}$ $\ mathbf f$ se spune că poate fi diferențiat la un moment dat $\mathbf {x} '$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '}$ $\ mathbf x '$ domeniu dacă există o aplicație liniară $\mathbf {L} :\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L}: \ mathbb {R} ^ {n} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {m}}$ $\ mathbf {L}: \ mathbb R ^ n \ rightarrow \ mathbb R ^ m$ astfel încât aproximarea să aibă: ^[1]

\mathbf {f} (\mathbf {x} '+\Delta \mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {x} ')=\mathbf {L} (\mathbf {x} ')\Delta \mathbf {x} +\mathbf {r} (\Delta \mathbf {x} )

{\ displaystyle \ mathbf {f} (\ mathbf {x} '+ \ Delta \ mathbf {x}) - \ mathbf {f} (\ mathbf {x}') = \ mathbf {L} (\ mathbf {x} ') \ Delta \ mathbf {x} + \ mathbf {r} (\ Delta \ mathbf {x})}

{\ displaystyle \ mathbf {f} (\ mathbf {x} '+ \ Delta \ mathbf {x}) - \ mathbf {f} (\ mathbf {x}') = \ mathbf {L} (\ mathbf {x} ') \ Delta \ mathbf {x} + \ mathbf {r} (\ Delta \ mathbf {x})}

unde restul $\mathbf {r} (\Delta \mathbf {x} )$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} (\ Delta \ mathbf {x})}$ $\ mathbf r (\ Delta \ mathbf {x})$ este anulat atunci când incrementul este anulat $\Delta \mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ Delta \ mathbf {x}}$ ${\ displaystyle \ Delta \ mathbf {x}}$ . Dacă funcția $\mathbf {f}$ ${\ displaystyle \ mathbf {f}}$ $\ mathbf {f}$ este diferențiat în $\mathbf {x} '$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '}$ $\ mathbf x '$ , atunci există toate derivatele parțiale calculate la punctul respectiv. Jacobianul $\operatorname {J} _{\mathbf {f} (\mathbf {x} ')}$ ${\ displaystyle \ operatorname {J} _ {\ mathbf {f} (\ mathbf {x} ')}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {J} _ {\ mathbf {f} (\ mathbf {x} ')}}$ din $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în $\mathbf {x} '$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '}$ $\ mathbf x '$ este matricea asociată cu aplicația liniară $\mathbf {L} (\mathbf {x} ')$ ${\ displaystyle \ mathbf {L} (\ mathbf {x} ')}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L} (\ mathbf {x} ')}$ cu privire la baza canonică a $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb R ^ n$ Și $\mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$ $\ mathbb R ^ m$ : ^[2]

{\begin{aligned}\mathbf {L} (\mathbf {x} ')\Delta \mathbf {x} &=\operatorname {J} {\mathbf {f} (\mathbf {x} ')}\cdot \Delta \mathbf {x} \\&=\sum _{i=1}^{m}\left[\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f_{i}(\mathbf {x} ')}{\partial x_{j}}}\Delta x_{j}\right]\cdot \mathbf {u} _{i}\\&={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}\cdot \Delta \mathbf {x} \end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {L} (\ mathbf {x} ') \ Delta \ mathbf {x} & = \ operatorname {J} {\ mathbf {f} (\ mathbf {x}') } \ cdot \ Delta \ mathbf {x} \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {m} \ left [\ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f_ {i } (\ mathbf {x} ')} {\ partial x_ {j}}} \ Delta x_ {j} \ right] \ cdot \ mathbf {u} _ {i} \\ & = {\ begin {bmatrix} { \ dfrac {\ partial f_ {1}} {\ partial x_ {1}}} & \ cdots & {\ dfrac {\ partial f_ {1}} {\ partial x_ {n}}} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ dfrac {\ partial f_ {m}} {\ partial x_ {1}}} & \ cdots & {\ dfrac {\ partial f_ {m}} {\ partial x_ {n}}} \ end {bmatrix}} \ cdot \ Delta \ mathbf {x} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {L} (\ mathbf {x} ') \ Delta \ mathbf {x} & = \ operatorname {J} {\ mathbf {f} (\ mathbf {x}') } \ cdot \ Delta \ mathbf {x} \\ & = \ sum _ {i = 1} ^ {m} \ left [\ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f_ {i } (\ mathbf {x} ')} {\ partial x_ {j}}} \ Delta x_ {j} \ right] \ cdot \ mathbf {u} _ {i} \\ & = {\ begin {bmatrix} { \ dfrac {\ partial f_ {1}} {\ partial x_ {1}}} & \ cdots & {\ dfrac {\ partial f_ {1}} {\ partial x_ {n}}} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ dfrac {\ partial f_ {m}} {\ partial x_ {1}}} & \ cdots & {\ dfrac {\ partial f_ {m}} {\ partial x_ {n}}} \ end {bmatrix}} \ cdot \ Delta \ mathbf {x} \ end {align}}}

Jacobianul extinde astfel conceptul de derivată a unei funcții reale (complexe) într-una (două) variabile la cazul unei funcții definite în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ .

Cazuri notabile

În funcție de mărime $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ Și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , Jacobianul are mai multe interpretări geometrice:

De sine $m=1$ ${\ displaystyle m = 1}$ $m = 1$ , Jacobianul este redus la un vector $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -dimensional, numit gradientul de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ . În acest caz avem:

L(\mathbf {x} )=\nabla f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial x_{i}}}\cdot \mathbf {e} _{i}

{\ displaystyle L (\ mathbf {x}) = \ nabla f = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f (\ mathbf {x})} {\ partial x_ {i} }} \ cdot \ mathbf {e} _ {i}}

{\ displaystyle L (\ mathbf {x}) = \ nabla f = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f (\ mathbf {x})} {\ partial x_ {i} }} \ cdot \ mathbf {e} _ {i}}

Gradientul indică direcția "cea mai abruptă" a graficului funcțional în punct.

De sine $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ , functia $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ parametrizează o curbă în $\mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$ $\ mathbb R ^ m$ , diferențialul său este o funcție care definește direcția liniei tangente la curbă în punct.

De sine $m=n=1$ ${\ displaystyle m = n = 1}$ $m = n = 1$ , condiția de diferențiere coincide cu condiția de diferențiere. Matricea iacobiană este redusă la un număr, adică derivată .

Mai multe combinații liniare de derivate parțiale sunt foarte importante în contextul ecuațiilor diferențiale care implică o funcție vectorială din $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ in sinea lui. În special, divergența este un câmp scalar care măsoară tendința unui câmp vector de a divergența sau convergerea către un punct din spațiu și permite calcularea fluxului câmpului prin teorema divergenței . Mai mult, rotorul unui câmp vectorial descrie rotația infinitesimală a acestuia prin asocierea unui vector la fiecare punct din spațiu. Acest vector este aliniat cu axa de rotație, direcția sa este în concordanță cu cea a rotației conform regulii mâinii drepte și lungimea sa cuantifică întinderea rotației.

Jacobian

De sine $m=n$ ${\ displaystyle m = n}$ $m = n$ , asa de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o funcție din spațiu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ - dimensională în sine și Jacobianul este o matrice pătrată . În acest caz, putem calcula determinantul său, cunoscut sub numele de Jacobian .

Iacobianul la un moment dat oferă informații importante despre comportamentul lui $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în jurul punctului. De exemplu, o funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ continuu diferențiat este inversabil aproape de $\mathbf {x} '$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '}$ $\ mathbf x '$ dacă Jacobianul în $\mathbf {x} '$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '}$ $\ mathbf x '$ este diferită de zero, după cum stabilește teorema funcției inverse . Mai mult, dacă iacobianul din $\mathbf {x} '$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '}$ $\ mathbf x '$ este pozitiv $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ păstrați orientarea în apropiere $\mathbf {x} '$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '}$ $\ mathbf x '$ , în timp ce dacă determinantul este negativ $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ inversează orientarea.

Valoarea absolută a lui Jacobian în $\mathbf {x} '$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '}$ $\ mathbf x '$ dă factorul a cărui funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ extinde sau reduce volumele apropiate $\mathbf {x} '$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} '}$ $\ mathbf x '$ : din acest motiv apare în regula generală a substituției .

Exemplu

Jacobianul funcției $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R} ^ {3}}$ $f: \ R ^ 3 \ to \ R ^ 3$ cu componente:

{\begin{cases}f_{1}=5x_{2}\\f_{2}=4x_{1}^{2}-2\sin(x_{2}x_{3})\\f_{3}=x_{2}x_{3}\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} f_ {1} = 5x_ {2} \\ f_ {2} = 4x_ {1} ^ {2} -2 \ sin (x_ {2} x_ {3}) \\ f_ {3} = x_ {2} x_ {3} \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} f_ {1} = 5x_ {2} \\ f_ {2} = 4x_ {1} ^ {2} -2 \ sin (x_ {2} x_ {3}) \\ f_ {3} = x_ {2} x_ {3} \ end {cases}}}

Și:

{\begin{vmatrix}0&5&0\\8x_{1}&-2x_{3}\cos(x_{2}x_{3})&-2x_{2}\cos(x_{2}x_{3})\\0&x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-8x_{1}{\begin{vmatrix}5&0\\x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-40x_{1}x_{2}

{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} 0 & 5 & 0 \\ 8x_ {1} & - 2x_ {3} \ cos (x_ {2} x_ {3}) & - 2x_ {2} \ cos (x_ {2 } x_ {3}) \\ 0 & x_ {3} & x_ {2} \ end {vmatrix}} = - 8x_ {1} {\ begin {vmatrix} 5 & 0 \\ x_ {3} & x_ {2 } \ end {vmatrix}} = - 40x_ {1} x_ {2}}

{\ displaystyle {\ begin {vmatrix} 0 & 5 & 0 \\ 8x_ {1} & - 2x_ {3} \ cos (x_ {2} x_ {3}) & - 2x_ {2} \ cos (x_ {2 } x_ {3}) \\ 0 & x_ {3} & x_ {2} \ end {vmatrix}} = - 8x_ {1} {\ begin {vmatrix} 5 & 0 \\ x_ {3} & x_ {2 } \ end {vmatrix}} = - 40x_ {1} x_ {2}}

Din aceasta vedem că ${\textstyle f}$ ${\ textstyle f}$ ${\ textstyle f}$ inversează orientarea în apropierea acelor puncte în care ${\textstyle x_{1}}$ ${\ textstyle x_ {1}}$ ${\ textstyle x_ {1}}$ Și ${\textstyle x_{2}}$ ${\ textstyle x_ {2}}$ ${\ textstyle x_ {2}}$ au același semn. Funcția este inversabilă local peste tot, cu excepția punctelor caracterizate de $x_{1}=0$ ${\ displaystyle x_ {1} = 0}$ $x_1 = 0$ și din $x_{2}=0$ ${\ displaystyle x_ {2} = 0}$ ${\ displaystyle x_ {2} = 0}$ . Dacă începeți cu un volum mic în jurul punctului $(1,1,1)$ ${\ displaystyle (1,1,1)}$ $(1,1,1)$ și se aplică $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ la acest volum se obține un volum de 40 de ori mai mare decât originalul.

Notă

^ Rudin , p. 213 .
^ Rudin , p. 217.

Bibliografie

Nicola Fusco , Paolo Marcellini , Carlo Sbordone , Lecții de analiză matematică datorate , Zanichelli, 2020, ISBN 9788808520203 .
Walter Rudin , Principiile analizei matematice , Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1 .
FR Gantmakher, MG Kerin, Matrici și miezuri de oscilație și mici vibrații ale sistemelor mecanice , Departamentul Comerț SUA. Publicare comună Serviciu (1961)

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) DA Suprunenko, matrice Jacobi , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
Mathworld O explicație mai tehnică a iacobienilor

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Rudin , p. 213 .

[2] Rudin , p. 217.

[1]

[2]

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Număr real · infinitesimal · O mare · Succesiune ( de funcții ) · Succesiunea lui Cauchy · teorema Bolzano-Weierstrass · estimare asimptotică · Limită ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limită considerabilă · punct de acumulare · punct izolat · În jurul valorii · Serie ( funcție ) · criterii de convergență · limită a funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitate triunghiulară · Inegalitate Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · Locale Diffeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuație diferențială · Problemă Cauchy