Închise împreună

Punctele

(x,y)

{\ displaystyle (x, y)}

(X y)

a planului cartezian care satisfac relația

x^{2}+y^{2}=r^{2}

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2}}

x ^ {2} + y ^ {2} = r ^ {2}

formează un cerc desenat aici în albastru având centrul la originea axelor carteziene și de rază

r

{\ displaystyle r}

r

. Punctele astfel încât

x^{2}+y^{2}<r^{2}

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} <r ^ {2}}

x ^ {2} + y ^ {2} <r ^ {2}

sunt desenate în roșu. Unirea punctelor desenate în roșu și a celor în albastru este un set închis, în timp ce singura parte desenată în roșu formează un set deschis.

În matematică , în special în topologie , un subset $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ a unui spațiu topologic $(X,{\mathcal {T}})$ ${\ displaystyle (X, {\ mathcal {T}})}$ $(X, \ mathcal {T})$ este închis dacă complementul său este deschis . Intuitiv, dacă un set este închis înseamnă că „muchia” setului aparține setului în sine, de fapt o definiție echivalentă cu cea anterioară este următoarea: $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este închis dacă conține marginea sa.

Seturile închise au deci următoarele proprietăți, „complementare” cu cele ale seturilor deschise, valabile în orice spațiu topologic:

unirea unui număr finit de închis este încă una închisă;
intersecția unei colecții arbitrare de închis este încă una închisă;
întregul întreg $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ iar setul gol este închis.

Puteți utiliza aceste proprietăți ca axiome pentru a defini o topologie $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ începând de la cele închise, ceea ce coincide cu cel generat în mod obișnuit de familie ${\mathcal {T}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {T}}}$ ${\ mathcal {T}}$ de deschideri complementare.

Exemple

Următoarele subseturi sunt seturi închise ale liniei reale cu topologia obișnuită indusă de metrica euclidiană :

subseturi care conțin un singur element;
intervalele $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ , cu $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ numere reale finite;
intervalele $[a,+\infty )$ ${\ displaystyle [a, + \ infty)}$ $[a, + \ infty)$ Și $(-\infty ,b]$ ${\ displaystyle (- \ infty, b]}$ $(- \ infty, b]$ , cu $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ numere reale finite;
subseturile numerelor naturale și ale numerelor întregi ;
setul Cantor .

Următoarele subseturi nu sunt seturi închise ale liniei reale cu topologia obișnuită indusă de metrica euclidiană :

intervalele $[a,b)$ ${\ displaystyle [a, b)}$ $[a, b)$ Și $(a,b]$ ${\ displaystyle (a, b]}$ $(a, b]$ , cu $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ numere reale finite;
subsetul numerelor raționale .

Alte exemple de seturi închise sunt:

orice subspatiu vectorial al spatiului euclidian ;
un cerc (inclusiv circumferința ) în plan, o sferă (cu suprafața sa) în spațiu și mai general o hipersferă (cu marginea sa) într-un spațiu euclidian la $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ mărimea. Mai general, întregul
$S=\left\{x\in X:d\left(x,O\right)\leq R\right\}$ ${\ displaystyle S = \ left \ {x \ în X: d \ left (x, O \ right) \ leq R \ right \}}$ $S = \ left \ {x \ in X: d \ left (x, O \ right) \ leq R \ right \}$
unde este $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ este un punct al spațiului și $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ un număr real pozitiv este un set închis de spațiu metric $(X,d)$ ${\ displaystyle (X, d)}$ $(X, d)$ cu topologie indusă de metrică $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ .

Proprietate

Un subset închis al unui set compact este, de asemenea, compact.
Un subset compact într-un spațiu Hausdorff este închis.
Frontiera oricărui set este închisă.
Într-un spațiu metric (de exemplu cel euclidian), punctele sunt închise.
Un spațiu topologic este un spațiu T1 dacă și numai dacă toate punctele sale sunt închise.
Contraimaginea unui închis printr-o funcție continuă între două spații topologice este închisă.

Bibliografie

Edoardo Sernesi, Geometry 2 , Turin, Bollati Boringhieri , 1994, ISBN 978-88-339-5548-3 .
Czes Kosniowski, Introducere în topologia algebrică , Zanichelli, 1988, ISBN 88-08-06440-9 .
(EN) Stephen Willard, Topologie generală, Reading, MA, Addison-Wesley, 1970, ISBN 0-486-43479-6 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Set închis , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică