Rețea (matematică)

Acest articol tratează rețelele din spațiile topologice și nu rețelele ε din spațiile metrice

În topologie și în domeniile conexe ale matematicii, o rețea sau o secvență Moore-Smith este o generalizare a conceptului de succesiune , introdus cu scopul de a unifica diferitele noțiuni de limită și de a le extinde la spații topologice arbitrare. Limitele rețelelor joacă același rol în spațiile topologice pe care le joacă limitele succesiunii în spații care satisfac prima axiomă a numărabilității, cum ar fi, de exemplu, spațiile metrice .

O secvență este de obicei indexată pe numere naturale , care formează un set total ordonat . Rețelele generalizează acest concept prin slăbirea relației de ordine care caracterizează setul de indici, introducând astfel conceptul de set direct .

Conceptul de rețea a fost introdus de EH Moore și HL Smith în 1922 . ^[1] Conceptul de filtru , introdus în 1937 , se datorează matematicianului Henri Cartan . Ulterior s-a descoperit că noțiunea de convergență în ceea ce privește rețelele și că în ceea ce privește filtrele sunt în esență echivalente.

Definiție

Fie X un spațiu topologic, atunci o rețea în X este o funcție de la un set direct A la X.

Este adesea indicat cu < x _α > evidențiind astfel faptul că elementul α din A este asociat cu elementul x _α din X, în plus, în mod normal, simbolul ≥ este utilizat pentru a indica relația binară pe A.

Exemple

Deoarece numerele naturale dotate cu relația de ordine obișnuită formează un set direct și o secvență este o funcție definită pe numerele naturale, fiecare secvență este o rețea.

Un exemplu important de rețea este următorul:

Dat fiind un punct x într-un spațiu topologic, _fie N _x ansamblul tuturor vecinătăților care conțin x. Atunci N _x este un set direct, unde direcția este dată de relația de incluziune inversă, adică S ≥ T dacă și numai dacă S este conținut în T. Pentru S aparținând lui N _x , _fie x _S un punct în S. Atunci x _S este o rețea. Pe măsură ce S crește față de ≥, punctele x _S ale rețelei aparțin vecinătăților de x descrescătoare (în raport cu relația de incluziune). Intuitiv, acest lucru duce la ideea că x _S trebuie, într-un anumit sens, să tindă spre x .

Limite de rețea

Dacă ( x _α ) este o rețea dintr-un set direcționat de A în X și dacă Y este un subset al lui X , vom spune că ( x _α ) este definitiv în Y dacă există α în A astfel încât pentru fiecare β în A cu β ≥ α, punctul x _β aparține lui Y.

Dacă ( x _α ) este o rețea într-un spațiu topologic X și x este unul dintre elementele sale, vom spune că rețeaua converge la x sau admite limita x dacă și numai dacă:

pentru fiecare vecinătate U a x , ( x _α ) este definitiv în U.

În acest caz vom scrie:

lim x _α = x

Rețineți că exemplul de rețea dat mai sus, definit pe sistemul înconjurător al unui punct x , converge de fapt la x conform acestei definiții.

Exemple de limite de rețea

• Limitele secvențelor.
• Limitele unei funcții a variabilei reale : lim _{x → c} f ( x ). În acest caz, direcția din setul R \ { c } este dată de distanța de la c .
• Limitele rețelelor Riemann sume în construcția integralei Riemann . În acest caz, setul direct este setul de partiții ale intervalului de integrare ordonat parțial de incluziune. O construcție similară stă la baza definiției Riemann-Stieltjes a integralului .

Definiții suplimentare

Dacă D și E sunt mulțimi directe și h este o funcție de la D la E , atunci se spune că h este cofinală dacă pentru fiecare e din E există un punct d în D astfel încât dacă q este în D și q ≥ d atunci h ( q ) ≥ și . Cu alte cuvinte, imaginea h ( D ) este cofinală în E.

Dacă D și E sunt mulțimi directe, h este o funcție cofinală de la D la E și φ este o rețea în X definită pe E , atunci φo h se numește subrețea de φ. Toate subrețele sunt, prin definiție, de acest tip.

Dacă φ este o rețea în X definită pe setul direct D și A este un subset de X , atunci φ revine la A dacă pentru fiecare α din D există β în D , β ≥ α astfel încât φ (β) este în A .

O rețea φ în X se spune că este universală dacă pentru fiecare subrețea A din X sau φ este definitiv în A sau φ este definitiv în X - A.

Proprietate

Practic toate conceptele de topologie pot fi reformulate în termeni de rețele și limite. Acest lucru poate ajuta foarte mult la intuiție, deoarece conceptul de limită al unei rețele este foarte similar cu cel de limită al unei secvențe , utilizat pe scară largă în teoria spațiilor metrice . O funcție f : X → Y între spațiile topologice este continuă în punctul x dacă și numai dacă pentru fiecare rețea ( x _α ) astfel încât:

lim x _α = x

avem:

lim f ( x _α ) = f ( x ).

Această teoremă nu se menține dacă înlocuim cuvântul „rețea” cu „secvență”. În special, dacă X nu satisface prima axiomă a numărabilității , este necesar să recurgeți la mulțimi directe care sunt mai generale decât mulțimea numerelor naturale. În general, o rețea dintr-un set X poate admite mai multe limite. Unicitatea limitei unei rețele, având în vedere că există, este garantată dacă X este un spațiu Hausdorff . Dacă X nu este al lui Hausdorff, atunci există o rețea în X care admite două limite distincte. În cele din urmă, unicitatea limitei este echivalentă cu proprietatea Hausdorff de pe set și, în acest sens, această proprietate poate fi văzută ca o definiție a unicității limitei.

Dacă U este un subset al lui X , atunci x aparține închiderii lui U dacă și numai dacă există o rețea ( x _α ) cu limita x și astfel încât x _α aparține lui U pentru tot α. În special, U este închis dacă și numai dacă pentru fiecare rețea ( x _α ) în U și limita x , avem că x aparține lui U.

O rețea admite limită dacă și numai dacă fiecare dintre subrețele sale admite limită. În acest caz, fiecare limită a rețelei este, de asemenea, o limită pentru fiecare dintre subrețele sale.

Un set X este compact dacă și numai dacă fiecare rețea ( x _α ) din X admite o subrețea care converge la un punct x în X. Această propunere este generalizarea teoremei Bolzano-Weierstrass și a teoremei Heine-Borel .

Într-un spațiu metric sau într-un spațiu uniform , se poate vorbi de rețele Cauchy în aceiași termeni în care se vorbește despre secvențe Cauchy .

Notă

Bibliografie

• ( EN ) AV Arkhangel'skii, Pontryagin, LS, Topologie generală I , Springer-Verlag, 1990, ISBN 3-540-18178-4 .
• ( EN ) R. Engelking, General Topology , Rev. și compl.ª ed., Heldermann Verlag, 1989, ISBN 3-88538-006-4 .

Elemente conexe

Teoria filtrelor permite construirea unei definiții alternative a convergenței în spații topologice.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică