Cofinalitate

În teoria mulțimilor , se numește cofinalitatea unui set dat total ordonat $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ cel mai mic ordinal astfel încât există o funcție cofinală din ad ordinal $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ (amintiți-vă că se spune că o funcție este cofinală dacă imaginea sa este un subset cofinal al intervalului).

În formule,

cof(I)=\min\{\alpha {\text{ ordinale }}|\exists f:\alpha \rightarrow I\;\;f(\alpha ){\text{ è cofinale in }}I\}

{\ displaystyle cof (I) = \ min \ {\ alpha {\ text {ordinal}} | \ există f: \ alpha \ rightarrow I \; \; f (\ alpha) {\ text {este cofinal în}} I \}}

{\ displaystyle cof (I) = \ min \ {\ alpha {\ text {ordinal}} | \ există f: \ alpha \ rightarrow I \; \; f (\ alpha) {\ text {este cofinal în}} I \}}

Este adesea folosit ca sinonim „nelimitat” pentru termenul „cofinal”, dar este necesar să distingem această definiție de nelimitat de cea generică de ordine între subseturi ale oricărui set. Într-adevăr, în acest context, nelimitat înseamnă că nu există o reducere inițială a $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ conține totul $f(\alpha )$ ${\ displaystyle f (\ alpha)}$ ${\ displaystyle f (\ alpha)}$ , sau echivalent cu cel dat de orice element $x\in I$ ${\ displaystyle x \ in I}$ $x \ in I$ există un element $y\geq x$ ${\ displaystyle y \ geq x}$ ${\ displaystyle y \ geq x}$ cu $y\in f(\alpha )$ ${\ displaystyle y \ in f (\ alpha)}$ ${\ displaystyle y \ in f (\ alpha)}$ .

Dovedește că $cof(I)$ ${\ displaystyle cof (I)}$ ${\ displaystyle cof (I)}$ este cardinal și ajungem la următoarea definiție echivalentă:

$cof(I)=\min\{k{\text{ cardinale }}|\quad |X|=k\quad \land \quad X\subseteq I{\text{ è cofinale in }}I\}$ ${\ displaystyle cof (I) = \ min \ {k {\ text {cardinal}} | \ quad | X | = k \ quad \ land \ quad X \ subseteq I {\ text {is cofinal in}} I \} }$ ${\ displaystyle cof (I) = \ min \ {k {\ text {cardinal}} | \ quad | X | = k \ quad \ land \ quad X \ subseteq I {\ text {is cofinal in}} I \} }$

Rețineți că această a doua definiție are nevoie de axioma de alegere , în timp ce prima nu.

Exemple

În toate exemplele următoare, se presupune că tipurile sunt „standard”.

$Cof(\mathbb {N} )=\aleph _{0}$ ${\ displaystyle Cof (\ mathbb {N}) = \ aleph _ {0}}$ ${\ displaystyle Cof (\ mathbb {N}) = \ aleph _ {0}}$
$Cof(\aleph _{17})=\aleph _{17}$ ${\ displaystyle Cof (\ aleph _ {17}) = \ aleph _ {17}}$ ${\ displaystyle Cof (\ aleph _ {17}) = \ aleph _ {17}}$
$Cof(\aleph _{n})=\aleph _{n}$ ${\ displaystyle Cof (\ aleph _ {n}) = \ aleph _ {n}}$ ${\ displaystyle Cof (\ aleph _ {n}) = \ aleph _ {n}}$ pentru fiecare $n\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ .
$Cof(\mathbb {R} )=\aleph _{0}$ ${\ displaystyle Cof (\ mathbb {R}) = \ aleph _ {0}}$ ${\ displaystyle Cof (\ mathbb {R}) = \ aleph _ {0}}$ in aceea $\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ N$ este cofinal în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ .

Acest lucru nu generează o contradicție deoarece ordinea standard a numerelor reale nu este izomorfă cu cea a cardinalului care reprezintă cardinalitatea continuumului (altfel ar trebui să fie $Cof(\mathbb {R} )>\aleph _{0}$ ${\ displaystyle Cof (\ mathbb {R})> \ aleph _ {0}}$ ${\ displaystyle Cof (\ mathbb {R})> \ aleph _ {0}}$ ).

$Cof(\omega _{1})=\aleph _{1}$ ${\ displaystyle Cof (\ omega _ {1}) = \ aleph _ {1}}$ ${\ displaystyle Cof (\ omega _ {1}) = \ aleph _ {1}}$
$Cof(\omega _{1}+\omega ^{2})=\aleph _{0}$ ${\ displaystyle Cof (\ omega _ {1} + \ omega ^ {2}) = \ aleph _ {0}}$ ${\ displaystyle Cof (\ omega _ {1} + \ omega ^ {2}) = \ aleph _ {0}}$

$Cof(\aleph _{\omega })=\aleph _{0}$ ${\ displaystyle Cof (\ aleph _ {\ omega}) = \ aleph _ {0}}$ ${\ displaystyle Cof (\ aleph _ {\ omega}) = \ aleph _ {0}}$

Cofinalitatea pe ordinali

Fie α un ordinal, atunci se mențin următoarele proprietăți

$cof(\alpha )\leqslant |\alpha |\leqslant \alpha \qquad \forall \alpha \ ordinale$ ${\ displaystyle cof (\ alpha) \ leqslant | \ alpha | \ leqslant \ alpha \ qquad \ forall \ alpha \ ordinal}$ ${\ displaystyle cof (\ alpha) \ leqslant | \ alpha | \ leqslant \ alpha \ qquad \ forall \ alpha \ ordinal}$
$cof(\alpha +\beta )=cof(\beta )\qquad \forall \beta \not =0\quad ordinale$ ${\ displaystyle cof (\ alpha + \ beta) = cof (\ beta) \ qquad \ forall \ beta \ not = 0 \ ordinal quad}$ ${\ displaystyle cof (\ alpha + \ beta) = cof (\ beta) \ qquad \ forall \ beta \ not = 0 \ ordinal quad}$
$cof(cof(\alpha ))=cof(\alpha )\qquad \forall \alpha \ ordinale$ ${\ displaystyle cof (cof (\ alpha)) = cof (\ alpha) \ qquad \ forall \ alpha \ ordinal}$ ${\ displaystyle cof (cof (\ alpha)) = cof (\ alpha) \ qquad \ forall \ alpha \ ordinal}$
$cof(0)=0$ ${\ displaystyle cof (0) = 0}$ ${\ displaystyle cof (0) = 0}$
$cof(\alpha )=1\iff \exists \beta {\text{ ordinale t.c. }}\alpha =\beta +1{\text{ (}}\alpha {\text{ è ordinale successore)}}\$ ${\ displaystyle cof (\ alpha) = 1 \ if \ există \ beta {\ text {ordinal tc}} \ alpha = \ beta +1 {\ text {(}} \ alpha {\ text {este succesorul ordinal)}} \}$ ${\ displaystyle cof (\ alpha) = 1 \ if \ există \ beta {\ text {ordinal t.c. }} \ alpha = \ beta +1 {\ text {(}} \ alpha {\ text {este succesiv ordinal)}} \}$
$cof(\aleph _{\lambda })=cof(\lambda )\qquad \forall \lambda \quad {\text{ordinale limite}}$ ${\ displaystyle cof (\ aleph _ {\ lambda}) = cof (\ lambda) \ qquad \ forall \ lambda \ quad {\ text {ordinal limit}}}$ ${\ displaystyle cof (\ aleph _ {\ lambda}) = cof (\ lambda) \ qquad \ forall \ lambda \ quad {\ text {ordinal limit}}}$

Ordinale regulate și singulare

Un α ordinal se spune că este regulat dacă $cof(\alpha )=\alpha$ ${\ displaystyle cof (\ alpha) = \ alpha}$ ${\ displaystyle cof (\ alpha) = \ alpha}$ , în timp ce spunem singular dacă $cof(\alpha )<\alpha$ ${\ displaystyle cof (\ alpha) <\ alpha}$ ${\ displaystyle cof (\ alpha) <\ alpha}$ .

Următoarele fapte sunt valabile:

1.0 sunt ordinali obișnuiți;
pentru proprietățile văzute deasupra fiecărui ordinal succesor (în afară de 1) este singular; cu toate acestea, nu orice ordinal limitativ este regulat: de exemplu $\omega \cdot 2$ ${\ displaystyle \ omega \ cdot 2}$ ${\ displaystyle \ omega \ cdot 2}$ are cofinalitate $\aleph _{0}=\omega$ ${\ displaystyle \ aleph _ {0} = \ omega}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {0} = \ omega}$ ;
un ordinal regulat este și cardinal, dar există și cardinali care sunt singulari: de exemplu $\aleph _{\omega }=\omega _{\omega }$ ${\ displaystyle \ aleph _ {\ omega} = \ omega _ {\ omega}}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {\ omega} = \ omega _ {\ omega}}$ are cofinalitate $\aleph _{0}=\omega$ ${\ displaystyle \ aleph _ {0} = \ omega}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {0} = \ omega}$ .
pentru fiecare $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ ordinal $cof(\alpha )$ ${\ displaystyle cof (\ alpha)}$ ${\ displaystyle cof (\ alpha)}$ este un ordinal regulat.

Elemente conexe