Segment inițial

În matematică este definit ca segmentul inițial (sau tăierea inițială sau subsetul închis în jos ) al unui set dat total ordonat $(X,<)$ ${\ displaystyle (X, <)}$ ${\ displaystyle (X, <)}$ orice subset al acestuia $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ astfel încât:

b\in Y\Rightarrow \forall a\in X(a<b\Rightarrow a\in Y)

{\ displaystyle b \ in Y \ Rightarrow \ forall a \ in X (a <b \ Rightarrow a \ in Y)}

{\ displaystyle b \ in Y \ Rightarrow \ forall a \ in X (a <b \ Rightarrow a \ in Y)}

Numele provine în mod natural de la „forma” pe care un astfel de set o are: segment, deoarece nu are „găuri” - dacă $la, b$ ${\ displaystyle a, b}$ $a, b$ sunt în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ , fiecare element între $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ va fi în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ - inițială deoarece conține elementele de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ mai mici .

Cazuri speciale de segmente inițiale ale unui set $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Sunt $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ ea însăși și setul gol.

Simetric, un segment final (sau o tăiere finală sau un subset închis în sus ) este definit de proprietate

b\in Y\Rightarrow \forall a\in X(b<a\Rightarrow a\in Y)

{\ displaystyle b \ in Y \ Rightarrow \ forall a \ in X (b <a \ Rightarrow a \ in Y)}

{\ displaystyle b \ in Y \ Rightarrow \ forall a \ in X (b <a \ Rightarrow a \ in Y)}

Seturile de numere întregi negative și pozitive sunt un segment inițial și, respectiv, un segment final al

\mathbb {Z}

{\ displaystyle \ mathbb {Z}}

\ mathbb Z

Utilizare și proprietate

Segmentul inițial este un obiect matematic mai degrabă utilizat în unele zone ale logicii.

Tăieturile Dedekind , utilizate în mod obișnuit pentru a construi numere reale, sunt segmente inițiale (și de fapt toate segmente inițiale) ale $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ .

Segmentele inițiale sunt utilizate în diferite demonstrații care implică comenzi bune . Intr-adevar:
- în general, unirea ordinelor nu este un ordin
- unirea ordinelor care sunt două câte două incluse una în cealaltă este o ordine, dar dacă ordinele sunt ordine bune, rezultatul unirii lor nu este neapărat o ordine bună (gândiți-vă doar la subseturile de $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ a formei $[-n,n]$ ${\ displaystyle [-n, n]}$ ${\ displaystyle [-n, n]}$ , fiecare dintre ele fiind bine ordonat, dar a cărui unire este $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ )
- unirea ordinelor bune care sunt două câte două segmente inițiale una de alta este o ordine bună

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică