Construcția numerelor reale

În matematică , numerele reale sunt construite în diferite moduri echivalente. Dintre acestea, cele mai cunoscute folosesc secțiuni Dedekind și secvențe Cauchy . Fiecare dintre aceste construcții definește numerele reale ca o extensie a mulțimii numerelor raționale .

Construcție intuitivă pornind de la numere zecimale

Un număr real este o cantitate care poate fi reprezentată ca

x=n+0.d_{1}d_{2}d_{3}...

{\ displaystyle x = n + 0.d_ {1} d_ {2} d_ {3} ...}

{\ displaystyle x = n + 0.d_ {1} d_ {2} d_ {3} ...}

unde este $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este un număr întreg și fiecare $d_{i}$ ${\ displaystyle d_ {i}}$ $din}$ este o cifră între 0 și 9 (cifrele $d_{1},d_{2},\ldots$ ${\ displaystyle d_ {1}, d_ {2}, \ ldots}$ ${\ displaystyle d_ {1}, d_ {2}, \ ldots}$ sunt infinite). Cu toate acestea, această definiție trebuie să ia în considerare reprezentarea dublă periodică a zecimalelor finite: în mod similar cu ceea ce se întâmplă pentru numerele raționale , în care două reprezentări ca fracție dau uneori același număr (de exemplu, $1/2$ ${\ displaystyle 1/2}$ ${\ displaystyle 1/2}$ Și $2/4$ ${\ displaystyle 2/4}$ ${\ displaystyle 2/4}$ ), chiar și același număr real poate fi reprezentat în două moduri diferite; acest lucru se întâmplă atunci când succesiunea $d_{1},d_{2},\ldots$ ${\ displaystyle d_ {1}, d_ {2}, \ ldots}$ ${\ displaystyle d_ {1}, d_ {2}, \ ldots}$ se încheie cu o succesiune de 9 consecutive. De exemplu, numerele

1=0,99999999\ldots

{\ displaystyle 1 = 0.99999999 \ ldots}

{\ displaystyle 1 = 0.99999999 \ ldots}

reprezintă același număr real (vezi 0.999 ... ). Această problemă poate fi rezolvată definind ca număr real o cantitate care poate fi reprezentată ca $x=n+0.d_{1}d_{2}d_{3}...$ ${\ displaystyle x = n + 0.d_ {1} d_ {2} d_ {3} ...}$ ${\ displaystyle x = n + 0.d_ {1} d_ {2} d_ {3} ...}$ în care succesiunea $d_{i}$ ${\ displaystyle d_ {i}}$ ${\ displaystyle d_ {i}}$ nu se termină cu o infinitate de 9 consecutive. În acest fel, una dintre cele două reprezentări echivalente este aruncată a priori .

Această construcție se conectează la următoarele în felul următor: numărul $x=n+0.d_{1}d_{2}d_{3}...$ ${\ displaystyle x = n + 0.d_ {1} d_ {2} d_ {3} ...}$ ${\ displaystyle x = n + 0.d_ {1} d_ {2} d_ {3} ...}$ este numărul real $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ care satisface această dublă inegalitate pentru fiecare $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ :

n+{\frac {d_{1}}{10}}+{\frac {d_{2}}{100}}+...+{\frac {d_{k}}{10^{k}}}\leq x<n+{\frac {d_{1}}{10}}+{\frac {d_{2}}{100}}+...+{\frac {d_{k}}{10^{k}}}+{\frac {1}{10^{k}}}.

{\ displaystyle n + {\ frac {d_ {1}} {10}} + {\ frac {d_ {2}} {100}} + ... + {\ frac {d_ {k}} {10 ^ { k}}} \ leq x <n + {\ frac {d_ {1}} {10}} + {\ frac {d_ {2}} {100}} + ... + {\ frac {d_ {k} } {10 ^ {k}}} + {\ frac {1} {10 ^ {k}}}.}

{\ displaystyle n + {\ frac {d_ {1}} {10}} + {\ frac {d_ {2}} {100}} + ... + {\ frac {d_ {k}} {10 ^ { k}}} \ leq x <n + {\ frac {d_ {1}} {10}} + {\ frac {d_ {2}} {100}} + ... + {\ frac {d_ {k} } {10 ^ {k}}} + {\ frac {1} {10 ^ {k}}}.}

Reprezentarea prin intermediul zecimalelor este cu siguranță cea mai cunoscută și gestionabilă; matematicienii, totuși, preferă să utilizeze construcții mai abstracte pentru numere reale, în esență din aceste motive:

eludarea problemei dublei reprezentări este greoaie și inelegantă
nu este posibil să se definească operațiile elementare de adunare și multiplicare între numere reale cu operații „cifră cu cifră” în mod obișnuit (ar trebui „să pornim de la dreapta”), ci doar cu aproximări trunchiate, regăsindu-ne pe un teren similar cu cea a lui Cauchy și a secțiunilor din Dedekind,
reprezentarea este ancorată la baza aleasă (în mod specific baza 10 ) și, prin urmare, nu este „canonică”.

Construcție pe serii

O modalitate de a construi întregul $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ similar cu cel abia văzut, dar mai abstract, este de a folosi seria și seturile de numere naturale. Această metodă își ia reperul din argumentul diagonal al lui Cantor , folosit pentru a demonstra nenumăratul numerelor reale.

Să luăm în considerare reprezentarea binară a unui număr real $x\geq 0$ ${\ displaystyle x \ geq 0}$ ${\ displaystyle x \ geq 0}$ : este un șir de 0 și 1, din care șirul dinaintea virgulei are lungime finită (0 înainte de virgulă este omis dacă $x\leq 1$ ${\ displaystyle x \ leq 1}$ ${\ displaystyle x \ leq 1}$ , pentru a evita ca numerele mai mici de 1 să aibă cifre în întreaga parte); așa să fie $n\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ $n \ in \ mathbb {N}$ numărul de cifre binare ale $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ care reprezintă întreaga sa parte. Putem apoi rescrie $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ după cum urmează: $x=2^{n}\cdot d$ ${\ displaystyle x = 2 ^ {n} \ cdot d}$ ${\ displaystyle x = 2 ^ {n} \ cdot d}$ , din care derivă $d={\frac {x}{2^{n}}}$ ${\ displaystyle d = {\ frac {x} {2 ^ {n}}}}$ ${\ displaystyle d = {\ frac {x} {2 ^ {n}}}}$ .

Întrucât reprezentarea binară a $2^{n}$ ${\ displaystyle 2 ^ {n}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {n}}$ Este lung $n+1$ ${\ displaystyle n + 1}$ $n + 1$ cifre (1 urmat de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ zerouri), în timp ce cel al $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ are numai $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ cifrele în întregime, atunci $0\leq x\leq 2^{n}$ ${\ displaystyle 0 \ leq x \ leq 2 ^ {n}}$ ${\ displaystyle 0 \ leq x \ leq 2 ^ {n}}$ , prin urmare, împărțind la $2^{n}$ ${\ displaystyle 2 ^ {n}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {n}}$ , primesti $0\leq {\frac {x}{2^{n}}}\leq 1$ ${\ displaystyle 0 \ leq {\ frac {x} {2 ^ {n}}} \ leq 1}$ ${\ displaystyle 0 \ leq {\ frac {x} {2 ^ {n}}} \ leq 1}$ , și de atunci ${\frac {x}{2^{n}}}=d$ ${\ displaystyle {\ frac {x} {2 ^ {n}}} = d}$ ${\ displaystyle {\ frac {x} {2 ^ {n}}} = d}$ , avem asta $0\leq d\leq 1$ ${\ displaystyle 0 \ leq d \ leq 1}$ ${\ displaystyle 0 \ leq d \ leq 1}$ .

Prin urmare, orice pereche de numere reale opuse poate fi exprimată ca $\pm 2^{n}\cdot d$ ${\ displaystyle \ pm 2 ^ {n} \ cdot d}$ ${\ displaystyle \ pm 2 ^ {n} \ cdot d}$ , unde este $n\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ $n \ in \ mathbb {N}$ Și $0\leq d\leq 1$ ${\ displaystyle 0 \ leq d \ leq 1}$ ${\ displaystyle 0 \ leq d \ leq 1}$ . Cu toate acestea, acest lucru nu este suficient, deoarece $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ este în sine un număr real. Cu toate acestea, știm că este între 0 și 1, deci putem folosi aceste informații în favoarea noastră.

Prin urmare, luăm în considerare reprezentarea binară a $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ : este un șir infinit de 0 și 1, putem apoi „număra” cifrele începând de la cel mai semnificativ, atribuindu-le fiecăruia un număr natural începând de la 1, mărindu-l cu 1 de fiecare dată când trecem la cifra următoare. În acest fel, putem defini următorul set de naturale $S=\{i\in \mathbb {N} \mid {\text{l'}}i{\text{-esima cifra di }}d{\text{ è }}1\}$ ${\ displaystyle S = \ {i \ in \ mathbb {N} \ mid {\ text {l '}} i {\ text {-th digit of}} d {\ text {è}} 1 \}}$ ${\ displaystyle S = \ {i \ in \ mathbb {N} \ mid {\ text {l '}} i {\ text {-th digit of}} d {\ text {è}} 1 \}}$ . Functia $\mathbf {1} _{S}\colon \mathbb {N} \to \{0,1\}$ ${\ displaystyle \ mathbf {1} _ {S} \ colon \ mathbb {N} \ to \ {0,1 \}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {1} _ {S} \ colon \ mathbb {N} \ to \ {0,1 \}}$ , care este funcția indicator a $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ , este deci definit astfel:

\mathbf {1} _{S}(i)={\begin{cases}1,&{\text{se }}i\in S\\0,&{\text{altrimenti}}\end{cases}}

{\ displaystyle \ mathbf {1} _ {S} (i) = {\ begin {cases} 1 și {\ text {se}} i \ în S \\ 0 și {\ text {else}} \ end {cazuri}}}

{\ displaystyle \ mathbf {1} _ {S} (i) = {\ begin {cases} 1 și {\ text {se}} i \ în S \\ 0 și {\ text {else}} \ end {cazuri}}}

Deci, pe baza notației poziționale , putem exprima $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ ca serie :

d=\sum _{i=1}^{\infty }2^{-i}\cdot \mathbf {1} _{S}(i)

{\ displaystyle d = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} 2 ^ {- i} \ cdot \ mathbf {1} _ {S} (i)}

{\ displaystyle d = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} 2 ^ {- i} \ cdot \ mathbf {1} _ {S} (i)}

Asa de, $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ poate fi exprimat după cum urmează:

x=2^{n}\cdot d=2^{n}\cdot \sum _{i=1}^{\infty }2^{-i}\cdot \mathbf {1} _{S}(i)=\sum _{i=1}^{\infty }2^{n}\cdot 2^{-i}\cdot \mathbf {1} _{S}(i)=\sum _{i=1}^{\infty }2^{n-i}\cdot \mathbf {1} _{S}(i)

{\ displaystyle x = 2 ^ {n} \ cdot d = 2 ^ {n} \ cdot \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} 2 ^ {- i} \ cdot \ mathbf {1} _ {S } (i) = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} 2 ^ {n} \ cdot 2 ^ {- i} \ cdot \ mathbf {1} _ {S} (i) = \ sum _ { i = 1} ^ {\ infty} 2 ^ {ni} \ cdot \ mathbf {1} _ {S} (i)}

{\ displaystyle x = 2 ^ {n} \ cdot d = 2 ^ {n} \ cdot \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} 2 ^ {- i} \ cdot \ mathbf {1} _ {S } (i) = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} 2 ^ {n} \ cdot 2 ^ {- i} \ cdot \ mathbf {1} _ {S} (i) = \ sum _ { i = 1} ^ {\ infty} 2 ^ {ni} \ cdot \ mathbf {1} _ {S} (i)}

În cele din urmă, putem defini întregul $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ după cum urmează:

\mathbb {R} =\left\{\pm \sum _{i=1}^{\infty }2^{n-i}\cdot \mathbf {1} _{S}(i){\bigg |}\ n\in \mathbb {N} ,S\subseteq \mathbb {N} \right\}

{\ displaystyle \ mathbb {R} = \ left \ {\ pm \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} 2 ^ {ni} \ cdot \ mathbf {1} _ {S} (i) {\ bigg |} \ n \ in \ mathbb {N}, S \ subseteq \ mathbb {N} \ right \}}

{\ displaystyle \ mathbb {R} = \ left \ {\ pm \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} 2 ^ {ni} \ cdot \ mathbf {1} _ {S} (i) {\ bigg |} \ n \ in \ mathbb {N}, S \ subseteq \ mathbb {N} \ right \}}

Construcție prin secțiunile Dedekind

Același subiect în detaliu: secțiunea Dedekind .

Constructie

Această construcție, introdusă de Richard Dedekind , apare din observația că fiecare număr rațional împarte întregul $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ raționalele în două mulțimi: mulțimea $A_{r}$ ${\ displaystyle A_ {r}}$ ${\ displaystyle A_ {r}}$ raționale astfel încât $a<r$ ${\ displaystyle a <r}$ ${\ displaystyle a <r}$ este setul $B_{r}$ ${\ displaystyle B_ {r}}$ ${\ displaystyle B_ {r}}$ raționale astfel încât $b\geq r$ ${\ displaystyle b \ geq r}$ ${\ displaystyle b \ geq r}$ . Dedekind sună apoi cuplul $(A_{r};B_{r})$ ${\ displaystyle (A_ {r}; B_ {r})}$ ${\ displaystyle (A_ {r}; B_ {r})}$ o secțiune în două seturi. Pe de altă parte, chiar și un număr real ca ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ definește o secțiune $(A,B)$ ${\ displaystyle (A, B)}$ ${\ displaystyle (A, B)}$ , unde este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este dat de toate raționalele $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ astfel încât $a<{\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle a <{\ sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle a <{\ sqrt {2}}}$ , in timp ce $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este dat de toate raționalele $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ cu $\beta >{\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle \ beta> {\ sqrt {2}}}$ ${\ displaystyle \ beta> {\ sqrt {2}}}$ .

Prin urmare, Dedekind definește un număr real ca o secțiune a numerelor raționale. În definiția originală, o secțiune din Dedekind este o pereche $(A,B)$ ${\ displaystyle (A, B)}$ ${\ displaystyle (A, B)}$ de subseturi ne-goale de $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ astfel încât

$A\cap B=\emptyset$ ${\ displaystyle A \ cap B = \ emptyset}$ ${\ displaystyle A \ cap B = \ emptyset}$
$A\cup B=\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle A \ cup B = \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle A \ cup B = \ mathbb {Q}}$
$\forall a\in A,\forall b\in B,a<b$ ${\ displaystyle \ forall a \ in A, \ forall b \ in B, a <b}$ ${\ displaystyle \ forall a \ in A, \ forall b \ in B, a <b}$

În acest fel, totuși, fiecare număr rațional determină două secțiuni:

$(A,B)$ ${\ displaystyle (A, B)}$ ${\ displaystyle (A, B)}$ unde este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este mulțimea raționalelor strict mai mică decât $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este mulțimea raționalelor mai mare sau egală cu $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ ,
$(A,B)$ ${\ displaystyle (A, B)}$ ${\ displaystyle (A, B)}$ unde este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este mulțimea raționalelor mai mică sau egală cu $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este ansamblul raționalelor strict mai mare decât $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ .

Pentru a evita ambiguitatea, se renunță la al doilea set al perechii, iar secțiunea este definită ca fiind formată dintr-un singur subset $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ din $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ astfel încât

$LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este ne-gol și diferit de $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ mathbb Q}$
pentru fiecare $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , de sine $a'<a$ ${\ displaystyle a '<a}$ ${\ displaystyle a '<a}$ asa de ${la}^{'}$ ${\ displaystyle a '}$ $la'$ aparține lui $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .
$LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ nu are maxim, adică nu există $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ astfel încât $m>a$ ${\ displaystyle m> a}$ ${\ displaystyle m> a}$ pentru fiecare $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Cu această definiție se elimină ambiguitatea: fiecare număr rațional este asociat cu o singură secțiune. Întregul este apoi definit $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ a numerelor reale ca set de secțiuni. De exemplu, numărul irațional ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ $\ sqrt2$ este definit de secțiune

A=\{a\in \mathbb {Q} \ |\ a<0\ {\text{oppure}}\ a^{2}<2\}

{\ displaystyle A = \ {a \ in \ mathbb {Q} \ | \ a <0 \ {\ text {or}} \ a ^ {2} <2 \}}

{\ displaystyle A = \ {a \ in \ mathbb {Q} \ | \ a <0 \ {\ text {or}} \ a ^ {2} <2 \}}

.

Ca o consecință a construcției în sine, este evident că în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ există o copie izomorfă a $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ : întregul $\{X_{q}\mid q\in \mathbb {Q} \}$ ${\ displaystyle \ {X_ {q} \ mid q \ in \ mathbb {Q} \}}$ ${\ displaystyle \ {X_ {q} \ mid q \ in \ mathbb {Q} \}}$ , unde indicăm cu $X_{q}$ ${\ displaystyle X_ {q}}$ ${\ displaystyle X_ {q}}$ segmentul inițial $\{x\in \mathbb {Q} \mid x<q\}$ ${\ displaystyle \ {x \ in \ mathbb {Q} \ mid x <q \}}$ ${\ displaystyle \ {x \ in \ mathbb {Q} \ mid x <q \}}$ .

Proprietate

Raport de comandă și completitudine

Același subiect în detaliu: axioma lui Dedekind .

Setul de secțiuni are o relație de ordine dată de incluziune care îi conferă structura unui set complet ordonat . Este, de asemenea, evident că această ordonare este cea corectă: o reproduce pe cea deja existentă pe raționale, adăugând, de asemenea, importanta proprietate de completitudine sau continuitate , exprimată prin axioma lui Dedekind : fiecare set ne-gol și limitat are o limită superioară . Această proprietate este echivalentă cu necesitatea ca realii să fie un spațiu metric complet cu distanța de obicei definită.

Plus

Adunarea între numere reale este definită după cum urmează. Având în vedere două secțiuni $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , suma $A+B$ ${\ displaystyle A + B}$ $A + B$ este secțiunea

A+B=\{a+b\ |\ a\in A,b\in B\}

{\ displaystyle A + B = \ {a + b \ | \ a \ în A, b \ în B \}}

{\ displaystyle A + B = \ {a + b \ | \ a \ în A, b \ în B \}}

Odată ce s-a verificat că definiția dată produce o secțiune, numerele reale, cu această operație, sunt un grup comutativ , cu un element neutru $X_{0}=\{x<0\}$ ${\ displaystyle X_ {0} = \ {x <0 \}}$ ${\ displaystyle X_ {0} = \ {x <0 \}}$ .

Multiplicare

Construcția înmulțirii este puțin mai greoaie datorită semnelor. Este definit pentru toate realele pozitive după cum urmează:

A\times B=\{ab\ |\ a\in A,a>0,b\in B,b>0\}\cup \{a\in \mathbb {Q} \ |\ a<0\}

{\ displaystyle A \ times B = \ {ab \ | \ a \ în A, a> 0, b \ in B, b> 0 \} \ cup \ {a \ in \ mathbb {Q} \ | \ a < 0 \}}

{\ displaystyle A \ times B = \ {ab \ | \ a \ în A, a> 0, b \ in B, b> 0 \} \ cup \ {a \ in \ mathbb {Q} \ | \ a < 0 \}}

și se extinde la numere negative folosind regula semnului . De asemenea, în acest caz este ușor să arăți că seturile produse sunt secțiuni.

Întregul $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ dotat cu operațiile de sumă și produs este un câmp . Cu ordinea dată, acesta este și un câmp complet arhimedean . Subsetul $\{X_{q}\ |\ q\in \mathbb {Q} \}$ ${\ displaystyle \ {X_ {q} \ | \ q \ in \ mathbb {Q} \}}$ ${\ displaystyle \ {X_ {q} \ | \ q \ in \ mathbb {Q} \}}$ este un subcâmp , natural izomorf a $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ mathbb Q}$ .

Construcție folosind secvențe Cauchy

Această construcție este mai complexă, dar oferă două avantaje: definiția sumelor și operațiunilor produsului este imediată, iar construcția poate fi generalizată pentru a oferi o procedură generală pentru completarea spațiilor metrice .

Constructie

Ideea lui Cantor este motivată de faptul că fiecare număr real poate fi obținut ca limită a unei secvențe Cauchy de numere raționale, adică a unei secvențe $(u_{n})$ ${\ displaystyle (u_ {n})}$ $(A})$ raționalelor astfel încât:

\forall \varepsilon >0\;\exists N\in \mathbb {N} \;\forall m,n>N\quad |u_{m}-u_{n}|<\varepsilon \;

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \; \ există N \ in \ mathbb {N} \; \ forall m, n> N \ quad | u_ {m} -u_ {n} | <\ varepsilon \;}

{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0 \; \ există N \ in \ mathbb {N} \; \ forall m, n> N \ quad | u_ {m} -u_ {n} | <\ varepsilon \;}

Este ${\mathcal {C}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ansamblul tuturor secvențelor Cauchy ale numerelor raționale. Este evident că secvențele distincte (infinite) pot converge la aceeași limită.

Apoi continuăm considerând două secvențe Cauchy ca echivalente $(u_{n})$ ${\ displaystyle (u_ {n})}$ ${\ displaystyle (u_ {n})}$ Și $(v_{n})$ ${\ displaystyle (v_ {n})}$ ${\ displaystyle (v_ {n})}$ care prezintă următoarea proprietate:

(u_{n})\sim (v_{n})\Leftrightarrow \lim _{n\to \infty }u_{n}-v_{n}=0

{\ displaystyle (u_ {n}) \ sim (v_ {n}) \ Leftrightarrow \ lim _ {n \ to \ infty} u_ {n} -v_ {n} = 0}

{\ displaystyle (u_ {n}) \ sim (v_ {n}) \ Leftrightarrow \ lim _ {n \ to \ infty} u_ {n} -v_ {n} = 0}

În cazul secvențelor convergente, acest lucru este echivalent cu a spune că „converg la aceeași limită”.

Este foarte simplu de demonstrat dacă este o relație de echivalență .

Întregul este apoi definit $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ de numere reale ca mulțime coeficient de ${\mathcal {C}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ în ceea ce privește relația de echivalență astfel definită.

Proprietate

Raport de comandă și completitudine

Același subiect în detaliu: axioma lui Dedekind .

Două numere reale $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ Și $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ Sunt în relație $u\leqslant v$ ${\ displaystyle u \ leqslant v}$ ${\ displaystyle u \ leqslant v}$ dacă și numai dacă există două secvențe Cauchy $(u_{n}),(v_{n})$ ${\ displaystyle (u_ {n}), (v_ {n})}$ ${\ displaystyle (u_ {n}), (v_ {n})}$ care le definesc ca atare încât $u_{n}\leqslant v_{n}$ ${\ displaystyle u_ {n} \ leqslant v_ {n}}$ ${\ displaystyle u_ {n} \ leqslant v_ {n}}$ pentru fiecare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Cu această relație de ordine, numerele reale sunt un set complet ordonat .

Suma și produsul

Suma și produsul sunt denumite de la un termen la altul în secvențe. De sine $(u_{n})$ ${\ displaystyle (u_ {n})}$ $(A})$ Și $(v_{n})$ ${\ displaystyle (v_ {n})}$ ${\ displaystyle (v_ {n})}$ sunt două secvențe Cauchy, adică este definită

(u+v)_{n}=u_{n}+v_{n}

{\ displaystyle (u + v) _ {n} = u_ {n} + v_ {n}}

{\ displaystyle (u + v) _ {n} = u_ {n} + v_ {n}}

(u\cdot v)_{n}=u_{n}\cdot v_{n}

{\ displaystyle (u \ cdot v) _ {n} = u_ {n} \ cdot v_ {n}}

{\ displaystyle (u \ cdot v) _ {n} = u_ {n} \ cdot v_ {n}}

Cu aceste două operații, numerele reale se dovedesc a fi un câmp .

Completitudine

Completitudinea poate fi dedusă ca o consecință a Axiomei lui Dedekind . De asemenea, poate fi dovedit, pornind de la definiție, arătând că fiecare succesiune Cauchy de numere reale este convergentă. Această dovadă poate fi generalizată la orice spații metrice.

De asemenea, în această construcție este evident în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ prezența unei copii izomorfe a $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ : întregul $\{X_{q}\mid q\in \mathbb {Q} \}$ ${\ displaystyle \ {X_ {q} \ mid q \ in \ mathbb {Q} \}}$ ${\ displaystyle \ {X_ {q} \ mid q \ in \ mathbb {Q} \}}$ , unde indicăm cu $X_{q}$ ${\ displaystyle X_ {q}}$ ${\ displaystyle X_ {q}}$ segmentul inițial $\{x\in \mathbb {Q} \mid x<q\}$ ${\ displaystyle \ {x \ in \ mathbb {Q} \ mid x <q \}}$ ${\ displaystyle \ {x \ in \ mathbb {Q} \ mid x <q \}}$ .

Completare

Operația tocmai descrisă constă în adăugarea unui spațiu metric $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ alte puncte, determinate de toate secvențele Cauchy posibile. Această operație poate fi definită pentru orice spațiu metric $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ și se numește finalizare . Rezultatul este un spațiu complet $X^{'}$ ${\ displaystyle X '}$ ${\ displaystyle X '}$ care conține (o copie izomorfă a) $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . În special, numerele reale formează un spațiu complet (pentru reali acest lucru este echivalent cu axioma lui Dedekind ).

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică