Spațiu metric complet

În matematică , un spațiu metric complet este un spațiu metric în care toate secvențele Cauchy sunt convergente la un element al spațiului . Acesta este un caz special important de spațiu uniform complet.

Un spațiu metric incomplet este întotdeauna conținut într-un spațiu complet mai mare, ^[1] care poate fi construit din primul printr-o operație de finalizare. De exemplu, mulțimea numerelor raționale este conținută în mulțimea numerelor reale , care pot fi obținute din numere raționale datorită unei operații de completare (numere iraționale).

Definiție

O succesiune $\{x_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {x_ {n} \}}$ $\ {x_ {n} \}$ este o secvență Cauchy dacă pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ există un număr $N(\varepsilon )>0$ ${\ displaystyle N (\ varepsilon)> 0}$ $N (\ varepsilon)> 0$ astfel încât:

d(x_{n},x_{m})<\varepsilon

{\ displaystyle d (x_ {n}, x_ {m}) <\ varepsilon}

d (x_ {n}, x_ {m}) <\ varepsilon

pentru fiecare $n,m>N(\varepsilon )$ ${\ displaystyle n, m> N (\ varepsilon)}$ $n, m> N (\ varepsilon)$ . ^[2] Într-un spațiu metric , fiecare secvență convergentă este Cauchy.

Se spune că un spațiu metric este complet dacă fiecare secvență Cauchy converge către un element al spațiului . ^[3]

Având în vedere un spațiu metric $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , o finalizare a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un cuplu $(Y,\phi )$ ${\ displaystyle (Y, \ phi)}$ $(Y, \ phi)$ , unde este $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este un spațiu metric complet și $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ o izometrie din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ astfel încât $\phi (X)$ ${\ displaystyle \ phi (X)}$ $\ phi (X)$ Este dens în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ .

Fiecare spațiu metric compact este complet, dar inversul nu este adevărat: un spațiu metric este compact dacă și numai dacă este complet și total limitat . Un sub spațiu al unui spațiu metric complet, având în vedere metrica indusă , este complet dacă și numai dacă este un subset închis . În plus, produsul spațiilor metrice complete este complet și, prin urmare, rezultă că un subset de $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ R ^ n$ este complet dacă și numai dacă este închis.

O proprietate a spațiilor metrice complete este furnizată de teorema lui Baire , care afirmă că într-un spațiu metric complet intersecția oricărei colecții numărabile a subseturilor sale deschise și dense este densă în spațiu. ^[4]

Completarea unui spațiu metric

Având în vedere un spațiu metric $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , o finalizare a $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un cuplu $(Y,\phi )$ ${\ displaystyle (Y, \ phi)}$ $(Y, \ phi)$ , unde este $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este un spațiu metric complet și $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ o izometrie din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ astfel încât $\phi (X)$ ${\ displaystyle \ phi (X)}$ $\ phi (X)$ este dens în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ .

Existența și unicitatea

Având în vedere un spațiu metric $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , este întotdeauna posibil să găsiți o finalizare. Dacă și $(Y,\phi )$ ${\ displaystyle (Y, \ phi)}$ $(Y, \ phi)$ Și $(Z,\psi )$ ${\ displaystyle (Z, \ psi)}$ $(Z, \ psi)$ sunt două completări ale $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , asa de $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este izometric a $Z$ ${\ displaystyle Z}$ $Z$ .

Demonstrație

Definiția Y

Este $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ setul de secvențe Cauchy în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Relația $\sim$ ${\ displaystyle \ sim}$ $\ sim$ pe $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ definit astfel:

\ (x_{n})\sim (y_{n})\ \Leftrightarrow \ \lim _{n}d(x_{n},y_{n})=0

{\ displaystyle \ (x_ {n}) \ sim (y_ {n}) \ \ Leftrightarrow \ \ lim _ {n} d (x_ {n}, y_ {n}) = 0}

\ (x_ {n}) \ sim (y_ {n}) \ \ Leftrightarrow \ \ lim _ {n} d (x_ {n}, y_ {n}) = 0

este o relație de echivalență (tranzitivitatea este o consecință imediată a inegalității triunghiulare). Este indicat cu $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ setul de coeficient și cu $[x_{n}]$ ${\ displaystyle [x_ {n}]}$ $[x_ {n}]$ clasa de echivalență a secvenței $(x_{n})\in C$ ${\ displaystyle (x_ {n}) \ în C}$ $(x_ {n}) \ în C$ .

Definiția unei valori pe Y

Pentru a arăta că funcția $\delta :Y\times Y\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ delta: Y \ times Y \ to \ mathbb {R}}$ $\ delta: Y \ times Y \ to \ mathbb {R}$ astfel încât:

\delta ([x_{n}],[y_{n}])=\lim _{n}d(x_{n},y_{n})

{\ displaystyle \ delta ([x_ {n}], [y_ {n}]) = \ lim _ {n} d (x_ {n}, y_ {n})}

\ delta ([x_ {n}], [y_ {n}]) = \ lim _ {n} d (x_ {n}, y_ {n})

este bine definit, trebuie arătat că limita de la dreapta converge și că nu depinde de reprezentanții aleși. Pentru convergență este suficient să menționăm că $(d(x_{n},y_{n}))$ ${\ displaystyle (d (x_ {n}, y_ {n}))}}$ $(d (x_ {n}, y_ {n}))$ este o secvență Cauchy de numere reale, după cum reiese din relația:

|d(x_{n},y_{n})-d(x_{m},y_{m})|\leq |d(x_{n},y_{n})-d(y_{n},x_{m})|+|d(y_{n},x_{m})-d(x_{m},y_{m})|\leq d(x_{n},x_{m})+d(y_{n},y_{m})

{\ displaystyle | d (x_ {n}, y_ {n}) - d (x_ {m}, y_ {m}) | \ leq | d (x_ {n}, y_ {n}) - d (y_ { n}, x_ {m}) | + | d (y_ {n}, x_ {m}) - d (x_ {m}, y_ {m}) | \ leq d (x_ {n}, x_ {m} ) + d (y_ {n}, y_ {m})}

| d (x_ {n}, y_ {n}) - d (x_ {m}, y_ {m}) | \ leq | d (x_ {n}, y_ {n}) - d (y_ {n}, x_ {m}) | + | d (y_ {n}, x_ {m}) - d (x_ {m}, y_ {m}) | \ leq d (x_ {n}, x_ {m}) + d (y_ {n}, y_ {m})

și, prin urmare, este convergent. Pentru a dovedi că limita nu depinde de reprezentanții aleși, dacă $(u_{n})\in [x_{n}]$ ${\ displaystyle (u_ {n}) \ în [x_ {n}]}$ $(u_ {n}) \ în [x_ {n}]$ Și $(v_{n})\in [y_{n}]$ ${\ displaystyle (v_ {n}) \ în [y_ {n}]}$ $(v_ {n}) \ în [y_ {n}]$ , apoi, similar cu inegalitatea anterioară:

|d(u_{n},v_{n})-d(x_{n},y_{n})|\leq d(u_{n},x_{n})+d(v_{n},y_{n})

{\ displaystyle | d (u_ {n}, v_ {n}) - d (x_ {n}, y_ {n}) | \ leq d (u_ {n}, x_ {n}) + d (v_ {n }, y_ {n})}

| d (u_ {n}, v_ {n}) - d (x_ {n}, y_ {n}) | \ leq d (u_ {n}, x_ {n}) + d (v_ {n}, y_ {n})

care la limită merge la 0, adică:

\lim d(u_{n},v_{n})=\lim d(x_{n},y_{n})

{\ displaystyle \ lim d (u_ {n}, v_ {n}) = \ lim d (x_ {n}, y_ {n})}

\ lim d (u_ {n}, v_ {n}) = \ lim d (x_ {n}, y_ {n})

Este imediat să verificăm acest lucru $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ are toate cele trei proprietăți ale unei valori metrice.

Imersiunea lui X în Y

Dat $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ , este $(x)$ ${\ displaystyle (x)}$ $(X)$ succesiunea care este constant valabilă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Este $i:X\to Y$ ${\ displaystyle i: X \ to Y}$ $i: X \ to Y$ funcția pe care o trimite $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în clasa de echivalență $[x]$ ${\ displaystyle [x]}$ $[X]$ din $(x)$ ${\ displaystyle (x)}$ $(X)$ . Este imediat că $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ este o izometrie:

\delta (i(x),i(y))=\lim _{n}d(x,y)=d(x,y)

{\ displaystyle \ delta (i (x), i (y)) = \ lim _ {n} d (x, y) = d (x, y)}

\ delta (i (x), i (y)) = \ lim _ {n} d (x, y) = d (x, y)

Exemple

Rațional și real

Spațiul metric $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ a numerelor raționale cu metrica standard nu este completă. De fapt, la scrierea trunchierilor de ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ :

x_{0}=1\ \ x_{1}=1,4\ \ x_{2}=1,41\ \ x_{3}=1,414\ \ x_{4}=1,4142\ \ldots \ x_{n}={\frac {\lfloor 10^{n}{\sqrt {2}}\rfloor }{10^{n}}}

{\ displaystyle x_ {0} = 1 \ \ x_ {1} = 1,4 \ \ x_ {2} = 1,41 \ \ x_ {3} = 1,414 \ \ x_ {4} = 1,4142 \ \ ldots \ x_ {n} = {\ frac {\ lfloor 10 ^ {n} {\ sqrt {2}} \ rfloor} {10 ^ {n}}}}

{\ displaystyle x_ {0} = 1 \ \ x_ {1} = 1,4 \ \ x_ {2} = 1,41 \ \ x_ {3} = 1,414 \ \ x_ {4} = 1,4142 \ \ ldots \ x_ {n} = {\ frac {\ lfloor 10 ^ {n} {\ sqrt {2}} \ rfloor} {10 ^ {n}}}}

cu $\lfloor x\rfloor$ ${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}$ ${\ displaystyle \ lfloor x \ rfloor}$ întreaga parte a $x\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$ , construim o secvență Cauchy de numere raționale care converge la ${\sqrt {2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ , care totuși nu este rațional.

Spațiile metrice $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ numere reale e $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ numerele complexe cu metrica dată de valoarea absolută sunt în schimb complete.

Seturile $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ cu norma euclidiană standard sunt spații complete. Mai general, orice subset închis al spațiului euclidian $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ Este complet.

Spații de dimensiune infinită

Completitudinea este o proprietate importantă în analiza funcțională. În acest context, spațiile metrice studiate sunt spații de funcții care formează spații vectoriale de dimensiuni infinite.

De exemplu, lasă-i să fie $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ un spațiu topologic compact e $(Y,\rho )$ ${\ displaystyle (Y, \ rho)}$ ${\ displaystyle (Y, \ rho)}$ un spațiu metric complet. Setul de funcții continue $C(K,Y)$ ${\ displaystyle C (K, Y)}$ ${\ displaystyle C (K, Y)}$ cu metrica uniformă

$d(f,g)=\sup _{x\in K}\rho (f(x),g(x))$ ${\ displaystyle d (f, g) = \ sup _ {x \ în K} \ rho (f (x), g (x))}$ ${\ displaystyle d (f, g) = \ sup _ {x \ în K} \ rho (f (x), g (x))}$

este un spațiu metric complet.

Un caz particular al spațiilor metrice sunt spațiile normate . Spațiile normate complete se numesc spații Banach . De exemplu:

Spaţiu $C([a,b])$ ${\ displaystyle C ([a, b])}$ $Taxi])$ funcții continue definite pe un interval închis $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ cu metrica indusă de norma uniformă
$\Vert f\Vert _{\infty }=\sup _{x\in [a,b]}|f(x)|$ ${\ displaystyle \ Vert f \ Vert _ {\ infty} = \ sup _ {x \ in [a, b]} | f (x) |}$ ${\ displaystyle \ Vert f \ Vert _ {\ infty} = \ sup _ {x \ in [a, b]} | f (x) |}$
este un spațiu Banach. ^[5]

Spațiul l ² , adică setul de secvențe, este al lui Banach $x=\{x_{n}\}_{n\geq 1}$ ${\ displaystyle x = \ {x_ {n} \} _ {n \ geq 1}}$ ${\ displaystyle x = \ {x_ {n} \} _ {n \ geq 1}}$ astfel încât norma s-a încheiat
$\Vert x\Vert _{2}=\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}^{2}$ ${\ displaystyle \ Vert x \ Vert _ {2} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} x_ {n} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ Vert x \ Vert _ {2} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} x_ {n} ^ {2}}$
Mai general, toate spațiile L ^p , cu $1\leq p\leq \infty$ ${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty}$ ${\ displaystyle 1 \ leq p \ leq \ infty}$ , sunt spații Banach.

Notă

^ AN Kolmogorov , P. 40 .
^ Reed, Simon , Pagina 5 .
^ Reed, Simon , Pagina 6 .
^ W. Rudin , pagina 97 .
^ AN Kolmogorov , p. 36 .

Bibliografie

( EN ) Andrei Nikolaevič Kolmogorov, SV Fomin, Elements of Theory of Function and Functional Analysis , publicații Dover, inc., 1957, ISBN 0-486-40683-0 .
( EN ) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , ed. A II-a, San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .
( EN ) Walter Rudin, Analiză reală și complexă , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1 .
( EN ) John L. Kelley, Topologie generală , Springer, 1975, ISBN 0-387-90125-6 .
( EN ) Kreyszig, Erwin, Analiza funcțională introductivă cu aplicații (Wiley, New York, 1978). ISBN 0-471-03729-X
( EN ) Lang, Serge, „Analiză reală și funcțională” ISBN 0-387-94001-4
( EN ) Reinhold Meise, Vogt, Dietmar; tradus de Ramanujan, MS, Introducere în analiza funcțională , Oxford: Clarendon Press; New York: Oxford University Press, 1997, ISBN = 0-19-851485-9.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) AV Arkhangel'skii, Spațiu complet , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] AN Kolmogorov , P. 40 .

[2] Reed, Simon , Pagina 5 .

[3] Reed, Simon , Pagina 6 .

[4] W. Rudin , pagina 97 .

[5] AN Kolmogorov , p. 36 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]