Spațiul topologic

În matematică , spațiul topologic este obiectul de bază al topologiei . Este un concept foarte general de spațiu, însoțit de o noțiune de „proximitate” definită în cel mai slab mod posibil. Astfel, multe dintre spațiile utilizate în mod obișnuit în matematică (cum ar fi spațiul euclidian sau spațiile metrice ) sunt spații topologice. Intuitiv, ceea ce caracterizează un spațiu topologic este forma acestuia, nu distanța dintre punctele sale, care poate să nu fie definită.

De-a lungul istoriei, au fost propuse diverse definiții ale spațiului topologic și a fost nevoie de timp pentru a ajunge la cel folosit în general astăzi: deși poate părea destul de abstract, se potrivește cu toate conceptele din spatele topologiei.

Motivație

În analiza matematică, studiul noțiunilor de limită și continuitate în ansamblu $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ a numerelor reale și în spațiile euclidiene folosește introducerea conceptului de vecinătate și a conceptului strâns legat al unui set deschis . Noțiunea de convergență și continuitate poate fi exprimată numai în termenii conceptului de ansamblu deschis .

Cu noțiunea de spațiu topologic încercăm să identificăm proprietățile fundamentale ale conceptelor care ne permit să definim o noțiune de continuitate , într-un fel oarecare cu cea pe care o avem pentru spațiile euclidiene și, prin urmare, considerăm o idee abstractă a spațiului care doar verifică aceste proprietăți fundamentale.

Familia de seturi deschise de $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ (sau orice alt spațiu euclidian ) îndeplinește următoarele trei condiții:

setul gol e $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ sunt deschise;
unirea unei cantități arbitrare de seturi deschise este un set deschis;
intersecția unui număr finit de mulțimi deschise este o mulțime deschisă.

Aceste trei condiții sunt necesare și suficiente pentru a demonstra câteva rezultate importante, cum ar fi păstrarea compactității și conexiunii prin funcții continue . Din acest motiv, ele sunt asumate ca proprietăți fundamentale pe care trebuie să le verifice un spațiu topologic abstract.

Spațiile deschise ale unui spațiu euclidian se bucură în mod natural de multe alte proprietăți, care, totuși, nu sunt necesare în acest context abstract, pentru a garanta un nivel mai mare de generalitate, permițând în același timp rezultate semnificative. Ulterior, spațiile topologice definite în această generalitate maximă sunt clasificate pe baza unor proprietăți suplimentare care le pot face mai mult sau mai puțin „similare” cu spațiile euclidiene.

Definiție prin „deschis”

O colecție este definită ca o topologie $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ de subseturi ale unui set $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ astfel încât: ^[1]

Setul gol și $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ apartine $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ : $\varnothing \in T$ ${\ displaystyle \ varnothing \ în T}$ ${\ displaystyle \ varnothing \ în T}$ Și $X\in T.$ ${\ displaystyle X \ în T.}$ ${\ displaystyle X \ în T.}$
Unirea unei cantități arbitrare de mulțimi aparținând $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ aparține lui $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ : $\bigcup Z\in T,\forall Z\in T.$ ${\ displaystyle \ bigcup Z \ in T, \ forall Z \ in T.}$ ${\ displaystyle \ bigcup Z \ in T, \ forall Z \ in T.}$
Intersecția a două mulțimi aparținând $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ aparține lui $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ : $Y\cap W\in T,\forall Y,W\in T.$ ${\ displaystyle Y \ cap W \ in T, \ forall Y, W \ in T.}$ ${\ displaystyle Y \ cap W \ in T, \ forall Y, W \ in T.}$

Un spațiu topologic este o pereche $(X,T)$ ${\ displaystyle (X, T)}$ $(X, T)$ , unde este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un set și $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ o topologie. Într-un spațiu topologic mulțimile care constituie $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ ei spun că sunt deschiși $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . ^[1]

Complementarele seturilor deschise se numesc închise , din nou în analogie cu seturile închise de $\mathbb {R} .$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}.}$

Mai mult, din a treia condiție topologică și prin inducție, deducem că intersecția unui număr finit de mulțimi aparținând $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ aparține lui $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ .

Se spune că colecția $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ de deschis este o topologie pentru $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Dacă din context este clar despre ce topologie vorbim, din motive de scurtă durată spațiul este indicat doar de numele $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ a întregului.

Definiții echivalente (deși puțin folosite) pot fi date prin colecția celor închise (adică complementarele celor deschise), sau prin proprietățile vecinătăților sau prin operația de închidere (veziaxiomele de închidere ale lui Kuratowski ).

Definiție prin „cartiere”

Această definiție, mai puțin utilizată decât definiția prin open, folosește definiția filtrului pe un set și este, într-un fel, mai utilizată în analiza matematică .

Un spațiu topologic este o pereche $(S,\tau )$ ${\ displaystyle (S, \ tau)}$ ${\ displaystyle (S, \ tau)}$ cu

$S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ un set;
$τ$ {\ displaystyle \ tau} $\ tau$ o functie $τ$ $:$ $S.$ $\to$ $P.$ $($ $P.$ $($ $S.$ $)$ $)$ {\ displaystyle \ tau \ colon S \ to {\ mathcal {P}} ({\ mathcal {P}} (S))} ${\ displaystyle \ tau \ colon S \ to {\ mathcal {P}} ({\ mathcal {P}} (S))}$ cu $X$ $\mapsto$ $τ$ $X$ {\ displaystyle x \ mapsto \ tau _ {x} \} ${\ displaystyle x \ mapsto \ tau _ {x} \}$ , numită topologie , astfel încât:
- $\forall I\in \tau _{x}$ ${\ displaystyle \ forall I \ in \ tau _ {x}}$ ${\ displaystyle \ forall I \ in \ tau _ {x}}$ $x\in I$ ${\ displaystyle x \ in I}$ ${\ displaystyle x \ in I}$ ;
- $\forall x\in S$ ${\ displaystyle \ forall x \ in S}$ ${\ displaystyle \ forall x \ in S}$ $\tau _{x}$ ${\ displaystyle \ tau _ {x}}$ $\ tau _ {x}$ filtrează $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ ;
- $\forall U\in \tau _{x}\;\exists V\in \tau _{x}$ ${\ displaystyle \ forall U \ in \ tau _ {x} \; \ există V \ in \ tau _ {x}}$ ${\ displaystyle \ forall U \ in \ tau _ {x} \; \ există V \ in \ tau _ {x}}$ astfel încât $U\in \tau _{y}\;\forall y\in V$ ${\ displaystyle U \ in \ tau _ {y} \; \ forall y \ in V}$ ${\ displaystyle U \ in \ tau _ {y} \; \ forall y \ in V}$ .

$\tau _{x}$ ${\ displaystyle \ tau _ {x}}$ ${\ displaystyle \ tau _ {x}}$ se numește familia împrejurimilor punctului $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ sau topologie punctuală $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , in timp ce $I\in \tau _{x}$ ${\ displaystyle I \ in \ tau _ {x}}$ ${\ displaystyle I \ in \ tau _ {x}}$ se spune în jurul punctului $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ .

Exemple de spații topologice

Primele patru exemple formează un spațiu topologic. Ultimele două nu sunt: în cea din stânga lipsește uniunea {2,3}, în cea din dreapta lipsește intersecția {2}.

Să luăm în considerare întregul $X=\{a,b,c\}$ ${\ displaystyle X = \ {a, b, c \}}$ ${\ displaystyle X = \ {a, b, c \}}$ .

colecțiile $R=\{\varnothing ,X,\{a\}\}$ ${\ displaystyle R = \ {\ varnothing, X, \ {a \} \}}$ ${\ displaystyle R = \ {\ varnothing, X, \ {a \} \}}$ Și $S=\{\varnothing ,X,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$ ${\ displaystyle S = \ {\ varnothing, X, \ {a \}, \ {b \}, \ {a, b \} \}}$ ${\ displaystyle S = \ {\ varnothing, X, \ {a \}, \ {b \}, \ {a, b \} \}}$ sunt topologii pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ ;
colecția $T=\{\varnothing ,X,\{a\},\{b\}\}$ ${\ displaystyle T = \ {\ varnothing, X, \ {a \}, \ {b \} \}}$ ${\ displaystyle T = \ {\ varnothing, X, \ {a \}, \ {b \} \}}$ nu este o su topologie $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ : de fapt în $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ lipsind unirea de $\{a\}$ ${\ displaystyle \ {a \}}$ $\{la\}$ Și $\{b\}.$ ${\ displaystyle \ {b \}.}$ ${\ displaystyle \ {b \}.}$

Topologii pe un set

Același subiect în detaliu: relația de finețe .

Un set de seturi $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ admite în general numeroase topologii $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ diferit. De exemplu:

$T=\{\varnothing ,X\}$ ${\ displaystyle T = \ {\ varnothing, X \}}$ ${\ displaystyle T = \ {\ varnothing, X \}}$ , numită topologie banală
$T={\mathcal {P}}(X)$ ${\ displaystyle T = {\ mathcal {P}} (X)}$ ${\ displaystyle T = {\ mathcal {P}} (X)}$ , numită topologie discretă
$T=\{U\subseteq X\;|\;X-U{\text{ è finito}}\}\cup \{\varnothing \}$ ${\ displaystyle T = \ {U \ subseteq X \; | \; XU {\ text {este terminat}} \} \ cup \ {\ varnothing \}}$ ${\ displaystyle T = \ {U \ subseteq X \; | \; X-U {\ text {este terminat}} \} \ cup \ {\ varnothing \}}$ , numită topologie cofinite

Aici ${\mathcal {P}}(X)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$ este ansamblul părților din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Deci numai în topologia banală $\varnothing$ ${\ displaystyle \ varnothing}$ ${\ displaystyle \ varnothing}$ Și $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ sunt deschise, în timp ce în cea discretă toate subseturile sunt deschise.

Două topologii $T., {T.}^{'}$ ${\ displaystyle T, T '}$ ${\ displaystyle T, T '}$ pe un platou $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ sunt comparabile dacă unul dintre cele două este un subset al celuilalt. De sine $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ conține ${T.}^{'}$ ${\ displaystyle T '}$ $T '$ , topologia $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este topologie mai fină decât ${T.}^{'}$ ${\ displaystyle T '}$ $T '$ .

De exemplu, pe $X=\{a,b,c\}$ ${\ displaystyle X = \ {a, b, c \}}$ ${\ displaystyle X = \ {a, b, c \}}$ topologia $\{\varnothing ,X,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$ ${\ displaystyle \ {\ varnothing, X, \ {a \}, \ {b \}, \ {a, b \} \}}$ ${\ displaystyle \ {\ varnothing, X, \ {a \}, \ {b \}, \ {a, b \} \}}$ este mai fin decât $\{\varnothing ,X,\{a\}\}$ ${\ displaystyle \ {\ varnothing, X, \ {a \} \}}$ ${\ displaystyle \ {\ varnothing, X, \ {a \} \}}$ .

Setul tuturor topologiilor de pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ cu această relație formează un set parțial ordonat , în care topologiile triviale și discrete sunt respectiv cele mai puțin fine și cele mai fine dintre toate.

Seturi închise

Pe lângă definiția dată la început, există un alt echivalent și la fel de curent, deși mai puțin obișnuit, care determină topologia în termeni de închis . Dacă începem de la cele deschise, vom numi închise subseturile care au deschise complementare. Dacă începem de la închis, cei care au închis complementar vor fi deschise.

Plecând de la definiția dată la început, demonstrăm cele trei proprietăți care le caracterizează pe cele închise:

$X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $\varnothing$ ${\ displaystyle \ varnothing}$ ${\ displaystyle \ varnothing}$ sunt închise, de fapt complementare de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $\varnothing$ ${\ displaystyle \ varnothing}$ ${\ displaystyle \ varnothing}$ , care prin definiția inițială este deschisă și complementară a $\varnothing$ ${\ displaystyle \ varnothing}$ ${\ displaystyle \ varnothing}$ Și $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ care este, de asemenea, deschis;
intersecția arbitrară a închisului este închisă, de fapt complementarea intersecției arbitrare, aplicând De Morgan , este uniunea arbitrară a complementarelor închise, care sunt deschise și, prin urmare, este deschisă;
uniunea finită a închisului este închisă, iar dovada este analogă celei anterioare.

Dacă luăm aceste trei propoziții ca o proprietate care trebuie să satisfacă o colecție de subseturi pentru a fi o topologie, avem definiția bazată pe cele închise.

Observăm că un subset poate fi închis, deschis, atât deschis, cât și închis, nici deschis, nici închis.

Alte definiții

Introducem aici câteva concepte cheie, definite în fiecare spațiu topologic $(X,T)$ ${\ displaystyle (X, T)}$ $(X, T)$ .

În jurul

Același subiect în detaliu: În jur .

Un set $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ care conține o perioadă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un cartier al $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ dacă există un deschis $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ cu

x\in A\subseteq U.

{\ displaystyle x \ în A \ subseteq U.}

{\ displaystyle x \ în A \ subseteq U.}

Închidere și parte internă

Este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ un subset de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Închiderea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este cel mai mic set închis pe care îl conține $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ (definit ca intersecția tuturor incintelor care îl conțin). În mod similar, interiorul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este cea mai mare deschidere conținută în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Închiderea și partea internă sunt indicate, după cum urmează

{\bar {A}},\quad {\dot {A}}.

{\ displaystyle {\ bar {A}}, \ quad {\ dot {A}}.}

{\ displaystyle {\ bar {A}}, \ quad {\ dot {A}}.}

Închiderea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este indicat și cu $Cl(A)$ ${\ displaystyle Cl (A)}$ ${\ displaystyle Cl (A)}$ . Frontiera $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este definit în cele din urmă ca

\partial A={\bar {A}}\setminus {\dot {A}}.

{\ displaystyle \ partial A = {\ bar {A}} \ setminus {\ dot {A}}.}

{\ displaystyle \ partial A = {\ bar {A}} \ setminus {\ dot {A}}.}

Spațiul Hausdorff

Același subiect în detaliu: spațiul Hausdorff .

Matematicianul Hausdorff și-a definit conceptul de spațiu topologic, pe baza unei definiții axiomatice a vecinătății unui punct. Cartierele trebuie să satisfacă următoarele axiome, numite ulterior axiomele lui Hausdorff :

la fiecare punct $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ cel puțin un cartier corespunde $U(x)$ ${\ displaystyle U (x)}$ $U (x)$ , conținând $X$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x}$ ;
de sine $U(x)$ ${\ displaystyle U (x)}$ $U (x)$ Și $V(x)$ ${\ displaystyle V (x)}$ $V (x)$ sunt în jurul aceluiași punct $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , apoi și intersecția dintre $U(x)$ ${\ displaystyle U (x)}$ $U (x)$ Și $V(x)$ ${\ displaystyle V (x)}$ $V (x)$ este un cartier al $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ;
de sine $U(x)$ ${\ displaystyle U (x)}$ $U (x)$ este un cartier al $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ și este un subset al unui set $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , apoi și $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este un cartier al $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ;
pentru fiecare din jur $U(x)$ ${\ displaystyle U (x)}$ $U (x)$ din $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ există un cartier $V(x)$ ${\ displaystyle V (x)}$ $V (x)$ din $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ astfel încât $U(x)$ ${\ displaystyle U (x)}$ $U (x)$ este în jur de oricare $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ aparținând $V(x)$ ${\ displaystyle V (x)}$ $V (x)$ ;
date două puncte distincte $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , există două cartiere disjuncte $U(x)$ ${\ displaystyle U (x)}$ $U (x)$ Și $U(y)$ ${\ displaystyle U (y)}$ ${\ displaystyle U (y)}$ .

Un spațiu cu aceste proprietăți se numește spațiu Hausdorff .

În mod echivalent, un spațiu Hausdorff este un spațiu topologic care satisface axioma de separare $T_{2}$ ${\ displaystyle T_ {2}}$ $T_ {2}$ (pentru două puncte distincte $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , există două cartiere disjuncte $U(x)$ ${\ displaystyle U (x)}$ $U (x)$ Și $U(y)$ ${\ displaystyle U (y)}$ ${\ displaystyle U (y)}$ , sau a cincea axiomă a lui Hausdorff).

Generalizări

Uneori trebuie să utilizați instrumente de topologie, dar un „set de puncte” nu este disponibil. Se poate recurge apoi la topologia formală , bazată pe ordonarea și convergența seturilor deschise ca fundament teoretic; în timp ce topologiile Grothendieck sunt structuri particulare definite pe categorii formale care permit definirea snopilor pe aceste categorii și, împreună cu ele, definirea teoriilor foarte generale ale cohomologiei.

Notă

^ ^a ^b W. Rudin , Pagina 8 .

Bibliografie

Walter Rudin, Analiză reală și complexă , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1 .
Munkres JR, Topologie, ediția a II-a. , Prentice-Hall, 2000.
Hausdorff, Teoria seturilor, ed. A II-a. , New York: Chelsea, 1962.
Berge C., Spații topologice incluzând un tratament al funcțiilor cu valori multiple, spații vectoriale și convexitate , New York: Dover, 1997.
Checcucci V., Tognoli A., Vesentini E., Lecții de topologie generală ' , Milano: Feltrinelli, 1968.
Kelley JL, Topologie generală , Princeton: van Nostrand Company, 1955.
Marco Manetti, Topologia , Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere în spațiul topologic

linkuri externe

( EN ) Spațiu topologic , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Tesauro BNCF 21614 · LCCN (EN) sh85136087 · GND (DE) 4137586-5 · BNF (FR) cb13162791j (dată) · NDL (EN, JA) 00.56427 milioane

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[def-1] W. Rudin , Pagina 8 .

[1]