Spațiu conectat

Două subseturi ale planului: unul conectat (în verde), celălalt neconectat (în violet) format din 4 componente conectate

În matematică se spune că un spațiu topologic este conectat dacă nu poate fi reprezentat ca unirea a două sau mai multe mulțimi deschise ne-goale și disjuncte . Într-un mod informal, dar destul de intuitiv, putem spune că legătura este proprietatea topologică a unui set de a fi format dintr-o singură „piesă”. Se spune că un subset al unui spațiu topologic este conectat dacă este un spațiu conectat cu topologia subspaiului .

Conexiunea este unul dintre principalii invarianți utilizați pentru a distinge și clasifica spațiile topologice.

Subspatiile maxime conectate ale unui spatiu topologic X sunt componentele conectate ale lui X. Cu alte cuvinte, componentele conectate pot fi văzute ca „piesele” din care este format X.

Definiție

Se spune că un spațiu topologic X este deconectat sau deconectat dacă este uniunea a două spații deschise disjuncte, goale. În caz contrar, se spune că X este conectat .

Există și alte definiții echivalente cu aceasta:

X este conectat dacă singurele subseturi deschise și închise simultan sunt X în sine și setul gol .
X este conectat dacă nu este uniunea a două seturi închise, ne-goale și disjuncte.

Un subset al unui spațiu topologic este conectat dacă și numai dacă este conectat cu topologia subspaiului . ^[1]

Componente conectate

Componentele conectate ale unui spațiu topologic sunt subseturile maxime conectate (cu privire la incluziune ). Cu alte cuvinte, acestea sunt cele mai mari subseturi conectate de X, adică diferitele piese din care este format X. Dacă spațiul X este conectat, va exista o singură componentă care coincide cu X în sine. Dacă nu, vor exista două sau mai multe componente conectate.

Componentele conectate ale unui spațiu topologic formează o partiție a acestuia: sunt disjuncte, nu goale și unirea lor formează întregul spațiu. În general, componentele unui spațiu topologic nu sunt deschise; sunt așa numai dacă fiecare punct admite un cartier conectat

Având în vedere un punct x în spațiul topologic, unirea tuturor conexiunilor care conțin x este componenta conectată care conține x . ^[2]

Spații complet deconectate

Un spațiu topologic X este deconectat (sau deconectat) dacă nu este conectat. Dintre acestea, cele ale căror componente conectate sunt toate și numai punctele lui X sunt numite spații total deconectate .

Exemple

Intervalul închis [0,1] este conectat. În general, un subset de numere reale este conectat dacă și numai dacă este un interval.
Unirea intervalelor [0,1] și (1,2) este deconectată.
Setul numerelor reale este conectat.
Setul de numere raționale ca subset de reali este deconectat și, în special, este complet deconectat.
Întregul $\mathbb {R} ^{n},n\geq 1$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}, n \ geq 1}$ ${\ mathbb {R}} ^ {n}, n \ geq 1$ , cu topologia euclidiană este un spațiu conectat.
Planul împărțit de o linie este deconectat.
Unirea unor linii în plan este un spațiu conectat dacă există cel puțin două care nu sunt paralele.
Orice spațiu cu topologie discretă este complet deconectat. Pe de altă parte, un spațiu cu un număr finit de puncte poate fi conectat cu o topologie diferită.
Fiecare spațiu vector topologic pe un câmp conectat este conectat.
Ansamblul Cantor este complet deconectat.
Un spațiu topologic cu un număr infinit de puncte și cu topologia cofinată este hiperconectat, conectat local și conectat.
Spațiul topologic a produs XxY din două spații topologice X și Y, din care cel puțin unul dintre cele două este deconectat, este la rândul său deconectat.

Conexiune prin căi (sau prin arcuri)

Acest subspațiu de R ² este conectat prin căi, deoarece o cale poate fi trasată între două puncte în spațiu.

Un spațiu topologic X este conectat prin arcuri ^[3] (sau cu o terminologie echivalentă, conectată prin căi ) dacă există un arc care le conectează pentru fiecare pereche de puncte x și y din spațiu.

Mai formal, un spațiu X este conectat prin arcuri (sau prin căi) dacă, totuși, se alege o pereche de puncte x , y în X , există o funcție continuă $\alpha :[0,1]\to X$ ${\ displaystyle \ alpha: [0,1] \ to X}$ $\ alfa: [0,1] \ la X$ astfel încât $\alpha (0)=x$ ${\ displaystyle \ alpha (0) = x}$ $\ alfa (0) = x$ Și $\alpha (1)=y$ ${\ displaystyle \ alpha (1) = y}$ $\ alfa (1) = y$ . ^[1]

Componente conectate pentru căi

O componentă a traseului unui spațiu topologic X este ansamblul tuturor punctelor care pot fi conectate cu un arc între ele. În mod formal, dacă definim relația de echivalență x echivalentă cu y dacă există o cale de la x la y , componentele conectate prin căi sunt clasele de echivalență ale acestei relații.

Prin urmare, un spațiu X este conectat prin margini dacă este format dintr-o singură componentă conectată prin căi. Dacă componentele sunt mai multe decât una, spațiul nu este conectat prin arcuri. ^[4]

Relația dintre conexiunea pentru căi și conexiune

Sinusul topologului este format din graficul funcției

\sin(1/x)

{\ displaystyle \ sin (1 / x)}

{\ displaystyle \ sin (1 / x)}

și un segment vertical. Ca subspatiu al

\mathbb {R} ^{2}

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}

\ mathbb {R} ^ 2

este conectat dar nu conectat prin arcuri

Fiecare spațiu conectat prin căi este conectat. Reversul nu este întotdeauna adevărat: există spații conectate, dar nu conectate prin arcade. ^[1]

Un exemplu este dat de subspațiul $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ mathbb {R} ^ 2$ cunoscut sub numele de sinusul topologului și definit de

Y=\left\{(0,y)\ {\big |}\ |y|\leq 1\right\}\cup \left\{\left.\left(x,\sin {\frac {1}{x}}\right)\ \right|\ x>0\right\}

{\ displaystyle Y = \ left \ {(0, y) \ {\ big |} \ | y | \ leq 1 \ right \} \ cup \ left \ {\ left. \ left (x, \ sin {\ frac {1} {x}} \ right) \ \ right | \ x> 0 \ right \}}

{\ displaystyle Y = \ left \ {(0, y) \ {\ big |} \ | y | \ leq 1 \ right \} \ cup \ left \ {\ left. \ left (x, \ sin {\ frac {1} {x}} \ right) \ \ right | \ x> 0 \ right \}}

care este unirea unui segment vertical și a unui „șarpe” de lungime infinită care se apropie de el oscilând tot mai mult așa cum se ilustrează în figură.

Pentru clasele de spații topologice care sunt „suficient de regulate”, cele două noțiuni coincid. De exemplu, subseturile numerelor reale R sunt conectate dacă și numai dacă sunt conectate prin margini; aceste subseturi sunt intervalele lui R.

Mai general, seturile deschise ale unui spațiu euclidian (de exemplu: R ⁿ sau C ⁿ ) sunt conectate dacă și numai dacă sunt conectate prin căi. ^[4]

În plus, conexiunea și conexiunea pentru căi sunt aceleași pentru spațiile topologice finite.

Conexiune locală

Un spațiu conectat local este un spațiu care este conectat „în mic”: adică fiecare punct al spațiului are un sistem de cartiere conectate. Definiția spațiului conectat local pentru arce este analogă. ^[4]

Conexiunea locală este în mod normal o proprietate minimă a regularității locale care este necesară pentru ca teoremele foarte generale să fie valabile. De exemplu, este adesea necesar în teoria acoperirilor .

Proprietate

Având în vedere orice familie de seturi conectate care au un punct în comun, unirea lor este un set conectat.
Produsul spațiilor conectate este un spațiu conectat.
Două spații topologice X și Y sunt conectate dacă și numai dacă spațiul produsului X × Y este conectat
Cocientul unui spațiu conectat este un spațiu conectat.
Imaginea unui spațiu conectat printr-o funcție continuă este un spațiu conectat. În mod similar, imaginea unui spațiu conectat prin arcuri printr-o funcție continuă este un spațiu conectat prin arcuri.
Închiderea unui spațiu conectat este încă conectată.
Componentele conectate sunt întotdeauna închise.
Componentele conectate ale unui spațiu conectat local sunt, de asemenea, deschise.
Componentele conectate ale unui spațiu sunt unirea disjunctă a componentelor conectate prin căi.
Conexiunea, conexiunea de margine, conexiunea locală și conexiunea de margine locală sunt invarianți topologici .
Un spațiu complet deconectat nu este niciodată conectat local.

Conexiuni de ordin superior

Același subiect în detaliu: Spațiu conectat simplu și grupuri de homotopie .

Conexiunea prin margini poate fi văzută ca „conexiunea ordinii 0”, într-un context mai general al „conexiunii ordinii n ”, care măsoară intuitiv prezența „găurilor n- dimensionale” în spațiul topologic. Dintre acestea, cea mai utilizată este conexiunea de ordinul 1 sau conexiunea simplă : acest concept fundamental în topologie este, de asemenea, deosebit de util în analiză , pentru a verifica, de exemplu, acuratețea unei forme diferențiale definite pe un plan deschis sau spațiu.

Notă

^ ^a ^b ^c M. Manetti , par. 4.1 .
^ M. Manetti , par. 4.2 .
^ Path-connected în engleză
^ ^a ^b ^c M. Manetti , par . 10.1 .

Bibliografie

Edoardo Sernesi, Geometry 2 , Bollati Boringhieri , 1994, ISBN 978-88-339-5548-3 .
Marco Manetti, Topologia , Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7 .

Controlul autorității	GND ( DE ) 4151264-9

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[man1-1] M. Manetti , par. 4.1 .

[man2-2] M. Manetti , par. 4.2 .

[3] Path-connected în engleză

[man3-4] M. Manetti , par . 10.1 .

[1]

[2]

[3]

[4]