Topologii operative slabe și puternice

În matematică , în special în analiza funcțională , topologiile operatorilor slabi și puternici sunt două topologii operator în ansamblu ${\mathcal {L}}(X,Y)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (X, Y)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (X, Y)}$ operatori delimitați între două spații Hilbert $(X,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{X})$ ${\ displaystyle (X, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle _ {X})}$ ${\ displaystyle (X, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle _ {X})}$ Și $(Y,\langle \cdot ,\cdot \rangle _{Y})$ ${\ displaystyle (Y, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle _ {Y})}$ ${\ displaystyle (Y, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle _ {Y})}$ . După cum sugerează și numele, topologia operativă slabă este mai slabă decât topologia operativă puternică.

Definiții

Topologie operativă slabă

Topologia operatorului slab este cea mai slabă topologie de pe ${\mathcal {L}}(X,Y)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (X, Y)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (X, Y)}$ astfel încât funcționalul să trimită un operator limitat $T\in {\mathcal {L}}(X,Y)$ ${\ displaystyle T \ in {\ mathcal {L}} (X, Y)}$ ${\ displaystyle T \ in {\ mathcal {L}} (X, Y)}$ în $\ell (Tx)$ ${\ displaystyle \ ell (Tx)}$ ${\ displaystyle \ ell (Tx)}$ să fie continuu pentru fiecare $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ Și $\ell \in Y^{*}$ ${\ displaystyle \ ell \ în Y ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ ell \ în Y ^ {*}}$ , unde este $Y^{*}$ ${\ displaystyle Y ^ {*}}$ ${\ displaystyle Y ^ {*}}$ denotă spațiul dual $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ . Prin teorema reprezentării lui Riesz , o bază a vecinătăților unui operator mărginit $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este dat de familia seturilor

\{V:X\to Y{\text{ operatore limitato}}\mid |\langle V(x)-T(x),y\rangle _{Y}|<\varepsilon \ \forall (x,y)\in S\}

{\ displaystyle \ {V: X \ to Y {\ text {bounded operator}} \ mid | \ langle V (x) -T (x), y \ rangle _ {Y} | <\ varepsilon \ \ forall (x , y) \ în S \}}

{\ displaystyle \ {V: X \ to Y {\ text {bounded operator}} \ mid | \ langle V (x) -T (x), y \ rangle _ {Y} | <\ varepsilon \ \ forall (x , y) \ în S \}}

dupa cum $\varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}$ ${\ displaystyle \ varepsilon \ in \ mathbb {R} _ {> 0}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon \ in \ mathbb {R} _ {> 0}}$ și de $S\subset X\times Y$ ${\ displaystyle S \ subset X \ times Y}$ ${\ displaystyle S \ subset X \ times Y}$ de cardinalitate finită.

Topologia operatorului slab nu trebuie confundată cu topologia slabă pentru spațiile Banach de pe ${\mathcal {L}}(X,Y)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (X, Y)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (X, Y)}$ . Aceasta este de fapt cea mai slabă topologie care face ca toate funcționalitățile liniare să fie mărginite continuu ${\mathcal {L}}(X,Y)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (X, Y)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (X, Y)}$ , nu numai cele ale formei $T\mapsto \ell (Tx)$ ${\ displaystyle T \ mapsto \ ell (Tx)}$ ${\ displaystyle T \ mapsto \ ell (Tx)}$ .

Topologie operativă puternică

Topologia operatorului puternic este cea mai slabă topologie de pe ${\mathcal {L}}(X,Y)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (X, Y)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (X, Y)}$ astfel încât funcționalul să trimită un operator limitat $T:X\to Y$ ${\ displaystyle T: X \ to Y}$ $T: X \ to Y$ în $T. X$ ${\ displaystyle Tx}$ ${\ displaystyle Tx}$ să fie continuu pentru fiecare $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ . O bază de cartiere a unui operator limitat $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este dat de familia seturilor

\{V:X\to Y{\text{ operatore limitato}}\mid \|V(x)-T(x)\|_{Y}<\varepsilon \ \forall x\in S\}

{\ displaystyle \ {V: X \ to Y {\ text {bounded operator}} \ mid \ | V (x) -T (x) \ | _ {Y} <\ varepsilon \ \ forall x \ in S \} }

{\ displaystyle \ {V: X \ to Y {\ text {bounded operator}} \ mid \ | V (x) -T (x) \ | _ {Y} <\ varepsilon \ \ forall x \ in S \} }

dupa cum $\varepsilon \in \mathbb {R} _{>0}$ ${\ displaystyle \ varepsilon \ in \ mathbb {R} _ {> 0}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon \ in \ mathbb {R} _ {> 0}}$ și de $S\subset X$ ${\ displaystyle S \ subset X}$ ${\ displaystyle S \ subset X}$ de cardinalitate finită.

Bibliografie

( EN ) Michael Reed, Barry Simon, Bounded Operators , în Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , ed. A II-a, San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică