Teorema reprezentării Riesz

În analiza funcțională , cu teorema reprezentării lui Riesz sunt identificate diferite teoreme, care își iau numele de la matematicianul maghiar Frigyes Riesz .

În cazul unui spațiu Hilbert , teorema stabilește o legătură importantă între spațiu și spațiul său dual . Dacă câmpul asociat spațiului este câmpul numerelor reale , cele două spații sunt izomorf izomorfe , în timp ce dacă câmpul este cel al numerelor complexe cele două spații sunt izometric anti-izomorfe.

Teorema reprezentării pentru funcționalități liniare pe $C_{c}(X)$ ${\ displaystyle C_ {c} (X)}$ $C_ {c} (X)$

Este $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un spațiu Hausdorff compact local e $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ o funcțională liniară pozitivă în $C_{c}(X)$ ${\ displaystyle C_ {c} (X)}$ $C_ {c} (X)$ , spațiul funcțiilor continue cu suport compact și cu valori complexe. Apoi, există o sigma-algebră ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ care conține toate seturile sale Borel și există o singură măsură $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ pe ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ astfel încât: ^[1]

\lambda (f)=\int _{X}fd\mu \

{\ displaystyle \ lambda (f) = \ int _ {X} fd \ mu \}

\ lambda (f) = \ int _ {X} fd \ mu \

pentru fiecare funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ din $C_{c}(X)$ ${\ displaystyle C_ {c} (X)}$ $C_ {c} (X)$ , și astfel încât să se mențină următoarele proprietăți: ^[2]

$\mu (K)<\infty$ ${\ displaystyle \ mu (K) <\ infty}$ $\ mu (K) <\ infty$ pentru fiecare set compact $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Pentru fiecare set de Borel $E_{i}$ ${\ displaystyle E_ {i}}$ $E_ {i}$ în ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ avem:

\mu (E_{i})=\inf\{\mu (U):E_{i}\subseteq U,U{\mbox{ aperto}}\}

{\ displaystyle \ mu (E_ {i}) = \ inf \ {\ mu (U): E_ {i} \ subseteq U, U {\ mbox {open}} \}}

\ mu (E_ {i}) = \ inf \ {\ mu (U): E_ {i} \ subseteq U, U {\ mbox {open}} \}

Pentru fiecare set $E_{i}$ ${\ displaystyle E_ {i}}$ $E_ {i}$ în ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ de măsură finită avem:

\mu (E_{i})=\sup\{\mu (K):K\subseteq E_{i},K{\mbox{ compatto}}\}

{\ displaystyle \ mu (E_ {i}) = \ sup \ {\ mu (K): K \ subseteq E_ {i}, K {\ mbox {compact}} \}}

\ mu (E_ {i}) = \ sup \ {\ mu (K): K \ subseteq E_ {i}, K {\ mbox {compact}} \}

Se spune că măsura $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ „reprezintă” funcționalul $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ .

Generalizare

Din moment ce spațiul $C_{c}(X)$ ${\ displaystyle C_ {c} (X)}$ $C_ {c} (X)$ este un subset dens al spațiului Banach $C_{0}(X)$ ${\ displaystyle C_ {0} (X)}$ $C_ {0} (X)$ dintre funcțiile continue care dispar la infinit, fiecare funcționalitate liniară cu suport compact poate fi extinsă la o funcționalitate liniară mărginită $C_{0}(X)$ ${\ displaystyle C_ {0} (X)}$ $C_ {0} (X)$ . ^[3] Prin urmare, teorema poate fi generalizată afirmând că pentru orice funcțional delimitat $\psi$ ${\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ pe $C_{0}(X)$ ${\ displaystyle C_ {0} (X)}$ $C_ {0} (X)$ există o singură măsură Borel regulată $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ pe ${\mathfrak {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {F}}}$ ${\ mathfrak {F}}$ astfel încât: ^[4]

\psi (f)=\int _{X}fd\mu \

{\ displaystyle \ psi (f) = \ int _ {X} fd \ mu \}

\ psi (f) = \ int _ {X} fd \ mu \

și astfel încât:

\|\psi \|=|\mu |(X)

{\ displaystyle \ | \ psi \ | = | \ mu | (X)}

\ | \ psi \ | = | \ mu | (X)

unde este:

|\mu |=\sup \sum _{i=1}^{+\infty }|\mu (E_{i})|

{\ displaystyle | \ mu | = \ sup \ sum _ {i = 1} ^ {+ \ infty} | \ mu (E_ {i}) |}

| \ mu | = \ sup \ sum _ {{i = 1}} ^ {{+ \ infty}} | \ mu (E_ {i}) |

este variația totală a măsurii $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ .

Teorema reprezentării pentru spațiile Hilbert

Este $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ un spațiu Hilbert și let $H^{*}$ ${\ displaystyle H ^ {*}}$ $H ^ {*}$ spațiul său dual , format din toate funcționalitățile liniare continue din $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ sau în $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ . De sine $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este un element al $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ , functia $\phi _{x}$ ${\ displaystyle \ phi _ {x}}$ $\ phi _ {x}$ definit de:

\phi _{x}(y)=\left\langle y,x\right\rangle \quad \forall y\in H

{\ displaystyle \ phi _ {x} (y) = \ left \ langle y, x \ right \ rangle \ quad \ forall y \ in H}

\ phi _ {x} (y) = \ left \ langle y, x \ right \ rangle \ quad \ forall y \ în H

unde este $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$ $\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle$ indică produsul scalar al spațiului Hilbert, este un element al $H^{*}$ ${\ displaystyle H ^ {*}}$ $H ^ {*}$ . ^[5] Apoi fiecare element al $H^{*}$ ${\ displaystyle H ^ {*}}$ $H ^ {*}$ poate fi scris doar în această formă.

Ca corolar, rezultă că o funcție dată $\phi :H\times H\to \mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ phi: H \ times H \ to \ mathbb {C}}$ $\ phi: H \ times H \ to {\ mathbb {C}}$ care asociază fiecărei perechi de elemente $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ ${\ mathbf v}$ Și $\mathbf {w} \in H$ ${\ displaystyle \ mathbf {w} \ în H}$ ${\ mathbf w} \ în H$ urcare $\phi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {v}, \ mathbf {w}) \ în \ mathbb {C}}$ $\ phi ({\ mathbf v}, {\ mathbf w}) \ în {\ mathbb {C}}$ astfel încât:

$\phi (\mathbf {x} ,a\mathbf {y} +b\mathbf {z} )=a\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )+b\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {z} )$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {x}, a \ mathbf {y} + b \ mathbf {z}) = a \ phi (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) + b \ phi (\ mathbf {x}, \ mathbf {z})}$ $\ phi ({\ mathbf x}, a {\ mathbf y} + b {\ mathbf z}) = a \ phi ({\ mathbf x}, {\ mathbf y}) + b \ phi ({\ mathbf x} , {\ mathbf z})$
$\phi (a\mathbf {x} +b\mathbf {y} ,\mathbf {z} )={\bar {a}}\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {z} )+{\bar {b}}\phi (\mathbf {y} ,\mathbf {z} )$ ${\ displaystyle \ phi (a \ mathbf {x} + b \ mathbf {y}, \ mathbf {z}) = {\ bar {a}} \ phi (\ mathbf {x}, \ mathbf {z}) + {\ bar {b}} \ phi (\ mathbf {y}, \ mathbf {z})}$ $\ phi (a {\ mathbf x} + b {\ mathbf y}, {\ mathbf z}) = {\ bar a} \ phi ({\ mathbf x}, {\ mathbf z}) + {\ bar b} \ phi ({\ mathbf y}, {\ mathbf z})$
$|\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )|\leq C\|\mathbf {x} \|\|\mathbf {y} \|$ ${\ displaystyle | \ phi (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) | \ leq C \ | \ mathbf {x} \ | \ | \ mathbf {y} \ |}$ $| \ phi ({\ mathbf x}, {\ mathbf y}) | \ leq C \ | {\ mathbf x} \ | \ | {\ mathbf y} \ |$

pentru fiecare $a,b\in \mathbb {C}$ ${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {C}}$ $a, b \ in {\ mathbb {C}}$ Și $\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} \in \mathbb {V}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}, \ mathbf {y}, \ mathbf {z} \ in \ mathbb {V}}$ ${\ mathbf x}, {\ mathbf y}, {\ mathbf z} \ in {\ mathbb {V}}$ , atunci există o singură aplicație liniară limitată $A:H\to H$ ${\ displaystyle A: H \ to H}$ $A: H \ to H$ astfel încât:

$\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=(A\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\qquad \forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in H$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) = (A \ mathbf {x}, \ mathbf {y}) \ qquad \ forall \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ in H}$ $\ phi ({\ mathbf x}, {\ mathbf y}) = (A {\ mathbf x}, {\ mathbf y}) \ qquad \ forall {\ mathbf x}, {\ mathbf y} \ în H$

Norma de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este și cea mai mică constantă $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ astfel încât $|\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )|\leq C\|\mathbf {x} \|\|\mathbf {y} \|$ ${\ displaystyle | \ phi (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) | \ leq C \ | \ mathbf {x} \ | \ | \ mathbf {y} \ |}$ $| \ phi ({\ mathbf x}, {\ mathbf y}) | \ leq C \ | {\ mathbf x} \ | \ | {\ mathbf y} \ |$ . ^[6]

Demonstrație

Vrei să arăți asta dacă $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ este un spațiu Hilbert, apoi dualul său $H^{*}$ ${\ displaystyle H ^ {*}}$ $H ^ {*}$ este dat de:

H^{*}=B(H,\mathbb {F} )=\{\{({\underline {y}},\langle {\underline {y}},{\underline {x}}\rangle ):{\underline {y}}\in H\}:{\underline {x}}\in H\}

{\ displaystyle H ^ {*} = B (H, \ mathbb {F}) = \ {\ {({\ underline {y}}, \ langle {\ underline {y}}, {\ underline {x}} \ rangle): {\ underline {y}} \ in H \}: {\ underline {x}} \ in H \}}

H ^ {*} = B (H, {\ mathbb {F}}) = \ {\ {(\ underline {y}, \ langle \ underline {y}, \ underline {x} \ rangle): \ underline { y} \ în H \}: \ underline {x} \ în H \}

unde este $B(H,\mathbb {F} )$ ${\ displaystyle B (H, \ mathbb {F})}$ $B (H, {\ mathbb {F}})$ denotă setul de operatori liniari de cartografiere limitată de la $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ într-un câmp de scalari $\mathbb {F}$ ${\ displaystyle \ mathbb {F}}$ ${\ mathbb {F}}$ (real sau complex), în timp ce $\langle \cdot ,\cdot \rangle :H\times H:\to \mathbb {F}$ ${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle: H \ times H: \ to \ mathbb {F}}$ $\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle: H \ times H: \ to {\ mathbb {F}}$ denotă produsul intern.

Pentru a arăta implicația directă, este suficient să observăm că liniaritatea coboară din liniaritatea produsului interior, iar limitarea rezultă din inegalitatea Cauchy-Schwarz .

Pentru implicația inversă, fie ${\underline {\phi }}\in H'$ ${\ displaystyle {\ underline {\ phi}} \ în H '}$ $\ underline {\ phi} \ în H '$ . De sine ${\underline {\phi }}={\underline {0}}_{H'}$ ${\ displaystyle {\ underline {\ phi}} = {\ underline {0}} _ {H '}}$ ${\ displaystyle {\ underline {\ phi}} = {\ underline {0}} _ {H '}}$ asa de:

{\underline {\phi }}=\{({\underline {y}},\langle {\underline {y}},{\underline {0}}_{H}\rangle ):{\underline {y}}\in H\}

{\ displaystyle {\ underline {\ phi}} = \ {({\ underline {y}}, \ langle {\ underline {y}}, {\ underline {0}} _ {H} \ rangle): {\ subliniați {y}} \ în H \}}

{\ displaystyle {\ underline {\ phi}} = \ {({\ underline {y}}, \ langle {\ underline {y}}, {\ underline {0}} _ {H} \ rangle): {\ subliniați {y}} \ în H \}}

Să presupunem ${\underline {\phi }}\neq {\underline {0}}_{H'}$ ${\ displaystyle {\ underline {\ phi}} \ neq {\ underline {0}} _ {H '}}$ ${\ displaystyle {\ underline {\ phi}} \ neq {\ underline {0}} _ {H '}}$ și sunt:

{\underline {x}}\in H\qquad {\overline {ker({\underline {\phi }})}}=ker({\underline {\phi }})\qquad \dim(ker({\underline {\phi }}))\leqslant \dim(H)

{\ displaystyle {\ underline {x}} \ in H \ qquad {\ overline {ker ({\ underline {\ phi}})}} = ker ({\ underline {\ phi}}) \ qquad \ dim (ker ({\ underline {\ phi}})) \ leqslant \ dim (H)}

\ underline {x} \ in H \ qquad \ overline {ker (\ underline {\ phi})} = ker (\ underline {\ phi}) \ qquad \ dim (ker (\ underline {\ phi})) \ leqslant \ dim (H)

Apoi, prin teorema proiecției în spațiile Hilbert :

H=ker({\underline {\phi }})\oplus (ker({\underline {\phi }}))^{\perp }

{\ displaystyle H = ker ({\ underline {\ phi}}) \ oplus (ker ({\ underline {\ phi}})) ^ {\ perp}}

H = ker (\ underline {\ phi}) \ oplus (ker (\ underline {\ phi})) ^ {\ perp}

De cand $ker(\phi )\neq H$ ${\ displaystyle ker (\ phi) \ neq H}$ $ker (\ phi) \ neq H$ asa de $(ker({\underline {\phi }}))^{\perp }\neq \{{\underline {0}}_{H}\}$ ${\ displaystyle (ker ({\ underline {\ phi}})) ^ {\ perp} \ neq \ {{\ underline {0}} _ {H} \}}$ ${\ displaystyle (ker ({\ underline {\ phi}})) ^ {\ perp} \ neq \ {{\ underline {0}} _ {H} \}}$ . Deci, să fie:

{\underline {z}}\in \{{\underline {z}}\in (ker({\underline {\phi }}))^{\perp }:\|{\underline {z}}\|_{H}=1\}

{\ displaystyle {\ underline {z}} \ in \ {{\ underline {z}} \ in (ker ({\ underline {\ phi}})) ^ {\ perp}: \ | {\ underline {z} } \ | _ {H} = 1 \}}

\ underline {z} \ in \ {\ underline {z} \ in (ker (\ underline {\ phi})) ^ {\ perp}: \ | \ underline {z} \ | _ {H} = 1 \}

Prin linearitatea lui ${\underline {\phi }}$ ${\ displaystyle {\ underline {\ phi}}}$ $\ underline {\ phi}$ avem:

{\underline {z}}{\underline {\phi }}({\underline {x}})-{\underline {x}}{\underline {\phi }}({\underline {z}})\in ker({\underline {\phi }})

{\ displaystyle {\ underline {z}} {\ underline {\ phi}} ({\ underline {x}}) - {\ underline {x}} {\ underline {\ phi}} ({\ underline {z} }) \ in ker ({\ underline {\ phi}})}

\ underline {z} \ underline {\ phi} (\ underline {x}) - \ underline {x} \ underline {\ phi} (\ underline {z}) \ in ker (\ underline {\ phi})

prin urmare:

\langle {\underline {z}}{\underline {\phi }}({\underline {x}})-{\underline {x}}{\underline {\phi }}({\underline {z}}),{\underline {z}}\rangle =0

{\ displaystyle \ langle {\ underline {z}} {\ underline {\ phi}} ({\ underline {x}}) - {\ underline {x}} {\ underline {\ phi}} ({\ underline { z}}), {\ underline {z}} \ rangle = 0}

\ langle \ underline {z} \ underline {\ phi} (\ underline {x}) - \ underline {x} \ underline {\ phi} (\ underline {z}), \ underline {z} \ rangle = 0

asa de:

{\underline {\phi }}({\underline {x}})\|{\underline {z}}\|_{H}=\langle {\underline {x}}{\underline {\phi }}({\underline {z}}),{\underline {z}}\rangle

{\ displaystyle {\ underline {\ phi}} ({\ underline {x}}) \ | {\ underline {z}} \ | _ {H} = \ langle {\ underline {x}} {\ underline {\ phi}} ({\ underline {z}}), {\ underline {z}} \ rangle}

\ underline {\ phi} (\ underline {x}) \ | \ underline {z} \ | _ {H} = \ langle \ underline {x} \ underline {\ phi} (\ underline {z}), \ underline {z} \ rangle

O avem așa ${\underline {\phi }}({\underline {x}})=\langle {\underline {x}},{\underline {z}}{\overline {{\underline {\phi }}({\underline {z}})}}\rangle$ ${\ displaystyle {\ underline {\ phi}} ({\ underline {x}}) = \ langle {\ underline {x}}, {\ underline {z}} {\ overline {{\ underline {\ phi}} ({\ underline {z}})}} \ rangle}$ $\ underline {\ phi} (\ underline {x}) = \ langle \ underline {x}, \ underline {z} \ overline {\ underline {\ phi} (\ underline {z})} \ rangle$ cu $\|{\underline {z}}\|_{H}=1$ ${\ displaystyle \ | {\ underline {z}} \ | _ {H} = 1}$ $\ | \ underline {z} \ | _ {H} = 1$ , de la care:

{\underline {\phi }}=\{({\underline {y}},\langle {\underline {y}},{\underline {z}}{\overline {{\underline {\phi }}({\underline {z}})}}\rangle ):{\underline {y}}\in H\}\in \{\{({\underline {y}},\langle {\underline {y}},{\underline {x}}\rangle ):{\underline {y}}\in H\}:{\underline {x}}\in H\}

{\ displaystyle {\ underline {\ phi}} = \ {({\ underline {y}}, \ langle {\ underline {y}}, {\ underline {z}} {\ overline {{\ underline {\ phi }} ({\ underline {z}})}} \ rangle): {\ underline {y}} \ in H \} \ in \ {\ {({\ underline {y}}, \ langle {\ underline { y}}, {\ underline {x}} \ rangle): {\ underline {y}} \ in H \}: {\ underline {x}} \ in H \}}

\ underline {\ phi} = \ {(\ underline {y}, \ langle \ underline {y}, \ underline {z} \ overline {\ underline {\ phi} (\ underline {z})} \ rangle): \ underline {y} \ in H \} \ in \ {\ {(\ underline {y}, \ langle \ underline {y}, \ underline {x} \ rangle): \ underline {y} \ in H \} : \ underline {x} \ în H \}

Notă

^ W. Rudin , pagina 40 .
^ W. Rudin , pagina 41 .
^ W. Rudin , pagina 130 .
^ W. Rudin , pagina 131 .
^ Reed, Simon , Pagina 43
^ Reed, Simon , Pagina 44 .

Bibliografie

( EN ) Walter Rudin, Analiză reală și complexă , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1 .
( EN ) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis , ed. A II-a, San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6 .
( FR ) M. Fréchet (1907). Sur les ensembles de fonctions și les operations linéaires. Les Comptes rendus de l'Académie des sciences 144 , 1414–1416.
( FR ) F. Riesz (1907). Sur une espèce de géométrie analytique des systèmes de fonctions sommables. CR Acad. Sci. Paris 144 , 1409–1411.
( FR ) F. Riesz (1909). Sur les opérations fonctionnelles linéaires. CR Acad. Sci. Paris 149 , 974–977.
( EN ) JD Grey, The shaping of the Riesz représentation theorem: A chapter in the history of analysis, Archive for History in the Exact Sciences, Vol 31 (2) 1984–85, 127–187.
( EN ) P. Halmos Measure Theory , D. van Nostrand and Co., 1950.
( EN ) P. Halmos, A Hilbert Space Problem Book , Springer, New York 1982 (problema 3 conține versiunea pentru spații vectoriale cu sisteme de coordonate) .
( EN ) DG Hartig, Teorema reprezentării Riesz revizuită, American Mathematical Monthly , 90 (4), 277-280 (O prezentare teoretică a categoriei ca transformare naturală) .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Springer, teorema reprezentării Riesz , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
(EN) Eric W. Weisstein, Teorema reprezentării Riesz , în MathWorld Wolfram Research.
(EN) dovada teoremei reprezentării Riesz , în PlanetMath .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] W. Rudin , pagina 40 .

[2] W. Rudin , pagina 41 .

[3] W. Rudin , pagina 130 .

[4] W. Rudin , pagina 131 .

[5] Reed, Simon , Pagina 43

[6] Reed, Simon , Pagina 44 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]