Spațiul Hilbert

În matematică spațiul Hilbert este un spațiu vector care generalizează noțiunea de spațiu euclidian .

Au fost introduse de celebrul matematician David Hilbert la începutul secolului al XX-lea și au adus o contribuție imensă la dezvoltarea analizei funcționale și armonice . Interesul lor constă în conservarea unor proprietăți ale spațiilor euclidiene în spații cu funcții infinit-dimensionale. Datorită spațiilor Hilbert este posibilă formalizarea teoriei seriei Fourier și generalizarea acesteia la baze arbitrare.

Din punct de vedere euristic , un spațiu Hilbert este un set cu o structură liniară (spațiu vectorial) pe care este definit un produs scalar (prin urmare este posibil să vorbim despre distanțe , unghiuri , ortogonalitate ) și astfel încât completitudinea să fie garantată, adică orice secvență Cauchy admite un element al spațiului în sine ca limită . În aplicații, elementele vectori ale unui spațiu Hilbert sunt frecvent succesiuni de numere sau funcții complexe .

Este crucial în formalizarea matematică a mecanicii cuantice , unde o stare fizică poate fi reprezentată printr-un element ( vector sau ket ) sau printr-o combinație liniară adecvată de elemente din acel spațiu. Starea fizică conține informații care pot fi făcute explicite prin proiectarea stării ket pe o stare proprie a unui observabil . Această operație generează un element care aparține unui nou spațiu Hilbert (numit dual) care se numește funcție de undă . În spațiul Hilbert al ket, uneori sunt luate în considerare spațiile Hilbert mărite , care permit formalizarea atât a stărilor libere, cât și a celor legate prin teoria distribuțiilor .

Istorie

Spațiile Hilbert au fost introduse de David Hilbert în contextul ecuațiilor integrale ^[1] . John von Neumann a fost primul care a folosit numele der abstrakte Hilbertsche Raum (spațiul abstract al lui Hilbert) în faimoasa sa lucrare din 1929 despre operatori hermitieni nelimitați ^[2] . Von Neumann însuși a fost responsabil pentru înțelegerea importanței acestei structuri matematice, pe care a folosit-o pe larg în abordarea sa riguroasă a mecanicii cuantice ^[3] . La scurt timp, spațiul de nume al lui Hilbert a devenit utilizat pe scară largă în matematică ^[4] .

Definiție

Un spațiu Hilbert $\mathbf {H} =(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ ${\ displaystyle \ mathbf {H} = (H, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)}$ ${\ mathbf {H}} = (H, \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle)$ este un spațiu vectorial $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ real sau complex ^[5] pe care este definit un produs intern $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$ $\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle$ astfel încât, a spus $\mathrm {d}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d}}$ ${\ mathrm {d}}$ distanța indusă de $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$ $\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle$ pe $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ , spațiul metric $(H,\mathrm {d} )$ ${\ displaystyle (H, \ mathrm {d})}$ $(H, {\ mathrm {d}})$ este completă . Un spațiu Hilbert este deci un spațiu preilbertian , în care produsul interior definește o normă , prin care se definește o distanță care este de natură să facă spațiul complet.

A spus explicit $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ un spațiu vectorial pe câmpul real sau complex e $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$ $\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle$ un produs scalar (în cazul complex, o formă hermitiană ) definitiv pozitiv pe $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , atunci o normă este definită în mod natural $\|\cdot \|$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$ $\ | \ cdot \ |$ pe același spațiu prin plasarea:

\|v\|:={\sqrt {\langle v,v\rangle }}

{\ displaystyle \ | v \ |: = {\ sqrt {\ langle v, v \ rangle}}}

\ | v \ |: = {\ sqrt {\ langle v, v \ rangle}}

pentru fiecare vector $v\in V$ ${\ displaystyle v \ in V}$ $v \ în V$ . Cu această normă, spațiul are structura unui spațiu normat .

Poate fi asociat cu un spațiu reglementat $(V,\|\cdot \|)$ ${\ displaystyle (V, \ | \ cdot \ |)}$ $(V, \ | \ cdot \ |)$ o structură metrică naturală, obținută prin definirea distanței $\mathrm {d}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d}}$ ${\ mathrm {d}}$ ca:

\mathrm {d} (u,v):=\|u-v\|

{\ displaystyle \ mathrm {d} (u, v): = \ | uv \ |}

{\ mathrm {d}} (u, v): = \ | u-v \ |

pentru fiecare

u,\,v\in V

{\ displaystyle u, \, v \ în V}

u, \, v \ în V

Conform identificării obișnuite a unui spațiu vectorial cu un spațiu afinar construit luând vectorii înșiși ca puncte, norma diferenței lor este poziționată ca distanța dintre doi vectori. În cazul în care norma derivă dintr-un produs scalar, se menține, prin urmare, următoarea egalitate:

\mathrm {d} (u,v)={\sqrt {\langle u-v,u-v\rangle }}

{\ displaystyle \ mathrm {d} (u, v) = {\ sqrt {\ langle uv, uv \ rangle}}}

{\ mathrm {d}} (u, v) = {\ sqrt {\ langle u-v, u-v \ rangle}}

Prezența unui produs scalar oferă modalitatea de a defini în general unele noțiuni proprii sferei spațiilor Hilbert. Având în vedere doi vectori $u,\,v\in H$ ${\ displaystyle u, \, v \ în H}$ $u, \, v \ în H$ , puteți defini unghiul $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ format de ei prin relația:

\cos {\theta }={\frac {\langle u,v\rangle }{\|u\|\,\|v\|}}

{\ displaystyle \ cos {\ theta} = {\ frac {\ langle u, v \ rangle} {\ | u \ | \, \ | v \ |}}}

\ cos {\ theta} = {\ frac {\ langle u, v \ rangle} {\ | u \ | \, \ | v \ |}}

În concordanță cu definiția anterioară, având în vedere orice set $K\subset H$ ${\ displaystyle K \ subset H}$ $K \ subset H$ , definim complementul ortogonal al lui $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ ca subspatiu :

K^{\perp }=\{v\in H\ |\langle u,v\rangle =0\ \forall u\in K\}

{\ displaystyle K ^ {\ perp} = \ {v \ in H \ | \ langle u, v \ rangle = 0 \ \ forall u \ in K \}}

K ^ {\ perp} = \ {v \ in H \ | \ langle u, v \ rangle = 0 \ \ forall u \ in K \}

În special, doi vectori $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ Și $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ se numesc ortogonali dacă $\langle u,v\rangle =0$ ${\ displaystyle \ langle u, v \ rangle = 0}$ $\ langle u, v \ rangle = 0$ , adică dacă unul se află în complementul ortogonal al celuilalt. Mai mult, o familie de vectori se numește ortonormală dacă vectorii care o compun sunt ortogonali doi câte doi și au norma 1.

Având în vedere doi vectori $v,e\in H$ ${\ displaystyle v și \ în H}$ $v și \ în H$ , definim componenta $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ lung $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ urcare $\langle v,e\rangle$ ${\ displaystyle \ langle v și \ rangle}$ $\ langle v și \ rangle$ , și proiecția lui $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ pe $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ vectorul ${\frac {\langle v,e\rangle }{\langle e,e\rangle }}\,e$ ${\ displaystyle {\ frac {\ langle v, e \ rangle} {\ langle e, e \ rangle}} \, e}$ ${\ frac {\ langle v, e \ rangle} {\ langle e, e \ rangle}} \ și$ .

Proprietate

Următoarele proprietăți, valabile pentru spațiile euclidiene , se extind și la spațiile Hilbert.

Inegalitatea Cauchy-Schwarz deține :

|\left\langle v,w\right\rangle |^{2}\leq \left\langle v,v\right\rangle \left\langle w,w\right\rangle

{\ displaystyle | \ left \ langle v, w \ right \ rangle | ^ {2} \ leq \ left \ langle v, v \ right \ rangle \ left \ langle w, w \ right \ rangle}

| \ left \ langle v, w \ right \ rangle | ^ {2} \ leq \ left \ langle v, v \ right \ rangle \ left \ langle w, w \ right \ rangle

Norma indusă de produsul punct satisface identitatea paralelogramului :

\|v+w\|^{2}+\|v-w\|^{2}=2\|v\|^{2}+2\|w\|^{2}

{\ displaystyle \ | v + w \ | ^ {2} + \ | vw \ | ^ {2} = 2 \ | v \ | ^ {2} +2 \ | w \ | ^ {2}}

\ | v + w \ | ^ {2} + \ | v-w \ | ^ {2} = 2 \ | v \ | ^ {2} +2 \ | w \ | ^ {2}

Teorema lui Pitagora (sub numele de identitate al lui Parseval ) este valabilă , adică dacă $\{v_{k}\}$ ${\ displaystyle \ {v_ {k} \}}$ $\ {v_ {k} \}$ este o secvență de doi câte doi vectori ortogonali pe care îi avem:

\left\|\sum _{k=1}^{\infty }v_{k}\right\|^{2}=\sum _{k=1}^{\infty }\|v_{k}\|^{2}

{\ displaystyle \ left \ | \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} v_ {k} \ right \ | ^ {2} = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ | v_ { k} \ | ^ {2}}

{\ displaystyle \ left \ | \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} v_ {k} \ right \ | ^ {2} = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ | v_ { k} \ | ^ {2}}

Pentru spațiile Hilbert pe complexe, identitatea polarizării deține:

\langle v,w\rangle ={\frac {1}{4}}\left(||v+w||^{2}-||v-w||^{2}+i||v+iw||^{2}-i||v-iw||^{2}\right)

{\ displaystyle \ langle v, w \ rangle = {\ frac {1} {4}} \ left (|| v + w || ^ {2} - || vw || ^ {2} + i || v + iw || ^ {2} -i || v-iw || ^ {2} \ right)}

{\ displaystyle \ langle v, w \ rangle = {\ frac {1} {4}} \ left (|| v + w || ^ {2} - || vw || ^ {2} + i || v + iw || ^ {2} -i || v-iw || ^ {2} \ right)}

ATENŢIE! Convențiile folosite de fizicieni și matematicieni pentru produsul scalar complex nu sunt de acord

(ax, by) = ab * (x, y) pentru matematicieni în timp ce (ax, by) = a * b (x, y) pentru fizicieni (asteriscul indică complexul conjugat).

Această discrepanță se datorează formalismelor bra-ket ale lui Paul Dirac utilizate în mecanica cuantică.

Deci, conform convenției sale, identitatea de polarizare devine

\langle v,w\rangle ={\frac {1}{4}}\left(||v+w||^{2}-||v-w||^{2}-i||v+iw||^{2}+i||v-iw||^{2}\right)

{\ displaystyle \ langle v, w \ rangle = {\ frac {1} {4}} \ left (|| v + w || ^ {2} - || vw || ^ {2} -i || v + iw || ^ {2} + i || v-iw || ^ {2} \ right)}

{\ displaystyle \ langle v, w \ rangle = {\ frac {1} {4}} \ left (|| v + w || ^ {2} - || vw || ^ {2} -i || v + iw || ^ {2} + i || v-iw || ^ {2} \ right)}

Inegalitatea Bessel este valabilă , adică dacă $\{e_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {e_ {n} \}}$ $\ {e_ {n} \}$ este un set numărabil de vectori ortonormali, apoi pentru fiecare $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ este valabil:

\langle v,v\rangle =\|v\|^{2}\geq \sum _{k=1}^{\infty }|\langle v,e_{k}\rangle |^{2}

{\ displaystyle \ langle v, v \ rangle = \ | v \ | ^ {2} \ geq \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} | \ langle v, e_ {k} \ rangle | ^ {2 }}

\ langle v, v \ rangle = \ | v \ | ^ {2} \ geq \ sum _ {{k = 1}} ^ {{\ infty}} | \ langle v, e_ {k} \ rangle | ^ { 2}

Fiecare spațiu Hilbert este, desigur, un spațiu Banach . În schimb, un spațiu Banach este, de asemenea, al lui Hilbert dacă și numai dacă norma sa este indusă de un produs scalar sau, echivalent, dacă este auto- dual (adică, dacă poate fi identificat cu spațiul său dual ).
Fiecare spațiu Hilbert are o bază ortonormală , numită de obicei baza Hilbert. O astfel de bază este un set de vectori ortonormali, care generează un subspatiu dens în $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ .

Spații Hilbert separate

Se spune că un spațiu topologic este separabil dacă conține un subset dens și numărabil . Spațiile Hilbert cu dimensiuni finite sunt întotdeauna separabile. Pe de altă parte, în cazul dimensional infinit, există atât exemple de spații separabile, cât și spații nedespărțite. Primele sunt de mare interes pentru aplicații și pe ele s-a construit o teorie destul de bogată. Se poate spune informal că, printre spațiile dimensionale infinite, spațiile Hilbert separabile sunt cele care seamănă cel mai mult cu spațiile dimensionale finite și, prin urmare, sunt mai ușor de studiat.

Un spațiu Hilbert $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ este separabil dacă și numai dacă are o bază ortonormală $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ de cardinalitate finită sau numărabilă. De sine $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ are $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ elemente atunci $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ este izomorfă la $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ R ^ n$ sau $\mathbb {C} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ mathbb C} ^ {n}$ . De sine $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ are atunci o infinitate de elemente numărabilă $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ este izomorf pentru spațiu $l_{2}$ ${\ displaystyle l_ {2}}$ $l_ {2}$ .

O bază ortonormală este obținută prin aplicarea algoritmului Gram-Schmidt la un set dens numărabil. Invers, subspatiul generat de o baza ortonormala este un set dens in spatiul Hilbert. Într-un spațiu Hilbert prevăzut cu o bază Hilbert $\{e_{i}\}$ ${\ displaystyle \ {e_ {i} \}}$ $\ {e_ {i} \}$ contabil este posibil să se exprime fiecare vector, normă sau produs scalar ca suma unei serii convergente:

v=\sum _{i=1}^{\infty }\langle v,e_{i}\rangle e_{i}\qquad \|v\|^{2}=\sum _{i=1}^{\infty }|\langle v,e_{i}\rangle |^{2}\qquad \langle v,w\rangle =\sum _{i=1}^{\infty }\langle v,e_{i}\rangle \langle e_{i},w\rangle

{\ displaystyle v = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ langle v, e_ {i} \ rangle e_ {i} \ qquad \ | v \ | ^ {2} = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} | \ langle v, e_ {i} \ rangle | ^ {2} \ qquad \ langle v, w \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {\ infty} \ langle v, e_ {i} \ rangle \ langle e_ {i}, w \ rangle}

v = \ sum _ {{i = 1}} ^ {\ infty} \ langle v, e_ {i} \ rangle e_ {i} \ qquad \ | v \ | ^ {2} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {\ infty} | \ langle v, e_ {i} \ rangle | ^ {2} \ qquad \ langle v, w \ rangle = \ sum _ {{i = 1}} ^ {\ infty} \ langle v, e_ {i} \ rangle \ langle e_ {i}, w \ rangle

Exemple

Spații Hilbert de dimensiune finită

Spațiul vectorial $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ a vectorilor numerelor reale:

{\vec {a}}=(a_{1},a_{2},...,a_{n})

{\ displaystyle {\ vec {a}} = (a_ {1}, a_ {2}, ..., a_ {n})}

{\ vec a} = (a_ {1}, a_ {2}, ..., a_ {n})

cu produsul punct euclidian :

\left\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\right\rangle =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}

{\ displaystyle \ left \ langle {\ vec {a}}, {\ vec {b}} \ right \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} b_ {i}}

\ left \ langle {\ vec a}, {\ vec b} \ right \ rangle = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} a_ {i} b_ {i}

este un spațiu Hilbert real de dimensiune finită

n

{\ displaystyle n}

n

, numit spațiu euclidian

n

{\ displaystyle n}

n

-dimensional.

Spațiul vectorial $\mathbb {C} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ $\ mathbb {C} ^ {n}$ a vectorilor numerelor complexe:

{\vec {a}}=(a_{1},a_{2},...,a_{n})

{\ displaystyle {\ vec {a}} = (a_ {1}, a_ {2}, ..., a_ {n})}

{\ vec a} = (a_ {1}, a_ {2}, ..., a_ {n})

echipat cu forma standard Hermitian:

\left\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\right\rangle =\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{*}b_{i}

{\ displaystyle \ left \ langle {\ vec {a}}, {\ vec {b}} \ right \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} ^ {*} b_ {i }}

\ left \ langle {\ vec a}, {\ vec b} \ right \ rangle = \ sum _ {{i = 1}} ^ {{n}} a_ {i} ^ {{*}} b _ {{ i}}

este un spațiu Hilbert complex de dimensiune finită

n

{\ displaystyle n}

n

.

Secvențe rezumabile pătrate

Același subiect în detaliu: Spațiul l2 .

Spațiul secvențelor numerelor reale pătrat integrabil:

l^{2}(\mathbb {R} )=\left\{(x_{n})_{n\in \mathbb {N} },x_{i}\in \mathbb {R} \ {\Bigg |}\ \sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}|^{2}<\infty \right\}

{\ displaystyle l ^ {2} (\ mathbb {R}) = \ left \ {(x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}, x_ {i} \ in \ mathbb {R} \ {\ Bigg |} \ \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} | x_ {k} | ^ {2} <\ infty \ right \}}

l ^ {2} ({\ mathbb {R}}) = \ left \ {(x_ {n}) _ {{n \ in {\ mathbb N}}}, x_ {i} \ in {\ mathbb {R }} \ {\ Bigg |} \ \ sum _ {{k = 1}} ^ {{\ infty}} | x_ {k} | ^ {2} <\ infty \ right \}

echipat cu produsul scalar :

\langle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }|(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }\rangle =\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}y_{k}

{\ displaystyle \ langle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}} | (y_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}} \ rangle = \ sum _ {k = 1 } ^ {\ infty} x_ {k} y_ {k}}

\ langle (x_ {n}) _ {{n \ in {\ mathbb N}}} | (y_ {n}) _ {{n \ in {\ mathbb N}}} \ rangle = \ sum _ {{k = 1}} ^ {{\ infty}} x _ {{k}} y_ {k}

este un spațiu Hilbert separabil de dimensiune infinită. Același lucru este valabil și pentru analogul complex:

l^{2}(\mathbb {C} )=\left\{(x_{n})_{n\in \mathbb {N} },x_{i}\in \mathbb {C} \ {\Bigg |}\ \sum _{k=1}^{\infty }|x_{k}|^{2}<\infty \right\}

{\ displaystyle l ^ {2} (\ mathbb {C}) = \ left \ {(x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}, x_ {i} \ in \ mathbb {C} \ {\ Bigg |} \ \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} | x_ {k} | ^ {2} <\ infty \ right \}}

l ^ {2} ({\ mathbb {C}}) = \ left \ {(x_ {n}) _ {{n \ in {\ mathbb N}}}, x_ {i} \ in {\ mathbb {C }} \ {\ Bigg |} \ \ sum _ {{k = 1}} ^ {{\ infty}} | x_ {k} | ^ {2} <\ infty \ right \}

dotat cu produsul Hermitian :

\langle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }|(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }\rangle =\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}^{*}y_{k}

{\ displaystyle \ langle (x_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}} | (y_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}} \ rangle = \ sum _ {k = 1 } ^ {\ infty} x_ {k} ^ {*} y_ {k}}

\ langle (x_ {n}) _ {{n \ in {\ mathbb N}}} | (y_ {n}) _ {{n \ in {\ mathbb N}}} \ rangle = \ sum _ {{k = 1}} ^ {{\ infty}} x _ {{k}} ^ {{*}} y_ {k}

Spațiul L²

Același subiect în detaliu: Sumable Square Function și Space Lp .

Spaţiu $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ a funcțiilor măsurabile $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ pe o deschidere $A\subset \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle A \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ $A \ subset {\ mathbb {R}} ^ {n}$ , cu valori complexe și cu valori pătrate sumabile :

V=\left\{f:A\longrightarrow \mathbb {C} \ {\Bigg |}\ \int _{A}|f(x)|^{2}dx<\infty \right\}

{\ displaystyle V = \ left \ {f: A \ longrightarrow \ mathbb {C} \ {\ Bigg |} \ \ int _ {A} | f (x) | ^ {2} dx <\ infty \ right \} }

V = \ left \ {f: A \ longrightarrow {\ mathbb {C}} \ {\ Bigg |} \ \ int _ {{A}} | f (x) | ^ {2} dx <\ infty \ right \ }

este un spațiu vectorial complex și forma:

\langle f,g\rangle =\int _{A}f(x)^{*}g(x)dx

{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {A} f (x) ^ {*} g (x) dx}

\ langle f, g \ rangle = \ int _ {{A}} f (x) ^ {*} g (x) dx

este Hermitian . Cu toate acestea, acest spațiu nu este al lui Hilbert, deoarece forma hermitiană este doar semi-definită pozitivă : există de fapt funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ nu nul, dar astfel încât $\langle f,f\rangle$ ${\ displaystyle \ langle f, f \ rangle}$ $\ langle f, f \ rangle$ este nul. De exemplu, o funcție care valorează 1 pe un punct fix de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și 0 în toate celelalte puncte ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ are această proprietate (mai general, integralul unei funcții care este 0 dintr-un set de măsuri zero are o integrală nulă).

Pentru a depăși această problemă, spațiul este definit ca coeficient de $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ prin relația de echivalență care identifică două funcții măsurabile dacă diferă doar pe un set de măsuri zero. Proiecția formei hermitiene $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$ $\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle$ pe acest spațiu este pozitiv definit, iar structura rezultată este un spațiu Hilbert, care este notat cu $L^{2}(A,\mathbb {C} )$ ${\ displaystyle L ^ {2} (A, \ mathbb {C})}$ $L ^ {2} (A, {\ mathbb C})$ .

Spații Sobolev

Elementele $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ nu sunt, în general, funcții continue. Din acest motiv nu este posibil să-i definim direct derivata, care trebuie deci definită într-un mod diferit. Spațiul funcțiilor slab diferențiate $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ uneori este indicat prin $H^{k}(A)$ ${\ displaystyle H ^ {k} (A)}$ $H ^ {k} (A)$ . Teoria spațiilor lui Sobolev tratează aceste tipuri de spații.

Notă

^ Pentru o introducere istorică mai detaliată a contextului intelectual în care s-au născut ideile care au dat naștere studiului lui Hilbert asupra spațiilor , vezi Boyer History of Mathematics cap. 27 și 28.
^ von Neumann J. Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren .
^ În abordarea lui von Neumann, mecanica cuantică este studiată folosind C ^* -algebre . Cu toate acestea, fiecare C ^* -algebră este o subalgebră a algebrei operatorilor mărginite pe un spațiu Hilbert. De aici și importanța unor astfel de spații în acest context. Interesant este că această abordare a mecanicii cuantice a fost inițiată de von Neumann chiar împreună cu Hilbert.
^ După Von Neumann, una dintre cele mai vechi utilizări documentate ale numelui spațiului Hilbert se găsește în Weyl, Theory of Groups and Quantum Mechanics .
^ Din motive de simplitate, prezența operațiilor de adunare și multiplicare de către scalari tipici unui spațiu vectorial sunt omise în definiție și identificăm $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ cu chiar setul pe care este construit spațiul vectorial.

Bibliografie

( EN ) Carl B. Boyer, History of Mathematics , ediția a II-a, New York, John Wiley & Sons , 1989, ISBN 0-471-54397-7 .
( EN ) Jean Dieudonné, Fundamentele analizei moderne , Academic Press, 1960.
( EN ) Avner Friedman, Foundations of Modern Analysis , New York, Courier Dover Publications, 1982 [1970] , ISBN 0-486-64062-0 .
( DE ) John von Neumann , Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren , în Mathematische Annalen , vol. 102, 1929, pp. 49-131.
( EN ) Hermann Weyl , Theory of Groups and Quantum Mechanics , editat de Dover Press, 1950 [1931] , ISBN 0-486-60269-9 .
( EN ) Walter Rudin, Analiză reală și complexă , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill , 1970, ISBN 0-07-054234-1 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Spațiul lui Hilbert , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
( EN ) BM Levitan, spațiul Hilbert , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
(RO) Spațiul Hilbert la Mathworld , pe mathworld.wolfram.com.
( EN ) 245B, note 5: Spații Hilbert de Terence Tao

Controlul autorității	Tesauro BNCF 38484 · LCCN (EN) sh85060803 · GND (DE) 4159850-7 · BNF (FR) cb11979628h (dată) · BNE (ES) XX531621 (dată) · NDL (EN, JA) 00.563.198

Portalul de fizică

Portalul de matematică

[1] Pentru o introducere istorică mai detaliată a contextului intelectual în care s-au născut ideile care au dat naștere studiului lui Hilbert asupra spațiilor , vezi Boyer History of Mathematics cap. 27 și 28.

[2] von Neumann J. Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Funktionaloperatoren .

[3] În abordarea lui von Neumann, mecanica cuantică este studiată folosind C ^* -algebre . Cu toate acestea, fiecare C ^* -algebră este o subalgebră a algebrei operatorilor mărginite pe un spațiu Hilbert. De aici și importanța unor astfel de spații în acest context. Interesant este că această abordare a mecanicii cuantice a fost inițiată de von Neumann chiar împreună cu Hilbert.

[4] După Von Neumann, una dintre cele mai vechi utilizări documentate ale numelui spațiului Hilbert se găsește în Weyl, Theory of Groups and Quantum Mechanics .

[5] Din motive de simplitate, prezența operațiilor de adunare și multiplicare de către scalari tipici unui spațiu vectorial sunt omise în definiție și identificăm $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ cu chiar setul pe care este construit spațiul vectorial.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]