Baza ortonormală

În matematică și mai precis în algebră liniară , o bază ortonormală a unui spațiu vectorial cu un produs scalar pozitiv definit este o bază compusă din vectori de normă unitară și ortogonali între ei, adică o bază ortogonală a vectorilor din norma unu.

O bază ortogonală este o bază de vectori ortogonali în raport cu produsul scalar definit pe spațiul vectorial, nu neapărat definit ca pozitiv. Aceasta este o condiție mai puțin restrictivă decât cea a ortonormalizării și, de obicei, bazele ortonormale sunt construite pornind de la baze ortogonale.

Conceptele de bază ortonormale și ortogonale generalizează noțiunea de sistem de referință în plan cartezian și fac posibilă definirea axelor perpendiculare și, prin urmare, un sistem de referință care atribuie coordonate fiecărui punct al unui spațiu vectorial cu dimensiune arbitrară.

Definiție

Este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ un spațiu vectorial cu dimensiuni finite pe teren $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , în care este definit un produs scalar . O bază ortogonală pentru $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este o bază compusă din vectori $\mathbf {v} _{1}\cdots \mathbf {v} _{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1} \ cdots \ mathbf {v} _ {n}}$ ${\ mathbf v} _ {1} \ cdots {\ mathbf v} _ {n}$ două câte două ortogonale, adică astfel încât: ^[1]

\langle \mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{j}\rangle =0\quad i\neq j

{\ displaystyle \ langle \ mathbf {v} _ {i}, \ mathbf {v} _ {j} \ rangle = 0 \ quad i \ neq j}

\ langle {\ mathbf v} _ {i}, {\ mathbf v} _ {j} \ rangle = 0 \ quad i \ neq j

Să stabilim produsul punct pozitiv definit. O bază ortonormală este o bază ortogonală în care fiecare vector are o normă , adică astfel încât: ^[2]

\langle \mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{j}\rangle =\delta _{ij}

{\ displaystyle \ langle \ mathbf {v} _ {i}, \ mathbf {v} _ {j} \ rangle = \ delta _ {ij}}

\ langle {\ mathbf v} _ {i}, {\ mathbf v} _ {j} \ rangle = \ delta _ {{ij}}

unde este $\delta _{ij}$ ${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$ $\ delta_ {ij}$ indică delta Kronecker .

Această noțiune se generalizează într-un spațiu Hilbert $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ (care poate fi real sau complex și cu dimensiune finită sau infinită) în felul următor: o bază ortonormală este un set de vectori independenți , ortogonali și normal 1, care generează un subspatiu dens în $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ . O astfel de bază este adesea numită bază Hilbert și poate fi numărată dacă și numai dacă spațiul este separabil .

De sine $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este o bază ortogonală a $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , fiecare element $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ poate fi scris în mod unic ca:

\mathbf {x} =\sum _{\mathbf {v} _{i}\in B}{\langle \mathbf {x} ,\mathbf {v} _{i}\rangle  \over \lVert \mathbf {v} _{i}\rVert ^{2}}\mathbf {v} _{i}

{\ displaystyle \ mathbf {x} = \ sum _ {\ mathbf {v} _ {i} \ în B} {\ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {v} _ {i} \ rangle \ over \ lVert \ mathbf {v} _ {i} \ rVert ^ {2}} \ mathbf {v} _ {i}}

{\ mathbf x} = \ sum _ {{{\ mathbf v} _ {i} \ în B}} {\ langle {\ mathbf x}, {\ mathbf v} _ {i} \ rangle \ over \ lVert { \ mathbf v} _ {i} \ rVert ^ {2}} {\ mathbf v} _ {i}

și numărul:

c={\langle \mathbf {x} ,\mathbf {v} _{i}\rangle  \over \lVert \mathbf {v} _{i}\rVert ^{2}}

{\ displaystyle c = {\ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {v} _ {i} \ rangle \ over \ lVert \ mathbf {v} _ {i} \ rVert ^ {2}}}

c = {\ langle {\ mathbf x}, {\ mathbf v} _ {i} \ rangle \ over \ lVert {\ mathbf v} _ {i} \ rVert ^ {2}}

se numește coeficientul Fourier al $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ în raport cu vectorul de bază $\mathbf {v} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {i}}$ ${\ mathbf v} _ {i}$ . ^[3]

De sine $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este o bază ortonormală pe care o avem:

\mathbf {x} =\sum _{\mathbf {v} _{i}\in B}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {v} _{i}\rangle \mathbf {v} _{i}

{\ displaystyle \ mathbf {x} = \ sum _ {\ mathbf {v} _ {i} \ in B} \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {v} _ {i} \ rangle \ mathbf {v} _ {the}}

{\ mathbf x} = \ sum _ {{{\ mathbf v} _ {i} \ in B}} \ langle {\ mathbf x}, {\ mathbf v} _ {i} \ rangle {\ mathbf v} _ {the}

Norma de $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ este deci dat de: ^[4]

\|\mathbf {x} \|^{2}=\sum _{\mathbf {v} _{i}\in B}|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {v} _{i}\rangle |^{2}

{\ displaystyle \ | \ mathbf {x} \ | ^ {2} = \ sum _ {\ mathbf {v} _ {i} \ in B} | \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {v} _ { i} \ rangle | ^ {2}}

\ | {\ mathbf x} \ | ^ {2} = \ sum _ {{{\ mathbf v} _ {i} \ in B}} | \ langle {\ mathbf x}, {\ mathbf v} _ {i } \ rangle | ^ {2}

De sine $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este o bază ortonormală a $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , asa de $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este izomorfă la $\ell ^{2}(B)$ ${\ displaystyle \ ell ^ {2} (B)}$ $\ ell ^ {2} (B)$ în sensul că există o hartă liniară și unu-la-unu $\Phi :V\to \ell ^{2}(B)$ ${\ displaystyle \ Phi: V \ to \ ell ^ {2} (B)}$ $\ Phi: V \ to \ ell ^ {2} (B)$ astfel încât:

\langle \Phi (\mathbf {x} ),\Phi (\mathbf {y} )\rangle =\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle

{\ displaystyle \ langle \ Phi (\ mathbf {x}), \ Phi (\ mathbf {y}) \ rangle = \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle}

\ langle \ Phi ({\ mathbf x}), \ Phi ({\ mathbf y}) \ rangle = \ langle {\ mathbf x}, {\ mathbf y} \ rangle

pentru fiecare pereche de vectori $\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x}}$ $\ mathbf x$ Și $\mathbf {y}$ ${\ displaystyle \ mathbf {y}}$ ${\ mathbf y}$ din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ .

Dacă baza vectorilor ortonormali $\mathbf {v} _{1}\cdots \mathbf {v} _{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1} \ cdots \ mathbf {v} _ {n}}$ ${\ mathbf v} _ {1} \ cdots {\ mathbf v} _ {n}$ considerat nu este conținut în niciun alt sistem ortonormal, atunci avem un sistem ortonormal complet.

Proprietate

Fiecare spațiu vectorial dimensional finit, dotat cu un produs scalar, are baze ortogonale datorită teoremei lui Sylvester . În special, fiecare spațiu euclidian are baze ortonormale care pot fi obținute datorită algoritmului de ortogonalizare Gram-Schmidt . Din fiecare bază ortogonală este posibil să se obțină o bază ortonormală prin normalizarea (împărțirea) componentelor bazei la norma lor. De exemplu, dacă baza $\{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {v} _ {1}, \ mathbf {v} _ {2} \}}$ $\ {{\ mathbf v} _ {1}, {\ mathbf v} _ {2} \}$ baza este ortogonală $\{\mathbf {v} _{1}/|\mathbf {v} _{1}|,\mathbf {v} _{2}/|\mathbf {v} _{2}|\}$ ${\ displaystyle \ {\ mathbf {v} _ {1} / | \ mathbf {v} _ {1} |, \ mathbf {v} _ {2} / | \ mathbf {v} _ {2} | \} }$ $\ {{\ mathbf v} _ {1} / | {\ mathbf v} _ {1} |, {\ mathbf v} _ {2} / | {\ mathbf v} _ {2} | \}$ este ortonormal.

O matrice de schimbare a bazelor între bazele ortonormale este o matrice ortogonală .

De sine $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este o bază ortonormală a unui spațiu Hilbert $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , fiecare element $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este scris în mod unic ca:

\mathbf {v} =\sum _{\mathbf {b} \in B}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {b} \rangle \mathbf {b}

{\ displaystyle \ mathbf {v} = \ sum _ {\ mathbf {b} \ in B} \ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {b} \ rangle \ mathbf {b}}

{\ mathbf v} = \ sum _ {{{mathbf b} \ în B}} \ langle {\ mathbf v}, {\ mathbf b} \ rangle {\ mathbf b}

și norma de $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ este dat de identitatea lui Parseval :

\|\mathbf {v} \|^{2}=\sum _{\mathbf {b} \in B}|\langle \mathbf {v} ,\mathbf {b} \rangle |^{2}

{\ displaystyle \ | \ mathbf {v} \ | ^ {2} = \ sum _ {\ mathbf {b} \ in B} | \ langle \ mathbf {v}, \ mathbf {b} \ rangle | ^ {2 }}

\ | {\ mathbf v} \ | ^ {2} = \ sum _ {{{mathbf b} \ in B}} | \ langle {\ mathbf v}, {\ mathbf b} \ rangle | ^ {2}

În plus, produsul scalar dintre doi vectori este dat de:

\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\sum _{\mathbf {b} \in B}\langle \mathbf {x} ,\mathbf {b} \rangle \langle \mathbf {b} ,\mathbf {y} \rangle

{\ displaystyle \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {y} \ rangle = \ sum _ {\ mathbf {b} \ in B} \ langle \ mathbf {x}, \ mathbf {b} \ rangle \ langle \ mathbf {b}, \ mathbf {y} \ rangle}

\ langle {\ mathbf x}, {\ mathbf y} \ rangle = \ sum _ {{{mathbf b} \ în B}} \ langle {\ mathbf x}, {\ mathbf b} \ rangle \ langle {\ mathbf b}, {\ mathbf y} \ rangle

Aceste expresii au totuși sens $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este de nenumărat : în acest caz, numai un set numărabil de addende este diferit de zero. Seriile Fourier sunt un exemplu.

Exemple

Întregul $\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}$ ${\ displaystyle \ {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) \}}$ $\ {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) \}$ constituie o bază ortonormală (deci și ortogonală) a $\mathbb {R} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ $\ mathbb {R} ^ {3}$ comparativ cu produsul scalar standard ; în general, baza canonică a $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb R ^ n$ sunt baze ortonormale.
Întregul $\{f_{n}:n\in \mathbb {Z} \}$ ${\ displaystyle \ {f_ {n}: n \ in \ mathbb {Z} \}}$ $\ {f_ {n}: n \ in \ mathbb {Z} \}$ cu $f_{n}(x)=e^{2\pi inx}$ ${\ displaystyle f_ {n} (x) = e ^ {2 \ pi inx}}$ $f_ {n} (x) = e ^ {{2 \ pi inx}}$ constituie o bază ortonormală a spațiului complex $L^{2}([0,1])$ ${\ displaystyle L ^ {2} ([0,1])}$ $L ^ {2} ([0,1])$ . Acest lucru este de o importanță fundamentală în studiul seriei Fourier .
Întregul $\{e_{b}:b\in B\}$ ${\ displaystyle \ {e_ {b}: b \ în B \}}$ $\ {e_ {b}: b \ în B \}$ cu $e_{b}(c)=1$ ${\ displaystyle e_ {b} (c) = 1}$ $e_ {b} (c) = 1$ de sine $b=c$ ${\ displaystyle b = c}$ $b = c$ Și $e_{b}(c)=0$ ${\ displaystyle e_ {b} (c) = 0}$ $e_ {b} (c) = 0$ altfel formează o bază ortonormală a $l^{2}(B)$ ${\ displaystyle l ^ {2} (B)}$ $l ^ {2} (B)$ .

Notă

^ Lang , p. 151 .
^ Lang , p. 155 .
^ Lang , p. 152 .
^ Lang , p. 154 .

Bibliografie

Serge Lang, Algebra liniară , Torino, Bollati Boringhieri , 1992, ISBN 88-339-5035-2 .
( EN ) David C. Lay, Algebra liniară și aplicațiile sale , ediția a III-a, Addison - Wesley, 2006, ISBN 0-321-28713-4 .
( EN ) Gilbert Strang, Algebra liniară și aplicațiile sale , ediția a IV-a, Brooks Cole, 2006, ISBN 0-03-010567-6 .
( EN ) Sheldon Axler, Algebra Linear Done Right , ediția a II-a, Springer, 2002, ISBN 0-387-98258-2 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Lang , p. 151 .

[2] Lang , p. 155 .

[3] Lang , p. 152 .

[4] Lang , p. 154 .

[1]

[2]

[3]

[4]

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema