Spațiu separat

În matematică , și mai exact în topologie , un spațiu topologic este separabil dacă conține un subgrup numeros și dens . ^[1]

Spațiile utilizate în general în analiza matematică și în geometrie sunt separabile: de exemplu, linia reală este separabilă, deoarece conține numerele raționale , care sunt un subset dens și numărabil.

În același mod în care numerele reale pot fi aproximate, cu precizia dorită, cu numere raționale, astfel încât un spațiu separabil are subseturi numărabile, prin care se poate ajunge cât mai aproape de fiecare dintre elementele sale, în sensul unei matematice limita .

Definiție

Un spațiu topologic $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ se spune că este separabil dacă există un subgrup numeros și dens în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , acesta este:

${\overline {\{x_{n}\in X,n=1,2,\ldots \}}}=X$ ${\ displaystyle {\ overline {\ {x_ {n} \ în X, n = 1,2, \ ldots \}}} = X}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ {x_ {n} \ în X, n = 1,2, \ ldots \}}} = X}$ . ^[2]

Exemple

Un spațiu discret este separabil dacă și numai dacă este numărabil.
Numerele reale $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ cu topologia obișnuită formează un spațiu separabil: întregul $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ al numerelor raționale este un subset dens și numărabil. Mai general, un spațiu euclidian $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ este separabil, deoarece conține întregul $\mathbb {Q} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ^ {n}}$ dens și numărabil.
Spațiul funcțiilor continue pe interval $[0,1]$ ${\ displaystyle [0,1]}$ $[0,1]$ cu metrica convergenței uniforme este separabilă: polinoamele cu coeficienți raționali formează un subset dens și numărabil (teorema de aproximare a Weierstrass ).
Un spațiu Hilbert este separabil dacă și numai dacă are o bază ortonormală numărabilă.

Proprietate

Imaginea unui spațiu care poate fi separat printr-o funcție continuă este separabilă. Prin urmare, spațiul coeficient al unui spațiu separabil este separabil.
Produsul unei cantități numărabile de spații separabile este separabil.
Este posibil ca un subspațiu al unui spațiu separabil să nu fie separabil. De fapt, fiecare spațiu nedespărțit este conținut într-un spațiu separabil: este suficient să adăugați un punct spațiului nedespărțit și să impuneți că închiderea acestuia este întregul spațiu.
Pe de altă parte, fiecare sub spațiu deschis al unui spațiu separabil este separabil și fiecare sub spațiu al unui spațiu metric separabil este separabil ^[3] .
Cardinalitatea unui spațiu Hausdorff separabil este cel mult $2^{C}$ ${\ displaystyle 2 ^ {C}}$ ${\ displaystyle 2 ^ {C}}$ , unde este $C=\operatorname {card} (\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle C = \ operatorname {card} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle C = \ operatorname {card} (\ mathbb {R})}$ .
Setul tuturor funcțiilor continue cu valori în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ pe un spațiu separabil are cel mult cardinalitate $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ .

Notă

^ H. Brezis, p. 72.
^ Fabio Ortolani, Note despre metodele matematice , Universitatea din Bologna, p. 138.
^ Orice subspațiu al unui spațiu metric separabil este separabil | alanmath

Bibliografie

Haïm Brezis , Analiza funcțională - Teorie și aplicații , Napoli, Liguori, 1990, ISBN 88-207-1501-5 .

Elemente conexe

Axioma separării

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] H. Brezis, p. 72.

[2] Fabio Ortolani, Note despre metodele matematice , Universitatea din Bologna, p. 138.

[3] Orice subspațiu al unui spațiu metric separabil este separabil | alanmath

[1]

[2]

[3]