Secvența funcțiilor

În matematică, o secvență de funcții este o secvență ai cărei termeni sunt funcții .

Definirea unei limite adecvate pentru o succesiune de funcții este un subiect important al analizei funcționale . În special, pentru secvențele de funcții, conceptul important de convergență uniformă este introdus alături de convergența punctuală. Convergența uniformă la o funcție pe un anumit interval poate fi definită de norma uniformă .

Definiție

Având un set $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ de funcții între două mulțimi fixe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ , o secvență de funcții este o aplicație din setul de numere naturale din $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ , care se asociază cu fiecare număr natural $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ o functie $f_{n}$ ${\ displaystyle f_ {n}}$ $f_n$ . Secvența este de obicei indicată cu unul dintre următoarele două simboluri:

\{f_{n}\}_{n\in \mathbb {N} },\qquad (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }.

{\ displaystyle \ {f_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}, \ qquad (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}.}

{\ displaystyle \ {f_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}, \ qquad (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}.}

Al doilea simbolism este mai corect, deoarece evidențiază faptul că noțiunea de succesiune generalizează pe cea a unui tupl ordonat .

Este important de reținut că în definiție, precum și în enunțarea multor teoreme și proprietăți, nu este necesar să presupunem că domeniul funcțiilor este un set structurat. Numai acolo unde este necesar se va înțelege, după caz, un spațiu topologic , metric etc.

Valori la un punct fix

S-a remediat un element $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ în domeniu $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ , succesiunea:

(f_{n}(x_{0}))_{n\in \mathbb {N} }

{\ displaystyle (f_ {n} (x_ {0})) _ {n \ in \ mathbb {N}}}

(f_ {n} (x_ {0})) _ {{n \ in {\ mathbb N}}}

a valorilor asumate de funcțiile din $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ Este o succesiune de elemente ale codomainului $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ . Cand $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este un set numeric, cum ar fi setul de numere reale , aceasta este o secvență numerică .

Limita succesiunii

Având în vedere o succesiune de funcții, este firesc să se definească o noțiune de limită . De sine $(f_{n})$ ${\ displaystyle (f_ {n})}$ $(f_n)$ este o succesiune de funcții din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ , secvența numerică $f_{n}(x_{0})$ ${\ displaystyle f_ {n} (x_ {0})}$ $f_ {n} (x_ {0})$ a valorilor asumate la un moment dat $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ poate avea sau nu o limită. Dacă există o limită $f(x_{0})$ ${\ displaystyle f (x_ {0})}$ $f (x_0)$ pentru fiecare punct $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ , este posibil să se definească o funcție limită $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . Acest tip de convergență, obținut prin „calcularea limită punct cu punct”, se numește convergență punctuală . Convergența punctelor este abia folosită în multe contexte de analiză funcțională, deoarece nu îndeplinește cerințele care sunt considerate în mod normal importante. Printre acestea se numără, de exemplu, comutativitatea limitei cu alte operații care se pot face pe funcții.

În cazul funcțiilor din $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ , convergența punctuală are următoarele proprietăți:

Limita unei secvențe de funcții continue nu este neapărat o funcție continuă.
Limita unei succesiuni de funcții diferențiabile sau integrabile nu este neapărat derivabilă / integrabilă.
Limita integralelor unei secvențe de funcții nu este neapărat egală cu integralul limitei, adică semnul limită nu poate fi întotdeauna schimbat cu cel al integralei.
Limita derivatelor unei secvențe de funcții nu este neapărat egală cu derivata limitei, adică semnul derivatei nu poate fi întotdeauna schimbat cu cel al limitei.

Pentru a obține noțiuni de convergență care satisfac proprietățile anterioare, este definit un spațiu adecvat $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ de funcții din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ , de exemplu spațiul funcțiilor continue , spațiul funcțiilor măsurabile sau spațiul $C^{\infty }$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty}}$ $C ^ \ infty$ funcții netede . Furnizand $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ unei noțiuni de distanță , astfel încât să se dovedească a fi un spațiu metric , putem introduce o noțiune de convergență a unei succesiuni de elemente de $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ mai puternică decât cea punctuală, numită „convergență uniformă”.

Convergența punctelor

Este $(f_{n})$ ${\ displaystyle (f_ {n})}$ $(f_n)$ o succesiune de funcții din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ și fie $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ o altă funcție din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ . Spaţiu $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ poate fi, de exemplu, ansamblul numerelor reale sau complexe . Succesiunea funcțiilor $(f_{n})$ ${\ displaystyle (f_ {n})}$ $(f_n)$ converge punctual la $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ de sine:

\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x),

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} f_ {n} (x) = f (x),}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} f_ {n} (x) = f (x),}

pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în domeniu $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . În simboluri, este scris:

f_{n}\rightarrow f.

{\ displaystyle f_ {n} \ rightarrow f.}

{\ displaystyle f_ {n} \ rightarrow f.}

Dacă codomainul $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este setul de numere reale , este de asemenea posibil să se utilizeze o simbolologie care indică o convergență monotonă . De sine

f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x),

{\ displaystyle f_ {n} (x) \ leq f_ {n + 1} (x),}

{\ displaystyle f_ {n} (x) \ leq f_ {n + 1} (x),}

pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , atunci se aplică și următoarele:

f_{n}(x)\leq f(x)

{\ displaystyle f_ {n} (x) \ leq f (x)}

f_n (x) \ leq f (x)

pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , iar tu scrii $f_{n}\uparrow f$ ${\ displaystyle f_ {n} \ uparrow f}$ $f_n \ uparrow f$ sau $f_{n}\nearrow f$ ${\ displaystyle f_ {n} \ nearrow f}$ $f_n \ nearrow f$ . În mod similar, dacă celălalt verset al inegalității este valabil, este scris $f_{n}\downarrow f$ ${\ displaystyle f_ {n} \ downarrow f}$ $f_n \ downarrow f$ sau $f_{n}\searrow f$ ${\ displaystyle f_ {n} \ searrow f}$ $f_n \ searrow f$ .

Convergență uniformă

Convergența uniformă poate fi vizualizată prin faptul că funcțiile secvenței nu se îndepărtează de funcția limită

f

{\ displaystyle f}

f

pentru o distanță mai mare de

\varepsilon

{\ displaystyle \ varepsilon}

\ varepsilon

.

Este $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ${\ displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ $(f_n) _ {n \ in \ N}$ o succesiune de funcții din set $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ și fie $f:X\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: X \ to \ mathbb {R}}$ $f: X \ to \ R$ o functie. Succesiunea $(f_{n})$ ${\ displaystyle (f_ {n})}$ $(f_n)$ converge uniform la funcție $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ dacă pentru fiecare $\epsilon >0$ ${\ displaystyle \ epsilon> 0}$ $\ epsilon> 0$ există $N\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle N \ in \ mathbb {N}}$ $N \ in \ mathbb {N}$ astfel încât:

|f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon \qquad \forall x\in X

{\ displaystyle | f_ {n} (x) -f (x) | <\ epsilon \ qquad \ forall x \ în X}

| f_n (x) -f (x) | <\ epsilon \ qquad \ forall x \ in X

pentru toți $n>N$ ${\ displaystyle n> N}$ $n> N$ .

Spus:

a_{n}=\sup _{x\in X}|f_{n}(x)-f(x)|,

{\ displaystyle a_ {n} = \ sup _ {x \ în X} | f_ {n} (x) -f (x) |,}

{\ displaystyle a_ {n} = \ sup _ {x \ în X} | f_ {n} (x) -f (x) |,}

succesiunea $(f_{n})$ ${\ displaystyle (f_ {n})}$ $(f_n)$ converge lin către $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ dacă și numai dacă:

\lim _{n\to \infty }a_{n}=0.

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = 0.}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = 0.}

Succesiunea $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ${\ displaystyle (f_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ $(f_n) _ {n \ in \ N}$ converge local uniform $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ dacă pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ într-un spațiu metric $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ există $r\geq 0$ ${\ displaystyle r \ geq 0}$ $r \ ge 0$ astfel încât $f_{n}$ ${\ displaystyle f_ {n}}$ $f_n$ converge lin pe $B(x,r)\cap S$ ${\ displaystyle B (x, r) \ cap S}$ $B (x, r) \ cap S$ .

Rețineți că dacă în definiția convergenței uniforme schimbă „există $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ „și” pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ "obținem definiția convergenței punctuale: pentru fiecare $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ și pentru fiecare $\epsilon >0$ ${\ displaystyle \ epsilon> 0}$ $\ epsilon> 0$ este un $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ astfel încât $|f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon$ ${\ displaystyle | f_ {n} (x) -f (x) | <\ epsilon}$ $| f_n (x) -f (x) | <\ epsilon$ pentru toți $n>N$ ${\ displaystyle n> N}$ $n> N$ . Vedem că convergența uniformă implică o convergență punctuală.

Convergența uniformă diferă de convergența punctuală prin aceea că, odată ce o valoare este fixată $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ (chiar și cât de mic se dorește), un index poate fi găsit în corespondență cu acesta $n_{0}$ ${\ displaystyle n_ {0}}$ $n_ {0}$ de asta nu depinde $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , adică nu depinde de punctul luat în considerare. În mod informal se poate spune că odată remediat $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ , fiecare funcție $f_{n}$ ${\ displaystyle f_ {n}}$ $f_n$ cu $n\geq \,n_{0}(\varepsilon )$ ${\ displaystyle n \ geq \, n_ {0} (\ varepsilon)}$ $n \ ge \, n_0 (\ varepsilon)$ aproximează pe toate $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ functia $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ cu o eroare mai mică de $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ .

Proprietate

Convergența uniformă este, în multe contexte, preferabilă convergenței punctuale, deoarece îndeplinește o serie de proprietăți. Este $f_{n}$ ${\ displaystyle f_ {n}}$ $f_n$ convergând uniform a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ :

De sine $\forall n\,f_{n}$ ${\ displaystyle \ forall n \, f_ {n}}$ $\ forall n \, f_n$ este limitat atunci $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este limitat.
De sine $\forall n\,f_{n}$ ${\ displaystyle \ forall n \, f_ {n}}$ $\ forall n \, f_n$ este continuu atunci $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ și continuă.
De sine $\forall n\,f_{n}$ ${\ displaystyle \ forall n \, f_ {n}}$ $\ forall n \, f_n$ atunci este uniform continuu $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este uniform continuu.
De sine $\forall n\,f_{n}$ ${\ displaystyle \ forall n \, f_ {n}}$ $\ forall n \, f_n$ este continuu și converg uniform $X=[a,b]$ ${\ displaystyle X = [a, b]}$ $X = [a, b]$ , asa de:

\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)\,dx=\int _{a}^{b}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)dx.

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {a} ^ {b} f_ {n} (x) \, dx = \ int _ {a} ^ {b} \ lim _ {n \ la \ infty} f_ {n} (x) dx.}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {a} ^ {b} f_ {n} (x) \, dx = \ int _ {a} ^ {b} \ lim _ {n \ la \ infty} f_ {n} (x) dx.}

Această relație permite trecerea la limită sub semnul integral . Ipoteza continuității poate fi înlocuită și cu ipoteza că $f_{n}$ ${\ displaystyle f_ {n}}$ $f_n$ să fie integrabil conform lui Lebesgue .

Lema lui Dini afirmă că dacă $f_{n}\searrow f$ ${\ displaystyle f_ {n} \ searrow f}$ $f_n \ searrow f$ sau $f_{n}\nearrow f$ ${\ displaystyle f_ {n} \ nearrow f}$ $f_n \ nearrow f$ în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ (punctual) cu $f_{n}$ ${\ displaystyle f_ {n}}$ $f_n$ Și $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ continua si $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ compact , atunci $f_{n}$ ${\ displaystyle f_ {n}}$ $f_n$ convergând uniform a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ .
Dacă apare ^{[ Fără sursă ]:}
- Funcții $f_{n}$ ${\ displaystyle f_ {n}}$ $f_n$ sunt derivabile în $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$
- $f_{n}(x_{0})$ ${\ displaystyle f_ {n} (x_ {0})}$ $f_ {n} (x_ {0})$ converge la $f(x_{0})$ ${\ displaystyle f (x_ {0})}$ $f (x_0)$ pentru unii $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$
- $f'_{n}\$ ${\ displaystyle f '_ {n} \}$ $f'_n \$ converge la $g\$ ${\ displaystyle g \}$ $g \$ uniform

Atunci

f_{n}\rightarrow f

{\ displaystyle f_ {n} \ rightarrow f}

f_n \ rightarrow f

uniform,

f

{\ displaystyle f}

f

este diferențiat și

f'(x)\equiv g(x)

{\ displaystyle f '(x) \ equiv g (x)}

f '(x) \ echiv g (x)

.

Metrică uniformă

De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este compact , spațiu $C(X)$ ${\ displaystyle C (X)}$ $C (X)$ a funcțiilor continue pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ poate fi echipat cu o distanță :

d(f,g)=\sup _{x\in X}|f(x)-g(x)|

{\ displaystyle d (f, g) = \ sup _ {x \ în X} | f (x) -g (x) |}

d (f, g) = \ sup_ {x \ in X} | f (x) -g (x) |

pentru a deveni un spațiu metric . Acesta definește un concept de limită a unei secvențe care coincide cu cel de convergență uniformă. Ipotezele care $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ atât compacte, cât și funcțiile continue sunt introduse pentru a obține în mod eficient o distanță finită între fiecare pereche de funcții, datorită teoremei lui Weierstrass . Această distanță este la rândul său indusă de norma uniformă .

Criteriul de convergență Cauchy

Același subiect în detaliu: criteriul de convergență Cauchy .

Este $(f_{n})$ ${\ displaystyle (f_ {n})}$ $(f_n)$ o succesiune de funcții definite în $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ . Converge punctual și uniform dacă și numai dacă pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ există un indice $\nu \in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ nu \ in \ mathbb {N}}$ $\ nu \ in {\ mathbb {N}}$ astfel încât, pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ :

|f_{n}(x)-f_{m}(x)|<\varepsilon \qquad \forall n,m>\nu .

{\ displaystyle | f_ {n} (x) -f_ {m} (x) | <\ varepsilon \ qquad \ forall n, m> \ nu.}

{\ displaystyle | f_ {n} (x) -f_ {m} (x) | <\ varepsilon \ qquad \ forall n, m> \ nu.}

În spațiul funcțiilor limitate în $(a,b)$ ${\ displaystyle (a, b)}$ $(a, b)$ de fapt, criteriul de convergență Cauchy este valabil, deoarece este un spațiu complet .

Exemple

Următoarele exemple sunt secvențe de funcții din $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ .

În unele cazuri, o secvență de funcții poate fi descrisă în întregime printr-o expresie precum:

f_{n}(x)=\sin(nx),

{\ displaystyle f_ {n} (x) = \ sin (nx),}

{\ displaystyle f_ {n} (x) = \ sin (nx),}

unde sunt primii termeni:

f_{1}(x)=\sin(x),\quad f_{2}(x)=\sin(2x),\quad f_{3}(x)=\sin(3x),\quad \dots

{\ displaystyle f_ {1} (x) = \ sin (x), \ quad f_ {2} (x) = \ sin (2x), \ quad f_ {3} (x) = \ sin (3x), \ quad \ dots}

{\ displaystyle f_ {1} (x) = \ sin (x), \ quad f_ {2} (x) = \ sin (2x), \ quad f_ {3} (x) = \ sin (3x), \ quad \ dots}

În mod similar, o expresie precum:

f_{n}=n^{x}

{\ displaystyle f_ {n} = n ^ {x}}

f_n = n ^ x

descrie succesiunea funcțiilor:

f_{1}(x)=1,\quad f_{2}(x)=2^{x},\quad f_{3}(x)=3^{x},\quad \dots

{\ displaystyle f_ {1} (x) = 1, \ quad f_ {2} (x) = 2 ^ {x}, \ quad f_ {3} (x) = 3 ^ {x}, \ quad \ dots}

{\ displaystyle f_ {1} (x) = 1, \ quad f_ {2} (x) = 2 ^ {x}, \ quad f_ {3} (x) = 3 ^ {x}, \ quad \ dots}

unde dacă $x_{0}\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle x_ {0} \ in \ mathbb {R}}$ $x_ {0} \ in \ mathbb {R}$ se obține o succesiune de numere reale.

Alte tipuri de convergență

În cele ce urmează se va presupune că funcțiile care alcătuiesc secvența $\{f_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ ${\ displaystyle \ {f_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle \ {f_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ aparțin unui spațiu reglementat $(V,\Vert \cdot \Vert ).$ ${\ displaystyle (V, \ Vert \ cdot \ Vert).}$ ${\ displaystyle (V, \ Vert \ cdot \ Vert).}$ Următoarele noțiuni de convergență sunt utilizate pe scară largă în spațiile Banach , cum ar fi spațiile $L^{p}$ ${\ displaystyle L ^ {p}}$ $L ^ {p}$ ( spațiul Lp ) și spațiile Sobolev $W^{l,p}.$ ${\ displaystyle W ^ {l, p}.}$ ${\ displaystyle W ^ {l, p}.}$

Se spune că $\{f_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset (V,\Vert \cdot \Vert )$ ${\ displaystyle \ {f_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}} \ subset (V, \ Vert \ cdot \ Vert)}$ ${\ displaystyle \ {f_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}} \ subset (V, \ Vert \ cdot \ Vert)}$ converge în normă la funcție $f\in V$ ${\ displaystyle f \ în V}$ ${\ displaystyle f \ în V}$ de sine

\lim _{n\to \infty }\Vert f_{n}-f\Vert =0.

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ Vert f_ {n} -f \ Vert = 0.}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ Vert f_ {n} -f \ Vert = 0.}

O caracterizare importantă a convergenței în normă în spațiile de măsurare este dată de teorema lui Vitali .

Se spune că $\{f_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset (V,\Vert \cdot \Vert )$ ${\ displaystyle \ {f_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}} \ subset (V, \ Vert \ cdot \ Vert)}$ ${\ displaystyle \ {f_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}} \ subset (V, \ Vert \ cdot \ Vert)}$ converge slab la o funcție $f\in (V,\Vert \cdot \Vert )$ ${\ displaystyle f \ in (V, \ Vert \ cdot \ Vert)}$ ${\ displaystyle f \ in (V, \ Vert \ cdot \ Vert)}$ de sine

\lim _{n\to \infty }<\phi ,f_{n}-f>=0,\;\forall \phi \in V^{*},

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} <\ phi, f_ {n} -f> = 0, \; \ forall \ phi \ în V ^ {*},}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} <\ phi, f_ {n} -f> = 0, \; \ forall \ phi \ în V ^ {*},}

unde este $V^{*}$ ${\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ *$ indică spațiul dual al $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $<\phi ,f_{n}-f>$ ${\ displaystyle <\ phi, f_ {n} -f>}$ ${\ displaystyle <\ phi, f_ {n} -f>}$ indică acțiunea de $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ pe $f_{n}-f.$ ${\ displaystyle f_ {n} -f.}$ ${\ displaystyle f_ {n} -f.}$

Relațiile dintre diferitele noțiuni de convergență

Avem că convergența puternică implică o convergență slabă. De fapt, prin definiția normei unui operator liniar avem asta

\lim _{n\to \infty }<\phi ,f_{n}-f>\leq \lim _{n\to \infty }\vert <\phi ,f_{n}-f>\vert \leq \Vert \phi \Vert \lim _{n\to \infty }\Vert fn-f\Vert =0.

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} <\ phi, f_ {n} -f> \ leq \ lim _ {n \ to \ infty} \ vert <\ phi, f_ {n} -f> \ vert \ leq \ Vert \ phi \ Vert \ lim _ {n \ to \ infty} \ Vert fn-f \ Vert = 0.}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} <\ phi, f_ {n} -f> \ leq \ lim _ {n \ to \ infty} \ vert <\ phi, f_ {n} -f> \ vert \ leq \ Vert \ phi \ Vert \ lim _ {n \ to \ infty} \ Vert fn-f \ Vert = 0.}

Conversa nu este adevărată în general. Arătăm un contraexemplu. Pentru teorema reprezentării lui Rietsz, fiecare element $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ a dualului de $L^{p}(\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle L ^ {p} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle L ^ {p} (\ mathbb {R})}$ este reprezentat de un element $g_{\phi }$ ${\ displaystyle g _ {\ phi}}$ ${\ displaystyle g _ {\ phi}}$ din $L^{q}(\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle L ^ {q} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle L ^ {q} (\ mathbb {R})}$ , cu ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1.$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} = 1.}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} = 1.}$ În plus, forma fiecărui element al $L^{q}(\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle L ^ {q} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle L ^ {q} (\ mathbb {R})}$ trebuie să fie cu siguranță, aproape peste tot, mai puțin decât orice constantă $M>0$ ${\ displaystyle M> 0}$ $M> 0$ fix. Prin urmare, luăm succesiunea funcțiilor $f_{n}(x)=1$ ${\ displaystyle f_ {n} (x) = 1}$ ${\ displaystyle f_ {n} (x) = 1}$ pentru fiecare $x\in (n,n+1)$ ${\ displaystyle x \ in (n, n + 1)}$ ${\ displaystyle x \ in (n, n + 1)}$ Și $f_{n}(x)=0$ ${\ displaystyle f_ {n} (x) = 0}$ ${\ displaystyle f_ {n} (x) = 0}$ pentru fiecare $x\notin (n,n+1)$ ${\ displaystyle x \ notin (n, n + 1)}$ ${\ displaystyle x \ notin (n, n + 1)}$ , avem asta $\{f_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ ${\ displaystyle \ {f_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle \ {f_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ Și $L^{p}(\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle L ^ {p} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle L ^ {p} (\ mathbb {R})}$ , pentru fiecare ${\displaystyle 1<semantics><mrow class=$ ${\ displaystyle 1 <p <\ infty}$ ${\ displaystyle 1 <p <\ infty}$ fix și converge slab la funcție $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ constant egal cu 0. Într-adevăr, fix ${\displaystyle 1<semantics><mrow class=$ ${\ displaystyle 1 <p <\ infty}$ ${\ displaystyle 1 <p <\ infty}$ ,pentru fiecare $\phi \in L^{p}(\mathbb {R} )^{*}=L^{q}(\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle \ phi \ in L ^ {p} (\ mathbb {R}) ^ {*} = L ^ {q} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle \ phi \ in L ^ {p} (\ mathbb {R}) ^ {*} = L ^ {q} (\ mathbb {R})}$ avem asta

\lim _{n\to \infty }<\phi ,f_{n}>=\lim _{n\to \infty }\int _{\mathbb {R} }g_{\phi }(x)f_{n}(x)dx=\lim _{n\to \infty }\int _{n}^{n+1}g_{\phi }(x)dx<M,

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} <\ phi, f_ {n}> = \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {\ mathbb {R}} g _ {\ phi} ( x) f_ {n} (x) dx = \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {n} ^ {n + 1} g _ {\ phi} (x) dx <M,}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} <\ phi, f_ {n}> = \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {\ mathbb {R}} g _ {\ phi} ( x) f_ {n} (x) dx = \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {n} ^ {n + 1} g _ {\ phi} (x) dx <M,}

pentru fiecare $M>0.$ ${\ displaystyle M> 0.}$ ${\ displaystyle M> 0.}$

În același timp, având asta $\Vert f_{n}\Vert _{L^{p}(\mathbb {R} )}=1$ ${\ displaystyle \ Vert f_ {n} \ Vert _ {L ^ {p} (\ mathbb {R})} = 1}$ ${\ displaystyle \ Vert f_ {n} \ Vert _ {L ^ {p} (\ mathbb {R})} = 1}$ pentru fiecare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , avem asta $\{f_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ ${\ displaystyle \ {f_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle \ {f_ {n} \} _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ nu converge în normă.

Dacă spațiul normat $(V,\Vert \cdot \Vert )$ ${\ displaystyle (V, \ Vert \ cdot \ Vert)}$ ${\ displaystyle (V, \ Vert \ cdot \ Vert)}$ este un spațiu Hilbert $(H,<\cdot ,\cdot >)$ ${\ displaystyle (H, <\ cdot, \ cdot>)}$ ${\ displaystyle (H, <\ cdot, \ cdot>)}$ , atunci avem că convergența slabă plus convergența normelor implică o convergență puternică. Intr-adevar

\lim _{n\to \infty }\Vert f_{n}-f\Vert =\lim _{n\to \infty }<f_{n}-f,f_{n}-f>=\lim _{n\to \infty }\Vert f_{n}\Vert ^{2}+2<f,f_{n}>+\Vert f\Vert ^{2}=0.

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ Vert f_ {n} -f \ Vert = \ lim _ {n \ to \ infty} <f_ {n} -f, f_ {n} -f> = \ lim _ {n \ to \ infty} \ Vert f_ {n} \ Vert ^ {2} +2 <f, f_ {n}> + \ Vert f \ Vert ^ {2} = 0.}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ Vert f_ {n} -f \ Vert = \ lim _ {n \ to \ infty} <f_ {n} -f, f_ {n} -f> = \ lim _ {n \ to \ infty} \ Vert f_ {n} \ Vert ^ {2} +2 <f, f_ {n}> + \ Vert f \ Vert ^ {2} = 0.}

Mai mult, convergența puternică, dacă nu mergem la subsecvențe , implică convergență aproape peste tot.

Bibliografie

Nicola Fusco , Paolo Marcellini și Carlo Sbordone , Elements of Mathematical Analysis Two. Versiune simplificată pentru noile cursuri de studii , Napoli , Liguori Editore , 2001, ISBN 88-207-3137-1 .
( EN ) Hans Niels Jahnke, 6.7 The Foundation of Analysis in the 19th Century: Weierstrass , in A history of analysis , AMS Bookstore, 2003, ISBN 978-0-8218-2623-2 .
(EN) Konrad Knopp, Theory and Application of Infinite Series, Dover Publications, 1990.
( EN ) Godfrey Harold Hardy , Sir George Stokes și conceptul de convergență uniformă , 1918. cuprins în lucrările Societății Filozofice din Cambridge, nr. 19 , pp. 148–156
( EN ) Nicolas Bourbaki , Elements of Mathematics: General Topology , Berlin , Springer , ISBN 978-35-40-64563-4 . Capitolele 5-10
( EN ) Walter Rudin , Principiile analizei matematice, ed. A III-a. , New York , McGraw - Hill , 1976, ISBN 978-00-70-54235-8 .
( EN ) Gerald Folland , Analiza reală: tehnici moderne și aplicațiile lor, ediția a II-a , Hoboken (New Jersey) , John Wiley & Sons , Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikiversitatea conține resurse despre secvențe de funcții

linkuri externe

( EN ) LD Kudryavtsev, Convergență uniformă , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
(EN) Convergență uniformă , în PlanetMath .
(EN) funcția de limitare a secvenței , în PlanetMath .
Exemple grafice de convergență uniformă a seriei Fourier de la Universitatea din Colorado

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Numărul real · infinitezimal · Big O · Succesiunea ( funcțiilor ) · Succesiunea Cauchy · Teorema Bolzano-Weierstrass · Estimarea asimptotică · Limita ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limita considerabilă · Punct de acumulare · Punct de izolat · Aproximativ · Series ( funcții ) · criterii de convergență · limita funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitatea triunghiular · Cauchy-Schwarz inegalitatea · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · locală Difeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuația diferențială · problema Cauchy