Criteriul de convergență Cauchy

Criteriul de convergență al lui Cauchy este o teoremă a analizei matematice care oferă condițiile necesare și suficiente pentru existența unei limite pentru o succesiune de numere reale sau complexe (sau, mai general, pentru o secvență cu valori într-un spațiu metric complet ).

În plus față de rezultatul principal, există numeroase criterii de convergență aplicabile în diferite situații (serii, funcții, secvențe și serii de funcții etc.), care sunt la rândul lor numite criterii Cauchy pentru similitudinea conceptuală.

Criteriu cauchy pentru secvențe

Criteriul de convergență Cauchy afirmă că o secvență $\{a_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $\ {a_ {n} \}$ al numerelor reale are limită finită dacă și numai dacă este Cauchy . Cu alte cuvinte, dacă și numai dacă pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ există $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ astfel încât $|a_{n}-a_{m}|<\varepsilon$ ${\ displaystyle | a_ {n} -a_ {m} | <\ varepsilon}$ $| a_ {n} -a_ {m} | <\ varepsilon$ pentru fiecare $n,m>N$ ${\ displaystyle n, m> N}$ ${\ displaystyle n, m> N}$ .

O secvență convergentă este întotdeauna a lui Cauchy, în orice context. Proprietatea esențială care garantează implicația opusă este completitudinea numerelor reale.

Demonstrație

Mai întâi să dovedim că dacă $\{a_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $\ {a_n \}$ converge atunci este din Cauchy. Prin ipoteză,

\lim _{n\to \infty }a_{n}=a

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = a}

\ lim _ {{n \ to \ infty}} a_ {n} = a

adică pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ există $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ astfel încât

|a_{n}-a|<\varepsilon

{\ displaystyle | a_ {n} -a | <\ varepsilon}

| a_ {n} -a | <\ varepsilon

pentru fiecare $n>N$ ${\ displaystyle n> N}$ $n> N$ . Din inegalitatea triunghiulară obținem:

|a_{n}-a_{m}|\leq |a_{n}-a|+|a_{m}-a|<2\varepsilon

{\ displaystyle | a_ {n} -a_ {m} | \ leq | a_ {n} -a | + | a_ {m} -a | <2 \ varepsilon}

| a_ {n} -a_ {m} | \ leq | a_ {n} -a | + | a_ {m} -a | <2 \ varepsilon

pentru fiecare cuplu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ Și $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ de numere mai mari decât $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ . Atâta timp cât $2\varepsilon$ ${\ displaystyle 2 \ varepsilon}$ $2 \ varepsilon$ este „mic după bunul plac”, rezultă că $\{a_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $\ {a_ {n} \}$ este o secvență Cauchy.

Arătăm implicația inversă. Este $\{a_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $\ {a_n \}$ de Cauchy. O astfel de succesiune este neapărat limitată . Deci este conținut într-un interval închis $[-R,R]$ ${\ displaystyle [-R, R]}$ $[-R, R]$ pentru $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ destul de mare. Acest interval este un set închis și delimitat de $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ : un astfel de set de $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ este compact conform teoremei Heine-Borel ( completitudinea $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ este esențial pentru a obține acest rezultat).

De la succesiune $\{a_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $\ {a_ {n} \}$ este conținut într-un compact, există o subsecvență $\{a_{n_{k}}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n_ {k}} \}}$ $\ {a _ {{n_ {k}}} \}$ convergând la o anumită limită $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ . Din definiția limitei, pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ există $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ astfel încât

|a_{n_{k}}-a|<\varepsilon

{\ displaystyle | a_ {n_ {k}} - a | <\ varepsilon}

| a _ {{n_ {k}}} - a | <\ varepsilon

pentru fiecare $n_{k}>N$ ${\ displaystyle n_ {k}> N}$ $n_ {k}> N$ . Atâta timp cât $\{a_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $\ {a_ {n} \}$ este o secvență Cauchy, există ${Nu.}^{'}$ ${\ displaystyle N '}$ $N '$ astfel încât

|a_{n}-a_{m}|<\varepsilon

{\ displaystyle | a_ {n} -a_ {m} | <\ varepsilon}

| a_ {n} -a_ {m} | <\ varepsilon

pentru fiecare $n,m>N'$ ${\ displaystyle n, m> N '}$ $n, m> N '$ . Prin urmare

|a_{n}-a|\leq |a_{n}-a_{n_{k}}|+|a-a_{n_{k}}|<2\varepsilon

{\ displaystyle | a_ {n} -a | \ leq | a_ {n} -a_ {n_ {k}} | + | a-a_ {n_ {k}} | <2 \ varepsilon}

| a_ {n} -a | \ leq | a_ {n} -a _ {{n_ {k}}} | + | a-a _ {{n_ {k}}} | <2 \ varepsilon

pentru fiecare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ mai mare ca $\max\{N,N'\}.$ ${\ displaystyle \ max \ {N, N '\}.}$ $\ max \ {N, N '\}.$

Criteriul cauchy pentru limitele funcțiilor

Este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ o funcție reală definită într-un set $X\subseteq \mathbb {R}$ ${\ displaystyle X \ subseteq \ mathbb {R}}$ $X \ subseteq {\ mathbb {R}}$ și fie $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ un punct de acumulare de $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ (posibil infinit). Atunci $\lim _{x\rightarrow x_{0}}f(x)$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow x_ {0}} f (x)}$ $\ lim _ {{x \ rightarrow x_ {0}}} f (x)$ există și este real dacă și numai dacă pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ există un cartier $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ din $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ astfel încât:

|f(t_{1})-f(t_{2})|<\varepsilon

{\ displaystyle | f (t_ {1}) - f (t_ {2}) | <\ varepsilon}

| f (t_ {1}) - f (t_ {2}) | <\ varepsilon

pentru fiecare cuplu regal $t_{1},t_{2}\in X\cap V$ ${\ displaystyle t_ {1}, t_ {2} \ în X \ cap V}$ $t_ {1}, t_ {2} \ în X \ cap V$ și altul decât $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ .

Criteriul lui Cauchy pentru integrala necorespunzătoare

Din criteriul precedent pentru limitele funcției, urmează următorul criteriu.

Este $f:]a,b]\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f:] a, b] \ to \ mathbb {R}}$ $f:] a, b] \ to {\ mathbb {R}}$ o funcție integrabilă Riemann în orice subinterval închis conținut în $]a,b]$ ${\ displaystyle] a, b]}$ $] a, b]$ . Atunci $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ poate fi integrat necorespunzător în $]a,b]$ ${\ displaystyle] a, b]}$ $] a, b]$ dacă și numai dacă pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ există un cartier $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ din $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ astfel încât

\left|\int _{t_{1}}^{t_{2}}f(x)dx\right|<\varepsilon

{\ displaystyle \ left | \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} f (x) dx \ right | <\ varepsilon}

\ left | \ int _ {{t_ {1}}} ^ {{t_ {2}}} f (x) dx \ right | <\ varepsilon

pentru fiecare $t_{1},t_{2}\in ]a,b]\cap U$ ${\ displaystyle t_ {1}, t_ {2} \ in] a, b] \ cap U}$ $t_ {1}, t_ {2} \ in] a, b] \ cap U$ .

Criteriul lui Cauchy pentru seriile numerice

Prin adaptarea discursului la serie , se poate afirma acest criteriu, un corolar imediat al afirmației anterioare. O serie $\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n}}$ $\ sum _ {{n = 0}} ^ {{+ \ infty}} a_ {n}$ la valori reale este convergent dacă și numai dacă pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ este un $n_{\varepsilon }$ ${\ displaystyle n _ {\ varepsilon}}$ $n _ {{\ varepsilon}}$ astfel încât pentru fiecare $n>n_{\varepsilon }$ ${\ displaystyle n> n _ {\ varepsilon}}$ $n> n _ {{\ varepsilon}}$ și pentru fiecare $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ în $\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ mathbb {N}$ merită asta $|a_{n+1}+..+a_{n+p}|<\varepsilon$ ${\ displaystyle | a_ {n + 1} + .. + a_ {n + p} | <\ varepsilon}$ $| a _ {{n + 1}} + .. + a _ {{n + p}} | <\ varepsilon$ .

De fapt, termenul inclus în valoarea absolută nu este altul decât $|s_{n+p}-s_{n}|$ ${\ displaystyle | s_ {n + p} -s_ {n} |}$ $| s _ {{n + p}} - s_ {n} |$ , unde este $\{s_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {s_ {n} \}}$ $\ {s_ {n} \}$ este succesiunea sumelor parțiale.

Secvențe de funcții

Criterii de convergență similare se aplică și secvențelor de funcții .

Criteriul Cauchy pentru convergența punctelor

Este $\{f_{n}(x)\}$ ${\ displaystyle \ {f_ {n} (x) \}}$ $\ {f_ {n} (x) \}$ o succesiune de funcții definite într-un set $A\subseteq \mathbb {C}$ ${\ displaystyle A \ subseteq \ mathbb {C}}$ $A \ subseteq {\ mathbb {C}}$ . Converge punctual în $B\subseteq A$ ${\ displaystyle B \ subseteq A}$ $B \ subseteq A$ dacă și numai dacă pentru fiecare $x\in B$ ${\ displaystyle x \ în B}$ $x \ în B$ și pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ există un indice $\nu \in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ nu \ in \ mathbb {N}}$ $\ nu \ in {\ mathbb {N}}$ astfel încât:

|f_{n}(x)-f_{m}(x)|<\varepsilon

{\ displaystyle | f_ {n} (x) -f_ {m} (x) | <\ varepsilon}

| f_ {n} (x) -f_ {m} (x) | <\ varepsilon

pentru fiecare $n,m>\nu$ ${\ displaystyle n, m> \ nu}$ $n, m> \ nu$ .

În această definiție, indicele $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ depinde atât de alegerea punctului $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , ambele din alegerea $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ .

Criteriul Cauchy pentru convergență uniformă

Este $\{f_{n}(x)\}$ ${\ displaystyle \ {f_ {n} (x) \}}$ $\ {f_ {n} (x) \}$ o succesiune de funcții definite într-un set $A\subseteq \mathbb {C}$ ${\ displaystyle A \ subseteq \ mathbb {C}}$ $A \ subseteq {\ mathbb {C}}$ . Converge uniform în $B\subseteq A$ ${\ displaystyle B \ subseteq A}$ $B \ subseteq A$ dacă și numai dacă pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ există un indice $\nu \in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ nu \ in \ mathbb {N}}$ $\ nu \ in {\ mathbb {N}}$ astfel încât:

|f_{n}(x)-f_{m}(x)|<\varepsilon

{\ displaystyle | f_ {n} (x) -f_ {m} (x) | <\ varepsilon}

| f_ {n} (x) -f_ {m} (x) | <\ varepsilon

pentru fiecare $n,m>\nu$ ${\ displaystyle n, m> \ nu}$ $n, m> \ nu$ și fiecare $x\in B$ ${\ displaystyle x \ în B}$ $x \ în B$ .

Așa cum era de așteptat din noțiunea de convergență uniformă, în acest caz indicele $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ depinde doar de alegerea $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ .

Seria de funcții

De la aplicarea celor două criterii anterioare asupra secvențelor funcțiilor până la succesiunea sumelor parțiale ale unei serii de funcții , se obțin imediat următoarele două criterii de convergență.

Criteriul Cauchy pentru convergența punctelor

Este $\sum _{n=0}^{+\infty }f_{n}(x)$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} f_ {n} (x)}$ $\ sum _ {{n = 0}} ^ {{+ \ infty}} f_ {n} (x)$ un set de funcții definite într-un set $A\subseteq \mathbb {C}$ ${\ displaystyle A \ subseteq \ mathbb {C}}$ $A \ subseteq {\ mathbb {C}}$ . Converge punctual în $B\subseteq A$ ${\ displaystyle B \ subseteq A}$ $B \ subseteq A$ dacă și numai dacă pentru fiecare $x\in B$ ${\ displaystyle x \ în B}$ $x \ în B$ și pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ există un indice $\nu \in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ nu \ in \ mathbb {N}}$ $\ nu \ in {\ mathbb {N}}$ astfel încât:

|f_{n+1}(x)+f_{n+2}(x)+...+f_{n+p}(x)|<\varepsilon

{\ displaystyle | f_ {n + 1} (x) + f_ {n + 2} (x) + ... + f_ {n + p} (x) | <\ varepsilon}

| f _ {{n + 1}} (x) + f _ {{n + 2}} (x) + ... + f _ {{n + p}} (x) | <\ varepsilon

pentru fiecare $n>\nu$ ${\ displaystyle n> \ nu}$ $n> \ nu$ (ε, x) și orice natură $p>0$ ${\ displaystyle p> 0}$ $p> 0$ .

Criteriul Cauchy pentru convergență uniformă

Este $\sum _{n=0}^{+\infty }f_{n}(x)$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} f_ {n} (x)}$ $\ sum _ {{n = 0}} ^ {{+ \ infty}} f_ {n} (x)$ un set de funcții definite într-un set $A\subseteq \mathbb {C}$ ${\ displaystyle A \ subseteq \ mathbb {C}}$ $A \ subseteq {\ mathbb {C}}$ . Converge uniform în $B\subseteq A$ ${\ displaystyle B \ subseteq A}$ $B \ subseteq A$ dacă și numai dacă pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ există un indice $\nu \in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ nu \ in \ mathbb {N}}$ $\ nu \ in {\ mathbb {N}}$ astfel încât:

|f_{n+1}(x)+f_{n+2}(x)+...+f_{n+p}(x)|<\varepsilon

{\ displaystyle | f_ {n + 1} (x) + f_ {n + 2} (x) + ... + f_ {n + p} (x) | <\ varepsilon}

| f _ {{n + 1}} (x) + f _ {{n + 2}} (x) + ... + f _ {{n + p}} (x) | <\ varepsilon

pentru fiecare $n>\nu$ ${\ displaystyle n> \ nu}$ $n> \ nu$ (ε) și toate naturale $p>0$ ${\ displaystyle p> 0}$ $p> 0$ .

Produse infinite

Există, de asemenea, un analog al criteriului Cauchy pentru convergența unui produs infinit .

Produsul infinit

\prod _{n=1}^{+\infty }a_{n}

{\ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {+ \ infty} a_ {n}}

\ prod _ {{n = 1}} ^ {{+ \ infty}} a_ {n}

converge dacă și numai dacă pentru fiecare $\varepsilon >0$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ $\ varepsilon> 0$ există $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ astfel încât:

|a_{n+1}a_{n+2}\cdot \cdot \cdot a_{n+p}-1|<\varepsilon

{\ displaystyle | a_ {n + 1} a_ {n + 2} \ cdot \ cdot \ cdot a_ {n + p} -1 | <\ varepsilon}

| a _ {{n + 1}} a _ {{n + 2}} \ cdot \ cdot \ cdot a _ {{n + p}} - 1 | <\ varepsilon

pentru fiecare $n>\nu$ ${\ displaystyle n> \ nu}$ $n> \ nu$ și toate naturale $p>0$ ${\ displaystyle p> 0}$ $p> 0$ .

Bibliografie

( EN ) Tom M. Apostol , Mathematical Analysis , ediția a doua, Boston , Addison-Wesley , ianuarie 1974, ISBN 0-201-00288-4 .
Giovanni Emmanuele, Mathematical Analysis II , Foxwell & Davies Italia srl, 2004, ISBN 978-88-84-48014-9 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică