Produs infinit

În matematică spunem produs infinit referitor la o succesiune de numere reale sau complexe a ₁ , a ₂ , a ₃ , ... entitatea notată cu

\prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}\;a_{2}\;a_{3}\cdots

{\ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} = a_ {1} \; a_ {2} \; a_ {3} \ cdots}

{\ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} = a_ {1} \; a_ {2} \; a_ {3} \ cdots}

și care este definită ca limita produselor parțiale la ₁ până la ₂ ... până la _n pentru n tendința la infinit. Se spune că produsul este convergent atunci când există un număr întreg m astfel încât secvența

\{\prod _{n=m}^{q}a_{n}\}_{q}

{\ displaystyle \ {\ prod _ {n = m} ^ {q} a_ {n} \} _ {q}}

{\ displaystyle \ {\ prod _ {n = m} ^ {q} a_ {n} \} _ {q}}

are o limită diferită de 0 și ± ∞. În caz contrar, se spune că produsul este divergent . În acest fel, un produs infinit convergent este zero dacă și numai dacă avem un _n = 0 pentru unii n . Cu această definiție, multe dintre proprietățile sumelor din seria infinită pot fi transformate în proprietăți analoge pentru produsele infinite.

Dacă produsul infinit converge, atunci limita secvenței la _n pentru n care tinde la infinit trebuie să fie 1, în timp ce faptul că secvența tinde la 1 nu înseamnă neapărat că produsul infinit converge. În consecință, pentru un produs infinit convergent, există m astfel încât pentru n ≥ m avem un _n > 0. Prin urmare, pentru astfel de valori ale n logaritm jurnalului _n este definit și avem

\log \prod _{n=m}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=m}^{\infty }\log a_{n}

{\ displaystyle \ log \ prod _ {n = m} ^ {\ infty} a_ {n} = \ sum _ {n = m} ^ {\ infty} \ log a_ {n}}

{\ displaystyle \ log \ prod _ {n = m} ^ {\ infty} a_ {n} = \ sum _ {n = m} ^ {\ infty} \ log a_ {n}}

cu produsul din primul membru care converge dacă și numai dacă converge suma din al doilea membru. Această situație simetrică permite traducerea criteriilor de convergență pentru sume infinite în criterii de convergență pentru produse infinite.

Pentru produse în care pentru fiecare n avem $a_{n}\geq 1$ ${\ displaystyle a_ {n} \ geq 1}$ ${\ displaystyle a_ {n} \ geq 1}$ , introducerea numerelor $p_{n}:=a_{n}-1$ ${\ displaystyle p_ {n}: = a_ {n} -1}$ ${\ displaystyle p_ {n}: = a_ {n} -1}$ , pentru care trebuie să fie $p_{n}\geq 0$ ${\ displaystyle p_ {n} \ geq 0}$ ${\ displaystyle p_ {n} \ geq 0}$ , se constată inegalități

1+\sum _{n=1}^{N}p_{n}\leq \prod _{n=1}^{N}\left(1+p_{n}\right)\leq \exp \left(\sum _{n=1}^{N}p_{n}\right)

{\ displaystyle 1+ \ sum _ {n = 1} ^ {N} p_ {n} \ leq \ prod _ {n = 1} ^ {N} \ left (1 + p_ {n} \ right) \ leq \ exp \ left (\ sum _ {n = 1} ^ {N} p_ {n} \ right)}

{\ displaystyle 1+ \ sum _ {n = 1} ^ {N} p_ {n} \ leq \ prod _ {n = 1} ^ {N} \ left (1 + p_ {n} \ right) \ leq \ exp \ left (\ sum _ {n = 1} ^ {N} p_ {n} \ right)}

iar acestea arată că produsul infinit converge dacă și numai dacă converge seria p _n .

Produse infinite remarcabile

Cele mai cunoscute exemple de produse infinite sunt date probabil de unele dintre formulele găsite pentru π , cum ar fi următoarele obținute, respectiv, de François Viète (vezi formula Viète ) și John Wallis (vezi produsul Wallis ):

{\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots

{\ displaystyle {\ frac {2} {\ pi}} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}} { 2}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}}} {2}} \ cdots}

{\ displaystyle {\ frac {2} {\ pi}} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}} { 2}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}}} {2}} \ cdots}

{\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} = {\ frac {2} {1}} \ cdot {\ frac {2} {3}} \ cdot {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {4} {5}} \ cdot {\ frac {6} {5}} \ cdot {\ frac {6} {7}} \ cdot {\ frac {8} {7}} \ cdot { \ frac {8} {9}} \ cdots = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {2n} {2n-1}} \ cdot {\ frac {2n} {2n +1}} \ dreapta)}

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} = {\ frac {2} {1}} \ cdot {\ frac {2} {3}} \ cdot {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {4} {5}} \ cdot {\ frac {6} {5}} \ cdot {\ frac {6} {7}} \ cdot {\ frac {8} {7}} \ cdot { \ frac {8} {9}} \ cdots = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {2n} {2n-1}} \ cdot {\ frac {2n} {2n +1}} \ dreapta)}

Produse pentru sân infinit:

\sin x=x\cdot \prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)

{\ displaystyle \ sin x = x \ cdot \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {x ^ {2}} {\ pi ^ {2} n ^ {2} }} \ dreapta)}

{\ displaystyle \ sin x = x \ cdot \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {x ^ {2}} {\ pi ^ {2} n ^ {2} }} \ dreapta)}

\sin x=x\cdot \prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)

{\ displaystyle \ sin x = x \ cdot \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ cos \ left ({\ frac {x} {2 ^ {n}}} \ right)}

{\ displaystyle \ sin x = x \ cdot \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ cos \ left ({\ frac {x} {2 ^ {n}}} \ right)}

\left|\sin x\right|={\frac {1}{2}}\prod _{n=0}^{\infty }{\sqrt[{2^{n+1}}]{\left|\tan(\displaystyle 2^{n}x)\right|}}

{\ displaystyle \ left | \ sin x \ right | = {\ frac {1} {2}} \ prod _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ sqrt [{2 ^ {n + 1}}] {\ left | \ tan (\ displaystyle 2 ^ {n} x) \ right |}}}

{\ displaystyle \ left | \ sin x \ right | = {\ frac {1} {2}} \ prod _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ sqrt [{2 ^ {n + 1}}] {\ left | \ tan (\ displaystyle 2 ^ {n} x) \ right |}}}

Produs infinit pentru cosinus:

\cos x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {4x^{2}}{\pi ^{2}(2n-1)^{2}}}\right)

{\ displaystyle \ cos x = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {4x ^ {2}} {\ pi ^ {2} (2n-1) ^ {2 }}} \ dreapta)}

{\ displaystyle \ cos x = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {4x ^ {2}} {\ pi ^ {2} (2n-1) ^ {2 }}} \ dreapta)}

Produsul Pippenger

{\frac {e}{2}}=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {2\cdot 4}{3\cdot 3}}\right)^{1/4}\left({\frac {4\cdot 6\cdot 6\cdot 8}{5\cdot 5\cdot 7\cdot 7}}\right)^{1/8}\cdots

{\ displaystyle {\ frac {e} {2}} = \ left ({\ frac {2} {1}} \ right) ^ {1/2} \ left ({\ frac {2 \ cdot 4} {3 \ cdot 3}} \ right) ^ {1/4} \ left ({\ frac {4 \ cdot 6 \ cdot 6 \ cdot 8} {5 \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 7}} \ right) ^ { 1/8} \ cdots}

{\ displaystyle {\ frac {e} {2}} = \ left ({\ frac {2} {1}} \ right) ^ {1/2} \ left ({\ frac {2 \ cdot 4} {3 \ cdot 3}} \ right) ^ {1/4} \ left ({\ frac {4 \ cdot 6 \ cdot 6 \ cdot 8} {5 \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 7}} \ right) ^ { 1/8} \ cdots}

Reprezentarea funcțiilor prin intermediul produselor

Același subiect în detaliu: teorema factorizării Weierstrass .

Un rezultat important pentru produsele infinite constă în faptul că fiecare funcție întreagă f (adică fiecare funcție holomorfă de pe întregul plan complex ) poate fi luată în considerare ca un produs infinit de funcții întregi, fiecare dintre care are cel mult un singur zero. În general, dacă f are un zero de ordine m în origine și are alte zerouri complexe la punctele u ₁ , u ₂ , u ₃ , ... (listate cu multiplicitățile egale cu ordinele lor), atunci

f(z)=z^{m}\;e^{\phi (z)}\;\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{u_{n}}}\right)\;\exp \left\lbrace {\frac {z}{u_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{u_{n}}}\right)^{2}+\cdots +{\frac {1}{\lambda _{n}}}\left({\frac {z}{u_{n}}}\right)^{\lambda _{n}}\right\rbrace

{\ displaystyle f (z) = z ^ {m} \; e ^ {\ phi (z)} \; \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {z} {u_ {n}}} \ right) \; \ exp \ left \ lbrace {\ frac {z} {u_ {n}}} + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {z } {u_ {n}}} \ right) ^ {2} + \ cdots + {\ frac {1} {\ lambda _ {n}}} \ left ({\ frac {z} {u_ {n}}} \ right) ^ {\ lambda _ {n}} \ right \ rbrace}

{\ displaystyle f (z) = z ^ {m} \; e ^ {\ phi (z)} \; \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {z} {u_ {n}}} \ right) \; \ exp \ left \ lbrace {\ frac {z} {u_ {n}}} + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {z } {u_ {n}}} \ right) ^ {2} + \ cdots + {\ frac {1} {\ lambda _ {n}}} \ left ({\ frac {z} {u_ {n}}} \ right) ^ {\ lambda _ {n}} \ right \ rbrace}

unde λ _n sunt numere întregi care nu pot fi alese pentru a face produsul convergent, iar φ ( z ) este o funcție analitică determinată în mod unic (ceea ce înseamnă că factorul care precede produsul nu are zerouri în planul complex). Factorizarea anterioară nu este unică, deoarece depinde de alegerea lui λ _n și nu este deosebit de elegantă. Pentru cele mai multe funcții, cu toate acestea, vom găsi unele număr întreg de minim non-negativ p astfel încât λ _n = p dă un produs convergentă; aceasta se numește reprezentare canonică după produs . Acest p se numește rangul produsului canonic. Mai mult, dacă φ (z) este un polinom, gradul lui φ se numește ordinea lui f . În cazul în care p = 0, aceasta ia forma

f(z)=z^{m}\;e^{\phi (z)}\;\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{u_{n}}}\right)

{\ displaystyle f (z) = z ^ {m} \; e ^ {\ phi (z)} \; \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {z} {u_ {n}}} \ dreapta)}

{\ displaystyle f (z) = z ^ {m} \; e ^ {\ phi (z)} \; \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {z} {u_ {n}}} \ dreapta)}

Aceasta poate fi considerată ca o generalizare a teoremei fundamentale a algebrei , deoarece pentru funcțiile polinomiale produsul devine finit și funcția φ ( z ) este redusă la o constantă. Reprezentanțe de acest tip sunt:

funcția sinusoidală	$\sin z=z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)$ ${\ displaystyle \ sin z = z \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {z ^ {2}} {\ pi ^ {2} n ^ {2}}} \ dreapta)}$ ${\ displaystyle \ sin z = z \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {z ^ {2}} {\ pi ^ {2} n ^ {2}}} \ dreapta)}$	Euler - Formula lui Wallis pentru π este un caz special în acest sens.
funcția cosinusului	$\cos {z}=\prod _{n=1}^{\infty }\left[1-{\frac {4z^{2}}{\pi ^{2}(2n-1)^{2}}}\right]$ ${\ displaystyle \ cos {z} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left [1 - {\ frac {4z ^ {2}} {\ pi ^ {2} (2n-1) ^ {2}}} \ dreapta]}$ ${\ displaystyle \ cos {z} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left [1 - {\ frac {4z ^ {2}} {\ pi ^ {2} (2n-1) ^ {2}}} \ dreapta]}$
Funcția gamma	${\frac {1}{\Gamma (z)}}=z\;{\mbox{e}}^{\gamma z}\;\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)\;{\mbox{e}}^{-z/n}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ Gamma (z)}} = z \; {\ mbox {e}} ^ {\ gamma z} \; \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ stânga (1 + {\ frac {z} {n}} \ dreapta) \; {\ mbox {e}} ^ {- z / n}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ Gamma (z)}} = z \; {\ mbox {e}} ^ {\ gamma z} \; \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ stânga (1 + {\ frac {z} {n}} \ dreapta) \; {\ mbox {e}} ^ {- z / n}}$	Oscar Schlömilch .