Teorema factorizării Weierstrass

În matematică , teorema de factorizare a lui Weierstrass este o teoremă de analiză complexă . Se afirmă că fiecare funcție întreagă poate fi exprimată ca un produs (posibil infinit ) ca o funcție a zerourilor sale și, invers, că pentru fiecare set discret (adică fără puncte de acumulare ) de puncte ale planului complex există o funcție întreagă care are zerouri în acele puncte și nicăieri altundeva.

Teorema poate fi considerată o extensie a teoremei fundamentale a algebrei la cazul funcțiilor întregi.

Acesta poartă numele lui Karl Weierstrass .

Motivație

Teorema fundamentală a algebrei afirmă că fiecare polinom neconstant cu coeficienți complecși are o rădăcină și, prin urmare, are un număr de zerouri egal cu gradul său. În consecință, fiecare polinom $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ poate fi scris ca

P(z)=a(z-z_{1})\cdots (z-z_{n})

{\ displaystyle P (z) = a (z-z_ {1}) \ cdots (z-z_ {n})}

{\ displaystyle P (z) = a (z-z_ {1}) \ cdots (z-z_ {n})}

,

unde este $z_{1},\ldots ,z_{n}$ ${\ displaystyle z_ {1}, \ ldots, z_ {n}}$ ${\ displaystyle z_ {1}, \ ldots, z_ {n}}$ sunt zerourile din $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ (numărat cu multiplicitatea lor) e $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este coeficientul de direcție al polinomului. Dimpotrivă, dat un set finit $z_{1},\ldots ,z_{n}$ ${\ displaystyle z_ {1}, \ ldots, z_ {n}}$ ${\ displaystyle z_ {1}, \ ldots, z_ {n}}$ de puncte (posibil cu repetări), există un polinom, mai precis $P(z):=(z-z_{1})\cdots (z-z_{n})$ ${\ displaystyle P (z): = (z-z_ {1}) \ cdots (z-z_ {n})}$ ${\ displaystyle P (z): = (z-z_ {1}) \ cdots (z-z_ {n})}$ , ale căror zerouri sunt exact $z_{1},\ldots ,z_{n}$ ${\ displaystyle z_ {1}, \ ldots, z_ {n}}$ ${\ displaystyle z_ {1}, \ ldots, z_ {n}}$ .

În cazul funcțiilor întregi (care, de asemenea, datorită reprezentării lor în seria Taylor , pot fi considerate într-un anumit sens ca polinoame „de grad infinit”), această abordare nu poate fi aplicată direct. Pe de o parte, de fapt, există funcții întregi care, deși nu sunt constante, nu au zerouri: cel mai simplu exemplu este exponențialul $e^{z}$ ${\ displaystyle e ^ {z}}$ $și ^ z$ . Pe de altă parte, există funcții întregi care au o cantitate infinită de zerouri: dacă modulul acestora crește prea încet (de exemplu, dacă funcția are zerouri în toate numerele întregi pozitive) atunci produsul infinit $\prod _{n}(z-n)$ ${\ displaystyle \ prod _ {n} (zn)}$ ${\ displaystyle \ prod _ {n} (z-n)}$ nu este convergent și, prin urmare, nu definește o funcție (cu atât mai puțin o funcție întreagă) pe întregul plan complex.

Teorema

Este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ să fie o funcție întreagă $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots$ ${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n}, \ ldots}$ ${\ displaystyle a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n}, \ ldots}$ zero-urile sale nule (numărate cu multiplicitate) și let $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ ordinul zero al $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în 0 (dacă $f(0)\neq 0$ ${\ displaystyle f (0) \ neq 0}$ ${\ displaystyle f (0) \ neq 0}$ , asa de $m=0$ ${\ displaystyle m = 0}$ ${\ displaystyle m = 0}$ ). Apoi, există numere întregi $m_{1},\ldots ,m_{n},\ldots$ ${\ displaystyle m_ {1}, \ ldots, m_ {n}, \ ldots}$ ${\ displaystyle m_ {1}, \ ldots, m_ {n}, \ ldots}$ și o funcție întreagă $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ astfel încât produsul infinit

z^{m}e^{g(z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a_{n}}}\right)\exp \left({\frac {z}{a_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{2}+\cdots +{\frac {1}{m_{n}}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{m_{n}}\right)

{\ displaystyle z ^ {m} e ^ {g (z)} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {z} {a_ {n}}} \ right) \ exp \ left ({\ frac {z} {a_ {n}}} + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {z} {a_ {n}}} \ right) ^ { 2} + \ cdots + {\ frac {1} {m_ {n}}} \ left ({\ frac {z} {a_ {n}}} \ right) ^ {m_ {n}} \ right)}

{\ displaystyle z ^ {m} e ^ {g (z)} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {z} {a_ {n}}} \ right) \ exp \ left ({\ frac {z} {a_ {n}}} + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {z} {a_ {n}}} \ right) ^ { 2} + \ cdots + {\ frac {1} {m_ {n}}} \ left ({\ frac {z} {a_ {n}}} \ right) ^ {m_ {n}} \ right)}

converge la $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ .

Dimpotrivă, dacă $a_{1},\ldots ,a_{n},\ldots$ ${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n}, \ ldots}$ ${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n}, \ ldots}$ este un set discret de puncte pe plan (posibil cu repetări), toate diferite de 0 și dacă $m_{1},\ldots ,m_{n},\ldots$ ${\ displaystyle m_ {1}, \ ldots, m_ {n}, \ ldots}$ ${\ displaystyle m_ {1}, \ ldots, m_ {n}, \ ldots}$ sunt numere întregi astfel încât

\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{|a_{n}|}}\right)^{1+m_{n}}<\infty

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {r} {| a_ {n} |}} \ right) ^ {1 + m_ {n}} <\ infty}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {r} {| a_ {n} |}} \ right) ^ {1 + m_ {n}} <\ infty}

pentru orice număr real $r>0$ ${\ displaystyle r> 0}$ $r> 0$ (unde este $|a_{n}|$ ${\ displaystyle | a_ {n} |}$ ${\ displaystyle | a_ {n} |}$ este forma de $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ ), apoi produsul infinit

\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a_{n}}}\right)\exp \left({\frac {z}{a_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{2}+\cdots +{\frac {1}{m_{n}}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{m_{n}}\right)

{\ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {z} {a_ {n}}} \ right) \ exp \ left ({\ frac {z} {a_ {n}}} + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {z} {a_ {n}}} \ right) ^ {2} + \ cdots + {\ frac {1} { m_ {n}}} \ left ({\ frac {z} {a_ {n}}} \ right) ^ {m_ {n}} \ right)}

{\ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {z} {a_ {n}}} \ right) \ exp \ left ({\ frac {z} {a_ {n}}} + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {z} {a_ {n}}} \ right) ^ {2} + \ cdots + {\ frac {1} { m_ {n}}} \ left ({\ frac {z} {a_ {n}}} \ right) ^ {m_ {n}} \ right)}

converge la o funcție întreagă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ ale căror zerouri sunt exact $a_{1},\ldots ,a_{n},\ldots$ ${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n}, \ ldots}$ ${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n}, \ ldots}$ (numărat cu multiplicitate). În special, este întotdeauna posibil să luați $m_{n}=n$ ${\ displaystyle m_ {n} = n}$ ${\ displaystyle m_ {n} = n}$ .

Definiții care rezultă din teoremă

Funcții $z\mapsto (1-z)\exp \left(z+{\frac {1}{2}}z^{2}+\cdots +{\frac {1}{m_{n}}}z^{m_{n}}\right)$ ${\ displaystyle z \ mapsto (1-z) \ exp \ left (z + {\ frac {1} {2}} z ^ {2} + \ cdots + {\ frac {1} {m_ {n}}} z ^ {m_ {n}} \ dreapta)}$ ${\ displaystyle z \ mapsto (1-z) \ exp \ left (z + {\ frac {1} {2}} z ^ {2} + \ cdots + {\ frac {1} {m_ {n}}} z ^ {m_ {n}} \ dreapta)}$ sunt uneori numiți factori elementari și sunt denumiți $E_{m_{n}}(z)$ ${\ displaystyle E_ {m_ {n}} (z)}$ ${\ displaystyle E_ {m_ {n}} (z)}$ . Producția relativă la $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ poate fi deci scris ca

z^{m}e^{g(z)}\prod _{n=1}^{\infty }E_{m_{n}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)

{\ displaystyle z ^ {m} e ^ {g (z)} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} E_ {m_ {n}} \ left ({\ frac {z} {a_ {n} }} \ dreapta)}

{\ displaystyle z ^ {m} e ^ {g (z)} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} E_ {m_ {n}} \ left ({\ frac {z} {a_ {n} }} \ dreapta)}

.

Numărul întreg minim $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ astfel încât însumarea $\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{|a_{n}|}}\right)^{1+\tau }<\infty$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {r} {| a_ {n} |}} \ right) ^ {1+ \ tau} <\ infty}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {r} {| a_ {n} |}} \ right) ^ {1+ \ tau} <\ infty}$ converge se numește (dacă există) ordine de convergență a secvenței $\{a_{n}\}$ ${\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $\ {a_ {n} \}$ . Dacă funcția $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este un polinom și $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ atunci ordinea funcției există $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este definit ca maxim între gradul de $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ Și $\tau$ ${\ displaystyle \ tau}$ $\ tau$ ; în caz contrar, ordinea $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este infinit.

Exemple

$\sin(\pi z)=\pi z\prod _{n\neq 0}\left(1-{\frac {z}{n}}\right)e^{z/n}$ ${\ displaystyle \ sin (\ pi z) = \ pi z \ prod _ {n \ neq 0} \ left (1 - {\ frac {z} {n}} \ right) și ^ {z / n}}$ ${\ displaystyle \ sin (\ pi z) = \ pi z \ prod _ {n \ neq 0} \ left (1 - {\ frac {z} {n}} \ right) și ^ {z / n}}$
${\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{-n}}\right)\exp \left({\frac {z}{-n}}\right)=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-z/n}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ Gamma (z)}} = ze ^ {\ gamma z} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {z} { -n}} \ right) \ exp \ left ({\ frac {z} {- n}} \ right) = ze ^ {\ gamma z} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ( 1 + {\ frac {z} {n}} \ right) și ^ {- z / n}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ Gamma (z)}} = ze ^ {\ gamma z} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {z} { -n}} \ right) \ exp \ left ({\ frac {z} {- n}} \ right) = ze ^ {\ gamma z} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left ( 1 + {\ frac {z} {n}} \ right) și ^ {- z / n}}$

unde este

\Gamma

{\ displaystyle \ Gamma}

\Gamă

este funcția Gamma și

\gamma

{\ displaystyle \ gamma}

\gamă

este constanta Euler-Mascheroni .

Consecințe și extensii

A doua formă a teoremei poate fi extinsă la orice set deschis $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ din $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ : dat o succesiune de puncte $a_{1},\ldots ,a_{n},\ldots ,$ ${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n}, \ ldots,}$ ${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n}, \ ldots,}$ din $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ fără puncte de acumulare în $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ , există o funcție ale cărei zerouri sunt exact $a_{1},\ldots ,a_{n},\ldots ,$ ${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n}, \ ldots,}$ ${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n}, \ ldots,}$ .

O consecință a teoremei de factorizare a lui Weierstrass este că fiecare funcție meromorfă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ poate fi scris ca coeficientul a două funcții întregi: de fapt, dacă $a_{1},\ldots ,a_{n},\ldots$ ${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n}, \ ldots}$ ${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n}, \ ldots}$ este ansamblul de poli ai $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ (numărată cu multiplicitate), atunci există o funcție întreagă $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ ale căror zerouri sunt exact $a_{1},\ldots ,a_{n},\ldots$ ${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n}, \ ldots}$ ${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n}, \ ldots}$ . Functia $g:=fh$ ${\ displaystyle g: = fh}$ ${\ displaystyle g: = fh}$ nu are poli și, prin urmare, este o funcție întreagă; în consecință, $f={\frac {g}{h}}$ ${\ displaystyle f = {\ frac {g} {h}}}$ ${\ displaystyle f = {\ frac {g} {h}}}$ este coeficientul a două funcții întregi.

Bibliografie

Lars Ahlfors , Analiza complexă , ediția a treia, McGraw Hill, 1979, ISBN 0-07-000657-1 .
Walter Rudin , Real and Complex Analysis , 3rd, Boston, McGraw Hill, 1987, ISBN 0-07-054234-1 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică