Polo (analiză complexă)

Modulul funcțional Gamma cu câțiva poli.

În matematică și în special în analiza complexă , prin polul unei funcții holomorfe $f(z)$ ${\ displaystyle f (z)}$ $f (z)$ , ne referim la o singularitate izolată $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_0$ a funcției pentru care

\lim _{z\to z_{0}}|f(z)|=+\infty .

{\ displaystyle \ lim _ {z \ to z_ {0}} | f (z) | = + \ infty.}

{\ displaystyle \ lim _ {z \ to z_ {0}} | f (z) | = + \ infty.}

Polul se distinge de singularitatea eliminabilă și singularitatea esențială , pentru care această limită este finită și nu există, respectiv.

Cunoașterea caracteristicilor polilor unei funcții holomorfe ne permite să determinăm multe dintre caracteristicile acesteia; în plus, studiul polilor este fundamental în calculul reziduurilor .

Seria Laurent

O definiție echivalentă poate fi dată de seria Laurent . O singularitate izolată $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_ {0}$ este un pol dacă și numai dacă dezvoltarea locală a seriei lui Laurent este de acest tip

f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}\left(z-z_{0}\right)^{n}+{\frac {b_{1}}{z-z_{0}}}+\cdots +{\frac {b_{k}}{\left(z-z_{0}\right)^{k}}},

{\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n} \ left (z-z_ {0} \ right) ^ {n} + {\ frac {b_ {1 }} {z-z_ {0}}} + \ cdots + {\ frac {b_ {k}} {\ left (z-z_ {0} \ right) ^ {k}}},}

{\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} a_ {n} \ left (z-z_ {0} \ right) ^ {n} + {\ frac {b_ {1 }} {z-z_ {0}}} + \ cdots + {\ frac {b_ {k}} {\ left (z-z_ {0} \ right) ^ {k}}},}

cu $b_{k}\neq 0$ ${\ displaystyle b_ {k} \ neq 0}$ ${\ displaystyle b_ {k} \ neq 0}$ , pentru unii $k>0$ ${\ displaystyle k> 0}$ $k> 0$ .

Cu alte cuvinte, o singularitate izolată este un pol dacă și numai dacă partea principală a seriei Laurent dintr-un cartier de rufe al singularității este alcătuită dintr-un număr finit de termeni, adică dacă coeficienții cu vârf $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ negativ sunt un număr finit $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ diferit de zero:

f(z)=\sum _{n=-k}^{+\infty }a_{n}\left(z-z_{0}\right)^{n}.

{\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = -k} ^ {+ \ infty} a_ {n} \ left (z-z_ {0} \ right) ^ {n}.}

{\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = -k} ^ {+ \ infty} a_ {n} \ left (z-z_ {0} \ right) ^ {n}.}

Ordinea stâlpului

Ordinea polului este numărul natural $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ de termeni care alcătuiesc partea principală a seriei lui Laurent. În mod similar, $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_0$ este un polo dacă pentru unii $h>0$ ${\ displaystyle h> 0}$ ${\ displaystyle h> 0}$ limita:

b_{h}=\lim _{z\rightarrow z_{0}}f(z)\left(z-z_{0}\right)^{h},

{\ displaystyle b_ {h} = \ lim _ {z \ rightarrow z_ {0}} f (z) \ left (z-z_ {0} \ right) ^ {h},}

{\ displaystyle b_ {h} = \ lim _ {z \ rightarrow z_ {0}} f (z) \ left (z-z_ {0} \ right) ^ {h},}

există, este finit și este diferit de zero. În acest caz, funcția are la punctul respectiv $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_0$ un pol al ordinii $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ .

Exemple

O functie

f(z)={\frac {p(z)}{q(z)}},

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {p (z)} {q (z)}},}

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {p (z)} {q (z)}},}

unde este $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ Și $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ sunt polinoame fără rădăcini în comun (deci funcția este redusă la termenii cei mai mici), este definită pe

\mathbb {C} \setminus \{z_{1},\ldots ,z_{n}\},

{\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ {z_ {1}, \ ldots, z_ {n} \},}

{\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ {z_ {1}, \ ldots, z_ {n} \},}

unde este $z_{1},\ldots ,z_{n}$ ${\ displaystyle z_ {1}, \ ldots, z_ {n}}$ ${\ displaystyle z_ {1}, \ ldots, z_ {n}}$ sunt rădăcinile $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ . Fiecare dintre aceste puncte este un pol, al cărui ordin este egal cu multiplicitatea rădăcinii. De exemplu,

f(z)={\frac {z+1}{z(z-1)^{2}}},

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {z + 1} {z (z-1) ^ {2}}},}

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {z + 1} {z (z-1) ^ {2}}},}

are un pol de ordine $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ în $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ și un pol al ordinii $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ în $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ .

Functia

f(x)={\frac {1}{\sin x}},

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {\ sin x}},}

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {\ sin x}},}

este definit pe

\mathbb {C} \setminus \{k\pi \ |\ k\in \mathbb {Z} \},

{\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ {k \ pi \ | \ k \ in \ mathbb {Z} \},}

{\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ {k \ pi \ | \ k \ in \ mathbb {Z} \},}

și are un pol de ordine câte unul pe fiecare punct $k\pi$ ${\ displaystyle k \ pi}$ ${\ displaystyle k \ pi}$ . Prin urmare, are poli infiniti.

Funcția meromorfă

O funcție holomorfă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ având poli în puncte $z_{1},\ldots z_{n}$ ${\ displaystyle z_ {1}, \ ldots z_ {n}}$ ${\ displaystyle z_ {1}, \ ldots z_ {n}}$ Poate fi considerată ca o funcție al cărei domeniu include și aceste puncte, al căror cod domeniu este sfera Riemann $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} \ cup \ {\ infty \}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} \ cup \ {\ infty \}}$ : este suficient să impui $f(z_{i})=\infty$ ${\ displaystyle f (z_ {i}) = \ infty}$ ${\ displaystyle f (z_ {i}) = \ infty}$ . Rezultatul acestei operații este o funcție meromorfă .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică