Funcția meromorfă

În matematică , în special în analiza complexă , este definită o funcție meromorfă pe un subset deschis ${\mathcal {D}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$ ${\ mathcal {D}}$ a planului complex o funcție care este holomorfă peste tot ${\mathcal {D}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$ ${\ mathcal {D}}$ cu excepția unui set de puncte izolate care sunt poli ai funcției în sine.

Fiecare funcție meromorfă activată ${\mathcal {D}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$ ${\ mathcal {D}}$ poate fi exprimat ca raportul a două funcții holomorfe (cu funcția numitor diferită de constanta 0) definită pe întreg ${\mathcal {D}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$ ${\ mathcal {D}}$ : polii funcției meromorfe se găsesc apoi ca zerouri ale numitorului.

Funcția Gamma este meromorfă în întregul plan complex

Din punct de vedere algebric , ansamblul funcțiilor meromorfe asupra unui domeniu ${\mathcal {D}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$ ${\ mathcal {D}}$ legat de suma și operațiile produsului este câmpul fracțiilor din domeniul integrității constituit de setul de funcții holomorfe din întreg ${\mathcal {D}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {D}}}$ ${\ mathcal {D}}$ . Pur și simplu, funcțiile meromorfe sunt holomorfe, așa cum funcțiile raționale împărțite sunt funcții raționale întregi, cum ar fi $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ Este pentru $\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ .

Exemple

Orice funcție rațională , cum ar fi

f(z)={\frac {z^{3}-2z+1}{z^{5}+3z-1}}

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {z ^ {3} -2z + 1} {z ^ {5} + 3z-1}}}

f (z) = \ frac {z ^ 3 - 2z + 1} {z ^ 5 + 3z - 1}

este meromorf pe tot planul complex.

Funcții

f(z)={\frac {e^{z}}{z}}

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {e ^ {z}} {z}}}

f (z) = \ frac {e ^ z} {z}

f(z)={\frac {\sin z}{{(z-1)}^{2}}}

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {\ sin z} {{(z-1)} ^ {2}}}}

f (z) = \ frac {\ sin z} {{(z - 1)} ^ 2}

precum și funcția gamma și funcția zeta Riemann , sunt meromorfe pe întregul plan complex.

Functia

f(z)=e^{\frac {1}{z}}

{\ displaystyle f (z) = e ^ {\ frac {1} {z}}}

f (z) = e ^ {\ frac {1} {z}}

este definit pe întregul plan complex cu excepția originii. Cu toate acestea, punctul 0 nu este un pol al funcției, ci o singularitate esențială a acesteia . Prin urmare, nu este meromorf pe întregul plan complex; este în schimb meromorf (și în special holomorf) pe așa-numitul plan complex perforat în origine

\mathbb {C} \setminus \left\{0\right\}

{\ displaystyle \ mathbb {C} \ setminus \ left \ {0 \ right \}}

\ mathbb {C} \ setminus \ left \ {0 \ right \}

.

Funcția principală de logaritm $f(z)=\mathrm {ln} (z)$ ${\ displaystyle f (z) = \ mathrm {ln} (z)}$ $f (z) = \ mathrm {ln} (z)$ nu este meromorf pe întregul plan complex, deoarece nu poate fi definit pe întregul plan complex, cu excepția unui set izolat de puncte; în schimb, poate fi definit ca o funcție meromorfă (și în special holomorfă) pe planul privat al întregii jumătăți de linii de reali nepozitivi.

Proprietate

Deoarece polii unei funcții meromorfe sunt izolați, aceștia constituie un set finit, așa cum se întâmplă cu funcțiile raționale, sau un set numărabil , așa cum se întâmplă cu funcția transcendentă

f(z)={\frac {1}{\sin z}}\,.

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {1} {\ sin z}} \,.}

f (z) = \ frac {1} {\ sin z} \ ,.

Folosind continuarea analitică pentru a eliminasingularitățile eliminabile , funcțiile meromorfe pot fi compuse cu operații de adunare, scădere, produs și divizare cu un numitor diferit de funcția constantă zero. Prin urmare, funcțiile meromorfe constituie un câmp ; de fapt este o extensie a câmpului numerelor complexe .

În limbajul suprafețelor Riemann , o funcție meromorfă se comportă ca o funcție holomorfă care are ca domeniu sfera Riemann și astfel încât să nu se reducă la funcția constantă $\infty$ ${\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ . Polii corespund numerelor complexe care sunt trimise de funcție la punct $\infty$ ${\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ .

Bibliografie

Serge Lang (2001): Analiza complexă , ediția a IV-a, Springer, ISBN 0-387-98592-1

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Funcția meromorfă , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	NDL ( EN , JA ) 00574498

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică