Extensie analitică

În contextul analizei matematice , mai ales în analiza complexă , extensia analitică sau continuarea analitică , este o tehnică pentru extinderea domeniului definiției unei funcții variabile complexe , inițial definită doar într-un domeniu limitat, în căutarea unei funcții analitice , definit și în alte regiuni și care coincide cu funcția originală din domeniul său original. Când extensia este posibilă, atunci este, de asemenea, unică.

În multe cazuri există o extensie analitică prin definirea unor valori suplimentare pentru o funcție într-o nouă regiune, unde, de exemplu, reprezentarea în termeni a unei serii infinite atribuite funcției inițiale nu ar mai avea sens.

În general, în prelungirea analitică a unei funcții, pot fi întâmpinate dificultăți care duc la cazuri reale de inconsecvență (definirea funcției în mai multe moduri în același punct, vezi funcția polidrom ) sau impedimente globale datorate prezenței singularităților.

Cazul funcțiilor complexe multi-variabile este destul de diferit ^{[ nu este clar ]} , pentru că atunci singularitățile nu pot fi izolate: studiul acestui caz a fost unul dintre motivele majore care au condus la dezvoltarea cohomologiei fasciculului.

Extensie de domeniu

Domenii analitice

Atunci să fie A un domeniu în cadrul căruia o funcție $f_{1}(z)$ ${\ displaystyle f_ {1} (z)}$ $f_ {1} (z)$ este analitic și un domeniu B în cadrul căruia o altă funcție $f_{2}(z)$ ${\ displaystyle f_ {2} (z)}$ $f_ {2} (z)$ este analitică și coincide cu prima funcție din domeniul de intersecție C. Putem spune apoi că extensia definește o singură funcție care își asumă valorile primei funcții în A și ale celei de-a doua în B și aceleași valori în C.

Se poate întâmpla ca funcțiile să nu asume aceleași valori în corespondența domeniului C ; atunci este suficient să luăm în considerare faptul că acest domeniu este alcătuit din două sau mai multe foi distincte care constituie o acoperire a unei deschideri a planului complex $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ .

Discuţie

să presupunem că $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o funcție analitică pe un subset deschis $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ a planului complex $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ . De sine $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este un subset deschis de $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ mai mare decât conține $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ , Și ${F}$ ${\ displaystyle {F}}$ ${\ displaystyle {F}}$ este o funcție analitică definită pe $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ astfel încât

${F}(z)=f(z)\quad \forall z\in U,$ ${\ displaystyle {F} (z) = f (z) \ quad \ forall z \ în U,}$ ${\ displaystyle {F} (z) = f (z) \ quad \ forall z \ în U,}$

asa de ${\mathcal {F}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ mathcal {F}}$ se numește extensie analitică a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . Cu alte cuvinte, restricția de ${F}$ ${\ displaystyle {F}}$ ${\ displaystyle {F}}$ la $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este funcția $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ de la care am plecat.

Extensiile analitice sunt unice în următorul sens: dacă $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ este conectat și ${F}_{1}$ ${\ displaystyle {F} _ {1}}$ ${\ displaystyle {F} _ {1}}$ Și ${F}_{2}$ ${\ displaystyle {F} _ {2}}$ ${\ displaystyle {F} _ {2}}$ sunt două extensii analitice ale $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ definit pe $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , asa de ${F}_{1}={F}_{2}$ ${\ displaystyle {F} _ {1} = {F} _ {2}}$ ${\ displaystyle {F} _ {1} = {F} _ {2}}$ pretutindeni.

Acest lucru se întâmplă deoarece diferența este o funcție analitică care dispare pe un set deschis ne-gol și, prin urmare, trebuie să fie identic nulă.

De exemplu, având în vedere o serie de puteri cu o rază de convergență $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ în jurul unui punct $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ din $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ , se pot lua în considerare extensiile analitice ale seriei de putere, adică funcțiile analitice ${F}$ ${\ displaystyle {F}}$ ${\ displaystyle {F}}$ definit pe seturi mai mari decât discul deschis de rază $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ centrat în $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , adică în simboluri, $\{z:|z-a|<r\}$ ${\ displaystyle \ {z: | za | <r \}}$ ${\ displaystyle \ {z: | z-a | <r \}}$ , care coincid cu seria de putere dată pe acel set. Numarul $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este maximă în următorul sens: există întotdeauna un număr complex $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ astfel încât

${|z-a|=r}$ ${\ displaystyle {| za | = r}}$ ${\ displaystyle {| z-a | = r}}$

și că nicio continuare analitică a seriei în $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ . Astfel, există limitări severe ale extensiei analitice la un disc mai mare cu același centru $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ . Pe de altă parte, ar putea exista foarte bine o extensie analitică la un întreg mai mare. Acest lucru depinde de raza de convergență pe măsură ce se extinde în jurul unui punct $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ formă distinctă $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ ; dacă este mai mare decât

$r-|b-a|$ ${\ displaystyle r- | ba |}$ ${\ displaystyle r- | b-a |}$

atunci avem dreptul să folosim această expansiune pe un disc deschis, care se află parțial în afara discului original. În caz contrar, există o limită naturală pe circumferința muchiei.

Continuarea analitică în cercuri

Continuare analitică în cercuri de convergență prevăzute cu seria Taylor.

Un exemplu de continuare analitică este de a ocoli o singularitate izolată prin dezvoltarea unei funcții în seria Taylor $f(z)$ ${\ displaystyle f (z)}$ $f (z)$ . De sine $z_{s}$ ${\ displaystyle z_ {s}}$ $z_ {s}$ este un punct de singularitate izolat, atunci funcția este dezvoltabilă în seria Taylor:

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{1})^{n}

{\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} (z-z_ {1}) ^ {n}}

f (z) = \ sum _ {{n = 0}} ^ {{\ infty}} a_ {n} (z-z_ {1}) ^ {n}

unde coeficienții $a_{n}$ ${\ displaystyle a_ {n}}$ $a_ {n}$ sunt date de:

a_{n}={\frac {f^{(n)}(z_{1})}{n!}}

{\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {f ^ {(n)} (z_ {1})} {n!}}}

a_ {n} = {\ frac {f ^ {{(n)}} (z_ {1})} {n!}}

la fel ca în figură, cercul de convergență al acestei serii este cel al centrului $z_{1}$ ${\ displaystyle z_ {1}}$ $z_ {1}$ , în roșu în figură, până când întâlnește singularitatea $z_{s}$ ${\ displaystyle z_ {s}}$ $z_ {s}$ în albastru în figură. Apoi se poate lua un punct nou $z_{2}$ ${\ displaystyle z_ {2}}$ $z_ {2}$ ajustați funcția și descrieți acest lucru cu o serie Taylor cu o altă rază de convergență până când se întâlnește din nou $z_{s}$ ${\ displaystyle z_ {s}}$ $z_ {s}$ si asa mai departe. Figura arată clar că este posibil să ocolim singularitatea cu un număr finit de expansiuni din seria Taylor în jurul singularității.

Evident, această dezvoltare ar eșua dacă s-ar întâlni bariere de singularitate, adică o infinitate de puncte de singularitate continue. Rețineți că $f_{1}(z)$ ${\ displaystyle f_ {1} (z)}$ $f_ {1} (z)$ calculat în $z_{1}$ ${\ displaystyle z_ {1}}$ $z_ {1}$ este formal diferit de acela $f_{2}(z)$ ${\ displaystyle f_ {2} (z)}$ $f_ {2} (z)$ calculat în $z_{2}$ ${\ displaystyle z_ {2}}$ $z_ {2}$ și așa și pentru ceilalți. Dar, în ciuda acestui fapt, funcțiile sunt identice la intersecțiile cercurilor respective.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre extensia analitică

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică