Funcția polidratată

Această corespondență este o funcție polidrom, deoarece 3 este trimis atât la b, cât și la c

În matematică , o funcție polidrom (sau funcție multivocă sau multifuncțională ) este o funcție care poate avea valori multiple. Funcțiile polidrom sunt utilizate în principal în analize complexe .

Definiție

Lasa-i sa fie $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ două seturi . O funcție polidrom de la $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este o funcție

f\colon X\to P(Y),

{\ displaystyle f \ colon X \ to P (Y),}

f \ colon X \ la P (Y),

care se asociază cu fiecare element al $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un subgrup non-vid de $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ (Aici $P(Y)$ ${\ displaystyle P (Y)}$ $P (Y)$ este ansamblul părților din $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ ).

O definiție echivalentă vede o funcție polidrom ca un subset $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ a produsului cartezian $X\times Y$ ${\ displaystyle X \ times Y}$ $X \ ori Y$ astfel încât pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ există cel puțin unul $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ în $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ pentru care $(x,y)\in R$ ${\ displaystyle (x, y) \ în R}$ $(x, y) \ în R.$ (adică o relație binară între $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ „total rămas”).

În contextul funcțiilor polidrom, o funcție în sensul obișnuit al termenului se numește monodrom . În acest caz, $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ este alcătuit dintr-un singur element pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Utilizarea setului de părți este de fapt eludată problema de a avea pentru fiecare intrare una și o singură imagine , asociind elementul de pornire un întreg set, care este un singur element dacă este considerat în cadrul setului de părți ale codomainului .

Diferența cu funcțiile cu valoare vectorială

Este bine să subliniem diferența dintre funcțiile polidrom și funcțiile vectoriale , adică cu valorile din produsul cartezian al $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ copii ale $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ , distingând două diferențe fundamentale:

o funcție vectorială are imagini cu un număr fix de componente a $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ întrucât sunt vectori ai $Y^{n}$ ${\ displaystyle Y ^ {n}}$ $Y ^ {n}$ ; dimpotrivă, o funcție polidrom are valori de cardinalitate variabile, deoarece acestea sunt subseturi arbitrare de $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ .
o funcție vectorială a ordonat tupluri ca imagini, în timp ce funcțiile polidrom oferă ca imagini niște seturi, care sunt notorii independente de ordinea în care sunt enumerate elementele sale.

Analiza complexă

Rădăcina a N-a

Același subiect în detaliu: Unity root .

Cea mai simplă și imediată funcție polidrom este a n-a rădăcină a unei variabile complexe :

{\sqrt[{n}]{z}},\quad n\in \mathbb {Z} ,

{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {z}}, \ quad n \ in \ mathbb {Z},}

{\ sqrt [{n}] {z}}, \ quad n \ in \ mathbb {Z},

înțeles ca inversul funcției cu o singură pistă $z^{n}$ ${\ displaystyle z ^ {n}}$ $z ^ {n}$ . Folosind reprezentarea polară $z=\rho e^{i\theta }$ ${\ displaystyle z = \ rho e ^ {i \ theta}}$ $z = \ rho e ^ {{i \ theta}}$ și amintind că fiecare număr complex exprimat în formă polară trebuie să raporteze intervalul de definiție al argumentului $0\leq \theta <2\pi$ ${\ displaystyle 0 \ leq \ theta <2 \ pi}$ $0 \ leq \ theta <2 \ pi$ astfel încât numărul să fie bine definit, avem:

{\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{\rho }}\cdot {\sqrt[{n}]{e^{i\theta +i2k\pi }}}={\sqrt[{n}]{\rho }}\left(e^{\frac {i\theta +i2k\pi }{n}}\right).

{\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {z}} = {\ sqrt [{n}] {\ rho}} \ cdot {\ sqrt [{n}] {e ^ {i \ theta + i2k \ pi }}} = {\ sqrt [{n}] {\ rho}} \ left (și ^ {\ frac {i \ theta + i2k \ pi} {n}} \ right).}

{\ sqrt [{n}] {z}} = {\ sqrt [{n}] {\ rho}} \ cdot {\ sqrt [{n}] {e ^ {{i \ theta + i2k \ pi}} }} = {\ sqrt [{n}] {\ rho}} \ left (și ^ {{{\ frac {i \ theta + i2k \ pi} {n}}}} \ right).

Vedem clar asta ${\sqrt[{n}]{\rho }}$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {\ rho}}}$ ${\ sqrt [{n}] {\ rho}}$ este bine definit (evident $\rho >0$ ${\ displaystyle \ rho> 0}$ $\ rho> 0$ ), dar invers argumentul funcției rădăcină a n-a:

\arg({\sqrt[{n}]{z}})={\frac {\theta +2k\pi }{n}},

{\ displaystyle \ arg ({\ sqrt [{n}] {z}}) = {\ frac {\ theta + 2k \ pi} {n}},}

\ arg ({\ sqrt [{n}] {z}}) = {\ frac {\ theta + 2k \ pi} {n}},

în mod clar nu este determinat definitiv. Aceasta implică faptul că, deși $z^{n}$ ${\ displaystyle z ^ {n}}$ $z ^ {n}$ este determinat în mod unic de determinarea principală a argumentului său, inversul său nu este determinat în mod unic, în consecință vom avea $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , corespunzătoare valorilor $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ valorile argumentului de ${\sqrt[{n}]{z}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{n}] {z}}}$ ${\ sqrt [{n}] {z}}$ . Pentru a reveni la același punct, trebuie să executați $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ întoarce originea. Rețineți că funcția rămâne o singură pistă dacă restrângem intervalul de definiție al argumentului la un sector între $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ și $n+1$ ${\ displaystyle n + 1}$ $n + 1$ .

Logaritm

Același subiect în detaliu: Logaritm complex .

Să luăm în considerare o altă funcție tipică polidrom care este, de asemenea, discontinuă pe o rază întreagă care iese din origine ca:

\operatorname {Log} z=\log |z|+i\theta +i2k\pi

{\ displaystyle \ operatorname {Log} z = \ log | z | + i \ theta + i2k \ pi}

{\ displaystyle \ operatorname {Log} z = \ log | z | + i \ theta + i2k \ pi}

adică ramura principală a logaritmului , unde $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ este scena pentru $0<\theta <2\pi$ ${\ displaystyle 0 <\ theta <2 \ pi}$ $0 <\ theta <2 \ pi$ care presupune valorile infinite: $\log z=\operatorname {Log} z+n\cdot 2\pi i$ ${\ displaystyle \ log z = \ operatorname {Log} z + n \ cdot 2 \ pi i}$ $\ log z = \ operatorname {Log} z + n \ cdot 2 \ pi i$ . Evident, acest lucru se aplică și logaritmului natural și logaritmului pe orice bază.

Pornind de la logaritm, exponențierea la orice bază poate fi definită și în câmp ca funcție polidrom

z^{\alpha }=e^{\alpha \ln z}

{\ displaystyle z ^ {\ alpha} = e ^ {\ alpha \ ln z}}

z ^ {{\ alpha}} = e ^ {{\ alpha \ ln z}}

Subiect

Ultima funcție polihidromică pe care o analizăm este argumentul unui număr complex, definit ca

\arg(z)=\left\{y\in \mathbb {R} :e^{iy}={\frac {z}{|z|}}\right\},

{\ displaystyle \ arg (z) = \ left \ {y \ in \ mathbb {R}: e ^ {iy} = {\ frac {z} {| z |}} \ right \},}

\ arg (z) = \ left \ {y \ in \ mathbb {R}: e ^ {{iy}} = {\ frac {z} {| z |}} \ right \},

pentru orice număr complex diferit de zero $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ . Amintiți-vă că această definiție are sens, deoarece exponențialul complex este limitat la numere pur imaginare, adică de tip $i\cdot y$ ${\ displaystyle i \ cdot y}$ $i \ cdot y$ , își asumă valori în sfera unitară $S^{1}$ ${\ displaystyle S ^ {1}}$ $S ^ {1}$ .

Din nou din proprietățile exponențialei obținem că rezultă, dacă $y_{0}$ ${\ displaystyle y_ {0}}$ $y_ {0}$ este o valoare specială a argumentului $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ ,

\arg(z)=\{y_{0}+2k\pi ,k\in \mathbb {Z} \}.

{\ displaystyle \ arg (z) = \ {y_ {0} + 2k \ pi, k \ in \ mathbb {Z} \}.}

\ arg (z) = \ {y_ {0} + 2k \ pi, k \ in \ mathbb {Z} \}.

Alte caracteristici ale polidromiei

Caracteristica multor funcții polidrom este existența punctelor de singularitate neizolate care se numesc puncte de ramură de ordine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , dacă realizează $n+1$ ${\ displaystyle n + 1}$ $n + 1$ se rotește în aceeași direcție, funcția își asumă întotdeauna aceeași valoare inițială; pe de altă parte, se spune un punct ramificat de ordine infinită , dacă de câte ori se întoarce punctul singular funcția nu revine niciodată pentru a-și asuma aceeași valoare inițială. În afară de cele două puncte de ramificare la zero și la infinit, funcția logaritmică este analitică . Aceasta înseamnă că poate fi dezvoltat într- o serie Taylor într-un cerc de convergență centrală $z_{0}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ $z_0$ de rază $|z_{0}|$ ${\ displaystyle | z_ {0} |}$ $| z_ {0} |$ :

\log z=\log z_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\left[{\frac {z-z_{0}}{z}}\right]^{n}}{n}}.

{\ displaystyle \ log z = \ log z_ {0} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ left [{\ frac {z-z_ {0}} {z}} \ dreapta] ^ {n}} {n}}.}

\ log z = \ log z_ {0} + \ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} {\ frac {\ left [{\ frac {z-z_ {0}} {z}} \ right ] ^ {n}} {n}}.

Funcții reale de polidrom

Funcțiile polidrom tipice și utilizate pe scară largă sunt inversele funcțiilor trigonometrice : sunt periodice , deci asemănătoare cu logaritmul complex, inversele lor iau o cantitate numerică de valori.

Ramuri și valori principale

Toate aceste exemple împărtășesc o proprietate comună: pot fi văzute ca funcții inverse ale unei alte aplicații ( puterea rădăcinilor, exponențială pentru logaritm). De fapt, funcția inversă este cea mai ușoară multifuncțională de îndeplinit, deoarece corespondența a priori $y\mapsto f^{-1}(y)$ ${\ displaystyle y \ mapsto f ^ {- 1} (y)}$ $y \ mapsto f ^ {{- 1}} (y)$ nu generează un element, ci un set: este gol dacă $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ nu face parte din imaginea $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , este un singur exemplu pentru valorile în care este injectivă, este un set cu mai multe elemente altfel.

În fiecare dintre aceste cazuri, pentru a ajunge de la o funcție multivocă la un monodrom și a folosi instrumentele obișnuite ale matematicii, o singură contra-imagine a fost aleasă prin convenție (sau din alte motive) pentru a fi asociată cu $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ : în cazul rădăcinii reale, alegerea cade asupra $+{\sqrt {x}}$ ${\ displaystyle + {\ sqrt {x}}}$ $+ {\ sqrt x}$ ; în logaritmul complex se alege valoarea $\log z$ ${\ displaystyle \ log z}$ $\ log z$ astfel încât $0<\arg(z)<2\pi$ ${\ displaystyle 0 <\ arg (z) <2 \ pi}$ $0 <\ arg (z) <2 \ pi$ ; în sinusul arcului unghiul ales este întotdeauna cel dintre $-\pi /2$ ${\ displaystyle - \ pi / 2}$ $- \ pi / 2$ Și $\pi /2$ ${\ displaystyle \ pi / 2}$ $\ pi / 2$ si asa mai departe.

Fiecare dintre funcțiile monodrom care ar putea fi definite prin variația alegerii din cadrul setului $f^{-1}(y)$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (y)}$ $f ^ {{- 1}} (y)$ se numește ramura inversă; valoarea aleasă efectiv prin convenție se numește ramura principală și valoarea își asumă valoarea principală . De exemplu, întotdeauna pentru sân : ramurile de $f^{-1}(y)$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (y)}$ $f ^ {{- 1}} (y)$ Sunt $x=\arcsin y$ ${\ displaystyle x = \ arcsin y}$ $x = \ arcsin y$ , $x=\arcsin y+2\pi$ ${\ displaystyle x = \ arcsin y + 2 \ pi}$ $x = \ arcsin y + 2 \ pi$ , $x=\arcsin y+4\pi$ ${\ displaystyle x = \ arcsin y + 4 \ pi}$ $x = \ arcsin y + 4 \ pi$ , etc., și valoarea principală a $f^{-1}(1)$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (1)}$ $f ^ {{- 1}} (1)$ Și $\pi /2$ ${\ displaystyle \ pi / 2}$ $\ pi / 2$ , în timp ce celelalte valori ale sale non-core sunt ${5\pi \over 2},{9\pi \over 2},{13\pi \over 2},\dots$ ${\ displaystyle {5 \ pi \ over 2}, {9 \ pi \ over 2}, {13 \ pi \ over 2}, \ dots}$ ${5 \ pi \ over 2}, {9 \ pi \ over 2}, {13 \ pi \ over 2}, \ dots$ .

Există teoreme care asigură, conform diferitelor geometrii ale domeniului, continuitatea acestor ramuri și relația dintre ele: de exemplu, se verifică faptul că existența unei ramuri continue a argumentului este o condiție necesară și suficientă pentru existența unui continuum ramural al logaritmului.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică