Logaritm complex

Grafic de logaritm complex. Înălțimea descrie partea imaginară a logaritmului, în timp ce unghiul este determinat de culoare.

Logaritmul complex este o extensie a funcției logaritmului la câmpul numărului complex .

Pentru numerele reale avem următoarea relație:

y=\ln(x)\Leftrightarrow x=e^{y}{\text{ con }}x\in \mathbb {R} ^{+},y\in \mathbb {R} .

{\ displaystyle y = \ ln (x) \ Leftrightarrow x = e ^ {y} {\ text {con}} x \ in \ mathbb {R} ^ {+}, y \ in \ mathbb {R}.}

{\ displaystyle y = \ ln (x) \ Leftrightarrow x = e ^ {y} {\ text {con}} x \ in \ mathbb {R} ^ {+}, y \ in \ mathbb {R}.}

Această relație poate fi utilizată pentru a extinde logaritmul la câmpul complex:

w=\ln(z)\Leftrightarrow z=e^{w}{\text{ con }}w,z\in \mathbb {C} ,

{\ displaystyle w = \ ln (z) \ Leftrightarrow z = e ^ {w} {\ text {con}} w, z \ in \ mathbb {C},}

{\ displaystyle w = \ ln (z) \ Leftrightarrow z = e ^ {w} {\ text {con}} w, z \ in \ mathbb {C},}

cu singura condiție $z\neq 0$ ${\ displaystyle z \ neq 0}$ ${\ displaystyle z \ neq 0}$ . Această ultimă relație permite obținerea unei expresii explicite pentru $\ln(z)$ ${\ displaystyle \ ln (z)}$ ${\ displaystyle \ ln (z)}$ . Scris $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ în formă exponențială

z=\rho e^{i\theta },

{\ displaystyle z = \ rho e ^ {i \ theta},}

{\ displaystyle z = \ rho e ^ {i \ theta},}

rezultă că

\rho e^{i\theta }=z=e^{w}=e^{u+iv}=e^{u}\cdot e^{iv},

{\ displaystyle \ rho e ^ {i \ theta} = z = e ^ {w} = e ^ {u + iv} = e ^ {u} \ cdot e ^ {iv},}

{\ displaystyle \ rho e ^ {i \ theta} = z = e ^ {w} = e ^ {u + iv} = e ^ {u} \ cdot e ^ {iv},}

unde este $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ Și $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ ele reprezintă, respectiv, partea reală și imaginară a necunoscutului $\ln(z)$ ${\ displaystyle \ ln (z)}$ ${\ displaystyle \ ln (z)}$ . Din lanțul anterior de egalități urmează următoarele relații care determină $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ Și $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ :

|z|=\rho =e^{u}\Longrightarrow u=\ln |z|

{\ displaystyle | z | = \ rho = e ^ {u} \ Longrightarrow u = \ ln | z |}

{\ displaystyle | z | = \ rho = e ^ {u} \ Longrightarrow u = \ ln | z |}

e^{i\theta }=e^{iv}\Longrightarrow v=\arg(z)

{\ displaystyle e ^ {i \ theta} = e ^ {iv} \ Longrightarrow v = \ arg (z)}

{\ displaystyle e ^ {i \ theta} = e ^ {iv} \ Longrightarrow v = \ arg (z)}

Apoi puteți scrie

\ln(z)=\ln |z|+i\arg(z).

{\ displaystyle \ ln (z) = \ ln | z | + i \ arg (z).}

{\ displaystyle \ ln (z) = \ ln | z | + i \ arg (z).}

Observăm că logaritmul complex presupune valori infinite având în vedere că $\arg(z)$ ${\ displaystyle \ arg (z)}$ ${\ displaystyle \ arg (z)}$ conține toate numerele de tip $\theta +2k\pi$ ${\ displaystyle \ theta + 2k \ pi}$ ${\ displaystyle \ theta + 2k \ pi}$ , cu $k\in \mathbb {Z} .$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {Z}.}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {Z}.}$ Din acest motiv nu este într-adevăr o funcție, ci așa-numita funcție polidrom .

Curiozități despre logaritmul complex

Reamintind identitatea lui Euler : $e^{i\pi }=-1$ ${\ displaystyle e ^ {i \ pi} = - 1}$ ${\ displaystyle e ^ {i \ pi} = - 1}$ , este ușor să obțineți o definiție curioasă, dar fascinantă $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ : aplicarea logaritmului avem de fapt:

\ln(e^{i\pi })=\ln(-1)

{\ displaystyle \ ln (e ^ {i \ pi}) = \ ln (-1)}

{\ displaystyle \ ln (e ^ {i \ pi}) = \ ln (-1)}

i\pi =\ln(-1)

{\ displaystyle i \ pi = \ ln (-1)}

{\ displaystyle i \ pi = \ ln (-1)}

\pi ={\frac {\ln(-1)}{i}}

{\ displaystyle \ pi = {\ frac {\ ln (-1)} {i}}}

{\ displaystyle \ pi = {\ frac {\ ln (-1)} {i}}}

\pi =-i\ln(-1).

{\ displaystyle \ pi = -i \ ln (-1).}

{\ displaystyle \ pi = -i \ ln (-1).}

Numărul transcendent $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ este astfel descris în termeni de cantități complexe și logaritmi aparent imposibili. Pentru a explica singura imposibilitate aparentă a acestui lucru, putem aplica invers definiția logaritmului complex principal a $-1$ ${\ displaystyle -1}$ $-1$ :

\ln(-1)=\ln \vert -1\vert +i\!{\text{ arg}}(-1)=\ln 1+i\pi =0+i\pi =i\pi

{\ displaystyle \ ln (-1) = \ ln \ vert -1 \ vert + i \! {\ text {arg}} (- 1) = \ ln 1 + i \ pi = 0 + i \ pi = i \ pi}

{\ displaystyle \ ln (-1) = \ ln \ vert -1 \ vert + i \! {\ text {arg}} (- 1) = \ ln 1 + i \ pi = 0 + i \ pi = i \ pi}

și se obține din nou

{\frac {\ln(-1)}{i}}=\pi .

{\ displaystyle {\ frac {\ ln (-1)} {i}} = \ pi.}

{\ displaystyle {\ frac {\ ln (-1)} {i}} = \ pi.}

Logaritmul principal

Pentru a considera logaritmul complex ca o funcție, este necesar să se definească valoarea sa principală :

{\text{Ln}}(z)=\ln |z|+i\arg(z){\mbox{ con }}-\pi <\arg(z)<\pi .

{\ displaystyle {\ text {Ln}} (z) = \ ln | z | + i \ arg (z) {\ mbox {con}} - \ pi <\ arg (z) <\ pi.}

{\ displaystyle {\ text {Ln}} (z) = \ ln | z | + i \ arg (z) {\ mbox {con}} - \ pi <\ arg (z) <\ pi.}

Logaritmul principal este analitic despre orice $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ excluzând originea (unde logaritmul nu este definit) și semiaxa reală negativă (unde argumentul are un salt de discontinuitate egal cu $2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ ).

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică