Funcțiile Mathieu

În matematică , funcțiile Mathieu sunt funcții speciale definite ca soluții ale ecuației Mathieu , o ecuație diferențială obișnuită de ordinul doi, un caz special al ecuației Hill .

Funcțiile Mathieu sunt utile pentru a face față unei varietăți de probleme interesante în matematica aplicată, cum ar fi membranele vibratoare eliptice, diverse probleme referitoare la rezonanța parametrică sau soluțiile de unde plane plane în relativitatea generală . Au fost introduse în 1868 de matematicianul francez Émile Mathieu (1835-1890) atunci când studiau membranele vibrante.

Diverse funcții speciale legate de funcțiile Mathieu sunt implementate în sistemele de calcul Maple și Mathematica .

Definiție

Funcțiile Mathieu sunt definite ca soluțiile ecuației Mathieu:

{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+[a-2q\cos(2x)]\,y=0

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + [a-2q \ cos (2x)] \, y = 0}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} + [a-2q \ cos (2x)] \, y = 0}

Înlocuitorul $x\rightarrow \arccos(x)$ ${\ displaystyle x \ rightarrow \ arccos (x)}$ ${\ displaystyle x \ rightarrow \ arccos (x)}$ vă permite să dați acestei ecuații forma rațională :

{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {x}{1-x^{2}}}\,{\frac {dy}{dx}}+{\frac {(4x^{2}-2)\,q-a}{1-x^{2}}}\,y

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} = {\ frac {x} {1-x ^ {2}}} \, {\ frac {dy} {dx} } + {\ frac {(4x ^ {2} -2) \, qa} {1-x ^ {2}}} \, y}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y} {dx ^ {2}}} = {\ frac {x} {1-x ^ {2}}} \, {\ frac {dy} {dx} } + {\ frac {(4x ^ {2} -2) \, qa} {1-x ^ {2}}} \, y}

Aceasta are două singularități regulate pentru $x=\pm 1$ ${\ displaystyle x = \ pm 1}$ ${\ displaystyle x = \ pm 1}$ și o singularitate infinit neregulată; aceasta implică faptul că, în general (contrar a ceea ce se întâmplă cu majoritatea funcțiilor speciale) soluțiile ecuației Mathieu nu pot fi exprimate în termeni de funcții hipergeometrice .

Soluția Floquet pentru orice eventualitate

a=1

{\ displaystyle a = 1}

a = 1

,

q={\frac {1}{5}}

{\ displaystyle q = {\ frac {1} {5}}}

{\ displaystyle q = {\ frac {1} {5}}}

Și

\mu \approx 1+0.0995i

{\ displaystyle \ mu \ approx 1 + 0.0995i}

{\ displaystyle \ mu \ approx 1 + 0.0995i}

(partea reală în roșu, partea imaginară în verde)

Funcția cosinus a lui Mathieu: în roșu graficul lui

C(0.3,0.1,x)

{\ displaystyle C (0.3,0.1, x)}

{\ displaystyle C (0.3,0.1, x)}

.

Funcția cosinus a lui Mathieu: în roșu graficul lui

C'(0.3,0.1,x)

{\ displaystyle C '(0.3,0.1, x)}

{\ displaystyle C '(0.3,0.1, x)}

.

Soluția Floquet

Mulțumită teoremei lui Floquet , pentru valori fixe de $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ , Ecuația lui Mathieu admite o soluție complexă a formei:

F(a,q,x)=\exp(i\mu )\,P(a,q,x)

{\ displaystyle F (a, q, x) = \ exp (i \ mu) \, P (a, q, x)}

{\ displaystyle F (a, q, x) = \ exp (i \ mu) \, P (a, q, x)}

unde este $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este un număr complex, numit exponentul lui Mathieu și $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ este o funcție complexă, care este periodică cu perioada $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ . Cu toate acestea, în general, funcția $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ nu este sinusoidal.

Funcțiile sinusului și cosinusului Mathieu

Pentru $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ fix, definim funcția cosinusului Mathieu $\,C(a,q,\xi )$ ${\ displaystyle \, C (a, q, \ xi)}$ ${\ displaystyle \, C (a, q, \ xi)}$ o funcție de $\xi$ ${\ displaystyle \ xi}$ $\ xi$ definită ca singura soluție a ecuației Mathieu care își asumă valoarea $\,C(a,q,0)=1$ ${\ displaystyle \, C (a, q, 0) = 1}$ ${\ displaystyle \, C (a, q, 0) = 1}$ și este o funcție uniformă sau echivalent pe care o are pentru derivată $C^{\prime }(a,q,0)=0$ ${\ displaystyle C ^ {\ prime} (a, q, 0) = 0}$ ${\ displaystyle C ^ {\ prime} (a, q, 0) = 0}$ .

În mod similar, este definită ca o funcție sinusoidală Mathieu $\,S(a,q,\xi )$ ${\ displaystyle \, S (a, q, \ xi)}$ ${\ displaystyle \, S (a, q, \ xi)}$ , singura soluție care își asumă valoare $S(a,q,0)=0$ ${\ displaystyle S (a, q, 0) = 0}$ ${\ displaystyle S (a, q, 0) = 0}$ și este o funcție ciudată sau echivalent pe care o are pentru derivată $S^{\prime }(a,q,0)=1$ ${\ displaystyle S ^ {\ prime} (a, q, 0) = 1}$ ${\ displaystyle S ^ {\ prime} (a, q, 0) = 1}$ .

Acestea sunt funcții cu valoare reală, strâns legate de soluția Floquet:

C(a,q,x)={\frac {\exp(i\mu )}{F(a,q,0)}}\,{\frac {P(a,q,x)+P(a,q,-x)}{2}}

{\ displaystyle C (a, q, x) = {\ frac {\ exp (i \ mu)} {F (a, q, 0)}} \, {\ frac {P (a, q, x) + P (a, q, -x)} {2}}}

{\ displaystyle C (a, q, x) = {\ frac {\ exp (i \ mu)} {F (a, q, 0)}} \, {\ frac {P (a, q, x) + P (a, q, -x)} {2}}}

S(a,q,x)={\frac {\exp(i\mu )}{F(a,q,0)}}\,{\frac {P(a,q,x)-P(a,q,-x)}{2}}

{\ displaystyle S (a, q, x) = {\ frac {\ exp (i \ mu)} {F (a, q, 0)}} \, {\ frac {P (a, q, x) - P (a, q, -x)} {2}}}

{\ displaystyle S (a, q, x) = {\ frac {\ exp (i \ mu)} {F (a, q, 0)}} \, {\ frac {P (a, q, x) - P (a, q, -x)} {2}}}

Soluția generală a ecuației Mathieu (pentru valori fixe de $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ ) este o combinație liniară a funcțiilor cosinusului și sinusului Mathieu.

Un caz special notabil este:

C(a,0,x)=\cos({\sqrt {a}}x)\qquad S(a,0,x)={\frac {\sin({\sqrt {a}}x)}{\sqrt {a}}}

{\ displaystyle C (a, 0, x) = \ cos ({\ sqrt {a}} x) \ qquad S (a, 0, x) = {\ frac {\ sin ({\ sqrt {a}} x )} {\ sqrt {a}}}}

{\ displaystyle C (a, 0, x) = \ cos ({\ sqrt {a}} x) \ qquad S (a, 0, x) = {\ frac {\ sin ({\ sqrt {a}} x )} {\ sqrt {a}}}}

În general, sinusul și cosinusul lui Mathieu sunt funcții aperiodice. Cu toate acestea, pentru valori mici de $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ , avem egalitățile aproximative:

C(a,q,x)\approx \cos({\sqrt {a}}x)\qquad C^{\prime }(a,q,x)\approx {\sqrt {a}}\cos({\sqrt {a}}x)

{\ displaystyle C (a, q, x) \ approx \ cos ({\ sqrt {a}} x) \ qquad C ^ {\ prime} (a, q, x) \ approx {\ sqrt {a}} \ cos ({\ sqrt {a}} x)}

{\ displaystyle C (a, q, x) \ approx \ cos ({\ sqrt {a}} x) \ qquad C ^ {\ prime} (a, q, x) \ approx {\ sqrt {a}} \ cos ({\ sqrt {a}} x)}

Soluții periodice

Dat $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ , pentru un set numărabil de valori speciale de $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , numite valori caracteristice , ecuația Mathieu admite soluții periodice ale perioadei $2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ . Notăm valorile caracteristice ale cosinusului și respectiv ale sinusului Mathieu cu $a_{n}(q)$ ${\ displaystyle a_ {n} (q)}$ ${\ displaystyle a_ {n} (q)}$ Și $b_{n}(q)$ ${\ displaystyle b_ {n} (q)}$ ${\ displaystyle b_ {n} (q)}$ , unde n rulează pe numere naturale . Funcțiile periodice speciale ale cosinusului și sinusului Mathieu sunt deseori scrise $CE(n,q,x),\,SE(n,q,x)$ ${\ displaystyle CE (n, q, x), \, SE (n, q, x)}$ ${\ displaystyle CE (n, q, x), \, SE (n, q, x)}$ respectiv; în mod tradițional, acestea au fost normalizate în mod diferit, cu o normalizare diferită constând în cererea ca norma lor $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ a fost egal cu $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ ). Deci pentru valorile pozitive ale $q$ ${\ displaystyle q}$ $q$ avem:

C\left(a_{n}(q),q,x\right)={\frac {CE(n,q,x)}{CE(n,q,0)}}\qquad S\left(b_{n}(q),q,x\right)={\frac {SE(n,q,x)}{SE^{\prime }(n,q,0)}}

{\ displaystyle C \ left (a_ {n} (q), q, x \ right) = {\ frac {CE (n, q, x)} {CE (n, q, 0)}} \ qquad S \ left (b_ {n} (q), q, x \ right) = {\ frac {SE (n, q, x)} {SE ^ {\ prime} (n, q, 0)}}}

{\ displaystyle C \ left (a_ {n} (q), q, x \ right) = {\ frac {CE (n, q, x)} {CE (n, q, 0)}} \ qquad S \ left (b_ {n} (q), q, x \ right) = {\ frac {SE (n, q, x)} {SE ^ {\ prime} (n, q, 0)}}}

Primele funcții ale cosinusului Mathieu care sunt periodice în raport cu

q=1

{\ displaystyle q = 1}

q = 1

. Rețineți că, de exemplu,

\,CE(1,1,x)

{\ displaystyle \, CE (1,1, x)}

{\ displaystyle \, CE (1,1, x)}

(în verde) arată ca o funcție cosinus, dar are înălțimi mai fine și văi mai largi.

Bibliografie

( FR ) Emile Mathieu Mémoire sur le movement vibratoire d'une membrane de forme elliptique. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (2) 13 , 137 (1868).
( FR ) Pierre Humbert Fonctions de Lamé et fonctions de Mathieu Mémorial des sciences mathématiques, nr. 10 (Gauthier-Villars, Paris, 1926).
( EN ) EGC Poole Introducere în teoria ecuațiilor diferențiale liniare p. 178 (Clarendon Press, Oxford, 1936)
( EN ) ET Whittaker și GN Watson Modern Analysis p. 404 (Cambridge University Press, 1927)
( EN ) M. Abramowitz și I. Stegun Handbook of Mathematical Functions (Dover, New York, 1972) p. 721
( EN ) NW McLachlan (1962): Teoria și aplicarea funcțiilor Mathieu , Dover, ISBN inexistent (reeditare a ediției din 1947) Biblioteca digitală din India, imagini TIFF ale paginilor IIT Biblioteca digitală din India, imagini TIFF ale paginilor IISc

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) VM Starzhinskii, ecuația Mathieu , în Encyclopaedia of Mathematics , Springer și European Mathematical Society, 2002.
( EN ) Eric W. Weisstein, funcția Mathieu , în MathWorld , Wolfram Research.
[1] în site-ul funcțiilor Wolfram.
Ecuația Mathieu în EqWorld
Julio C. Gutiérrez-Vega teoria și analiza numerică a funcțiilor Mathieu

Controlul autorității	Tezaur BNCF 58201 · LCCN (EN) sh85082191 · BNF (FR) cb12292729s (data) · NDL (EN, JA) 00.567.523

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică