Seria hipergeometrică

În matematică, o serie hipergeometrică este o serie de puteri într-o singură variabilă $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ în care raportul dintre coeficienții a două puteri succesive $z^{n}$ ${\ displaystyle z ^ {n}}$ $z ^ {n}$ Și $z^{n+1}$ ${\ displaystyle z ^ {n + 1}}$ $z ^ {n + 1}$ este o funcție rațională a $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . O astfel de serie, dacă converge, definește, prin continuarea analitică , o funcție analitică numită funcție hipergeometrică .

Funcțiile hipergeometrice sunt soluțiile ecuației hipergeometrice .

Introducere

O formă generală pentru seriile hipergeometrice este următoarea:

\,_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\beta _{n}z^{n}}{n!}}

{\ displaystyle \, _ {p} F_ {q} (a_ {1}, \ ldots, a_ {p}; b_ {1}, \ ldots, b_ {q}; z) = \ sum _ {n = 0 } ^ {\ infty} {\ frac {\ beta _ {n} z ^ {n}} {n!}}}

\, _ pF_q (a_1, \ ldots, a_p; b_1, \ ldots, b_q; z) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {\ beta_n z ^ n} {n!}

unde este $\,\beta _{0}=1$ ${\ displaystyle \, \ beta _ {0} = 1}$ $\, \ beta_0 = 1$ Și:

{\frac {\beta _{n+1}}{\beta _{n}}}={\frac {(n+a_{1})(n+a_{2})\cdots (n+a_{p})}{(n+b_{1})(n+b_{2})\cdots (n+b_{q})}}

{\ displaystyle {\ frac {\ beta _ {n + 1}} {\ beta _ {n}}} = {\ frac {(n + a_ {1}) (n + a_ {2}) \ cdots (n + a_ {p})} {(n + b_ {1}) (n + b_ {2}) \ cdots (n + b_ {q})}}}

\ frac {\ beta_ {n + 1}} {\ beta_n} = \ frac {(n + a_1) (n + a_2) \ cdots (n + a_p)} {(n + b_1) (n + b_2) \ cdots (n + b_q)}

Pentru seria generică puteți scrie, de asemenea:

\,_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{a_{1}}^{\overline {n}}{a_{2}}^{\overline {n}}\ldots {a_{p}}^{\overline {n}}}{{b_{1}}^{\overline {n}}{b_{2}}^{\overline {n}}\ldots {b_{q}}^{\overline {n}}}}\,{\frac {z^{n}}{n!}}

{\ displaystyle \, _ {p} F_ {q} (a_ {1}, \ ldots, a_ {p}; b_ {1}, \ ldots, b_ {q}; z) = \ sum _ {n = 0 } ^ {\ infty} {\ frac {{a_ {1}} ^ {\ overline {n}} {a_ {2}} ^ {\ overline {n}} \ ldots {a_ {p}} ^ {\ overline {n}}} {{b_ {1}} ^ {\ overline {n}} {b_ {2}} ^ {\ overline {n}} \ ldots {b_ {q}} ^ {\ overline {n}} }} \, {\ frac {z ^ {n}} {n!}}}

\, _ pF_q (a_1, \ ldots, a_p; b_1, \ ldots, b_q; z) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {{a_1} ^ {\ overline {n}} {a_2} ^ {\ overline {n}} \ ldots {a_p} ^ {\ overline {n}}} {{b_1} ^ {\ overline {n}} {b_2} ^ {\ overline {n}} \ ldots {b_q} ^ {\ overline {n}}} \, \ frac {z ^ n} {n!}

unde este $a^{\overline {n}}=(a)_{n}=a(a+1)\cdots (a+n-1)$ ${\ displaystyle a ^ {\ overline {n}} = (a) _ {n} = a (a + 1) \ cdots (a + n-1)}$ $a ^ {\ overline {n}} = (a) _n = a (a + 1) \ cdots (a + n-1)$ denotă factorialul în creștere , adică simbolul Pochhammer .

În principiu, o serie hipergeometrică poate fi orice serie formală de putere :

\sum _{n}\beta _{n}z^{n}

{\ displaystyle \ sum _ {n} \ beta _ {n} z ^ {n}}

\ sum_n \ beta_n z ^ n

în care raportul dintre adăugările succesive:

{\frac {\beta _{n+1}}{\beta _{n}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ beta _ {n + 1}} {\ beta _ {n}}}}

\ frac {\ beta_ {n + 1}} {\ beta_n}

este o funcție rațională a $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , adică puteți scrie:

{\frac {\beta _{n+1}}{\beta _{n}}}={\frac {{\tilde {P}}(n)}{{\tilde {Q}}(n)}}

{\ displaystyle {\ frac {\ beta _ {n + 1}} {\ beta _ {n}}} = {\ frac {{\ tilde {P}} (n)} {{\ tilde {Q}} ( n)}}}

\ frac {\ beta_ {n + 1}} {\ beta_n} = \ frac {\ tilde P (n)} {\ tilde Q (n)}

unde este ${\tilde {P}}(n)$ ${\ displaystyle {\ tilde {P}} (n)}$ $\ tilde P (n)$ Și ${\tilde {Q}}(n)$ ${\ displaystyle {\ tilde {Q}} (n)}$ $\ tilde Q (n)$ denotați două polinoame . Cel mai simplu exemplu este cel al seriei geometrice , al cărui raport este o constantă. Un alt exemplu este dat de seria funcției exponențiale , pentru care:

{\frac {\beta _{n+1}}{\beta _{n}}}={\frac {1}{n+1}}

{\ displaystyle {\ frac {\ beta _ {n + 1}} {\ beta _ {n}}} = {\ frac {1} {n + 1}}}

\ frac {\ beta_ {n + 1}} {\ beta_n} = \ frac {1} {n + 1}

O serie ca aceasta poate fi convenabilă pentru a fi considerată o funcție generatoare exponențială , plasând al n - lea coeficient în forma:

\beta _{n}={\frac {z^{n}\alpha _{n}}{n!}}~~{\mbox{e}}~~\alpha _{0}=1

{\ displaystyle \ beta _ {n} = {\ frac {z ^ {n} \ alpha _ {n}} {n!}} ~~ {\ mbox {e}} ~~ \ alpha _ {0} = 1 }

\ beta_n = \ frac {z ^ n \ alpha_n} {n!} ~~ \ mbox {e} ~~ \ alpha_0 = 1

Funcția exponențială oferă un bun exemplu pentru o discuție introductivă.

În matematică există numeroase serii interesante pentru care relația termenilor succesivi este o funcție rațională. Cu toate acestea, se întâmplă că, atunci când sunt exprimate ca funcții generatoare exponențiale, astfel de serii au o rază de convergență mai mare decât zero numai în condiții foarte stricte. Prin urmare, în mod convențional, termenul de serie hipergeometrică este utilizat doar limitat la cazurile în care seria definește o funcție analitică cu rază de convergență pozitivă. O astfel de funcție cu continuările sale analitice se numește funcție hipergeometrică .

Condițiile convergenței au fost date de Carl Friedrich Gauss , care a studiat cazul în care:

{\frac {\alpha _{n+1}}{\alpha _{n}}}={\frac {(n+a)(n+b)}{(n+c)}}

{\ displaystyle {\ frac {\ alpha _ {n + 1}} {\ alpha _ {n}}} = {\ frac {(n + a) (n + b)} {(n + c)}}}

\ frac {\ alpha_ {n + 1}} {\ alpha_n} = \ frac {(n + a) (n + b)} {(n + c)}

adică cazul așa-numitei serii hipergeometrice gaussiene sau a seriei hipergeometrice clasice standard denotate prin:

\,_{2}F_{1}(a,b,c;z)

{\ displaystyle \, _ {2} F_ {1} (a, b, c; z)}

\, _ 2F_1 (a, b, c; z)

Notaţie

Notația concisă standard pentru seria hipergeometrică generală este:

\,_{m}F_{p}

{\ displaystyle \, _ {m} F_ {p}}

\, _ mF_p

unde numerele întregi $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ Și $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ da gradele de polinoame $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ Și $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ , respectiv, cu care se exprimă relația:

{\frac {\alpha _{n+1}}{\alpha _{n}}}={\frac {P(n)}{Q(n)}}

{\ displaystyle {\ frac {\ alpha _ {n + 1}} {\ alpha _ {n}}} = {\ frac {P (n)} {Q (n)}}}

\ frac {\ alpha_ {n + 1}} {\ alpha_n} = \ frac {P (n)} {Q (n)}

De sine $m>p+1$ ${\ displaystyle m> p + 1}$ $m> p + 1$ raza de convergență este zero și, prin urmare, nu se obține o funcție analitică. Seria se încheie în mod natural, pentru orice eventualitate $P(n)$ ${\ displaystyle P (n)}$ $P (n)$ dispare pentru un număr întreg pozitiv $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Dacă ar fi și zero $Q(n)$ ${\ displaystyle Q (n)}$ $Q (n)$ ar exista coeficienți nedefiniți.

Notarea completă a $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ presupune că $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ Și $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ sunt polinoame unitare și factorizate, astfel încât notația pentru $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ include un m-tuplu al zerourilor inverse (negative) ale lui $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ și un p-tuplu pentru cei din $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ . Aceasta nu este o mare restricție, deoarece prin teorema fundamentală a algebrei putem absorbi coeficientul primar al $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ sau $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ redefinind $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ . După factoring, termenul generic al seriei va fi exprimat ca raportul dintre produsele simbolurilor Pochhammer . Deoarece notația lui Pochhammer pentru factorialele în creștere este tradițională, este mai convenabil de indicat $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ cu lista de zerouri inverse. Prin urmare, avem:

\,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a^{\overline {n}}b^{\overline {n}}}{c^{\overline {n}}}}\,{\frac {z^{n}}{n!}}

{\ displaystyle \, _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {a ^ {\ overline {n}} b ^ {\ overline {n}}} {c ^ {\ overline {n}}}} \, {\ frac {z ^ {n}} {n!}}}

\, _ 2F_1 (a, b; c; z) = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {a ^ {\ overline {n}} b ^ {\ overline {n}}} {c ^ { \ overline {n}}} \, \ frac {z ^ n} {n!}

Zero-urile din $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ sunt aici $-a$ ${\ displaystyle -a}$ $-la$ Și $-b$ ${\ displaystyle -b}$ $-b$ , în timp ce cel al $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ Și $-c$ ${\ displaystyle -c}$ $-c$ .

Ecuația hipergeometrică

Același subiect în detaliu: ecuația hipergeometrică .

Funcția hipergeometrică este o soluție a ecuației diferențiale hipergeometrice:

z(1-z){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {dw}{dz}}-abw=0

{\ displaystyle z (1-z) {\ frac {d ^ {2} w} {dz ^ {2}}} + \ left [c- (a + b + 1) z \ right] {\ frac {dw } {dz}} - abw = 0}

z (1-z) \ frac {d ^ 2w} {dz ^ 2} + \ left [c- (a + b + 1) z \ right] \ frac {dw} {dz} - abw = 0

care are trei singularități regulate în 0,1 și ∞. Acesta este un caz special al ecuației Papperitz-Riemann .

Cazuri și aplicații speciale

Toate polinoamele ortogonale pot fi exprimate ca cazuri speciale de ${\;}_{2}F_{1}$ ${\ displaystyle {\;} _ {2} F_ {1}}$ ${\;} _ 2F_1$ cu cel puțin unul dintre parametri $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ întreg negativ. Polinomii lui Legendre sunt, de asemenea, serii hipergeometrice particulare.

Seriile hipergeometrice sunt utilizate și în inversarea integralelor eliptice .

Funcția Kummer ${\;}_{1}F_{1}(a,b;z)$ ${\ displaystyle {\;} _ {1} F_ {1} (a, b; z)}$ ${\;} _ 1F_1 (a, b; z)$ se mai numește și funcție hipergeometrică confluentă

Functia ${\;}_{2}F_{1}$ ${\ displaystyle {\;} _ {2} F_ {1}}$ ${\;} _ 2F_1$ are mai multe reprezentări integrale, inclusiv integrala hipergeometrică a lui Euler

Identitate

În secolele XIX și XX, au fost descoperite multe identități ale funcțiilor hipergeometrice ; o listă clasică de astfel de identități este cunoscută ca o listă a lui Bailey .

În prezent, este foarte clar că există o gamă foarte largă de astfel de identități și sunt cunoscuți diferiți algoritmi capabili să genereze și să demonstreze astfel de relații. Într-un anumit sens, ne aflăm într-o situație similară cu cea care vede utilizarea calculatoarelor pentru calculul sumelor și produselor; de asemenea, pentru elaborările de identități hipergeometrice, într-un anumit sens, rezultatul unui singur calcul nu contează atât de mult, ca și imaginile care se dezvăluie din seturi de elaborări.

Istoric istoric și generalizări

Trebuie amintite studiile din secolul al XIX-lea , inclusiv cele realizate de Ernst Kummer și caracterizarea fundamentală a funcției F de Bernhard Riemann prin ecuațiile diferențiale pe care le îndeplinește. Riemann a demonstrat că ecuația diferențială de ordinul doi (în z ) pentru F , în planul complex, poate fi identificată (pe sfera Riemann ) prin cele trei singularități sale regulate : întreaga parte algoritmică a teoriei este o consecință a rezultatelor bazei a transformărilor Möbius ca grup de simetrii.

Cazurile în care soluțiile sunt funcții algebrice au fost descoperite de Hermann Schwarz . Ulterior, seriile hipergeometrice au fost generalizate la mai multe variabile (a se vedea, de exemplu, lucrările lui Paul Émile Appell și Giuseppe Lauricella ). Ulterior au fost găsite multe identități, dintre care unele sunt demne de menționat. O generalizare, analogă seriei q , numită serie hipergeometrică de bază , a fost găsită de Eduard Heine la sfârșitul secolului al XIX-lea. În acest caz, relația dintre doi termeni succesivi, în loc să fie o funcție rațională în $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , este o funcție rațională a $q^{n}$ ${\ displaystyle q ^ {n}}$ $q ^ {n}$ .

O altă generalizare, seria hipergeometrică eliptică , sunt acele serii în care relația dintre termenii succesivi este o funcție eliptică a lui n (o funcție meromorfă dublu periodică).

În secolul al XX-lea, aceasta a fost o zonă foarte fructuoasă a matematicii combinatorii . Au fost găsite noi definiții ale seriilor hipergeometrice ( Aomoto , Israel Gelfand și colab.) Și noi aplicații, de exemplu, în aranjarea unui număr de hiperplane în spațiul N- dimensional complex.

Seria hipergeometrică poate fi dezvoltată pe spații Riemann simetrice și grupuri de Lie semi-simple. Importanța lor poate fi demonstrată prin următorul caz particular: seria ${}_{2}F_{1}$ ${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1}}$ ${} _2F_1$ este strâns legat de polinoamele Legendre și, sub formă de armonici sferice , exprimă proprietățile de simetrie ale sferelor Riemann sau rotațiile grupului Lie SO (3) .

Bibliografie

Salvatore Pincherle Funcții hipergeometrice și diverse probleme conexe. Battaglini Mathematics Journal (Napoli) 32 p. 411 (1894)
( FR ) Edouard Goursat Mémoire sur les fonctions hypergéométriques d'ordre supérieur Ann. Schi. Ec. Normă. Sup. 12 (2) 261 (1883)
( EN ) Milton Abramowitz, Irene A. Stegun, eds. (1972): Manual de funcții matematice cu formule, grafice și tabele matematice , Dover, ISBN 0-486-61272-4
- Capitolul 13. - $\,_{1}F_{1}$ ${\ displaystyle \, _ {1} F_ {1}}$ $\, _ 1F_1$ și $\,_{2}F_{0}$ ${\ displaystyle \, _ {2} F_ {0}}$ $\, _ 2F_0$
- Capitolul 15. - $\,_{2}F_{1}$ ${\ displaystyle \, _ {2} F_ {1}}$ $\, _ 2F_1$
( EN ) Eduardo Cattani (2006) „ Trei prelegeri despre funcții hipergeometrice ”, Publicații ale Facultății de Matematică Astronomică și Fizică - Universitatea Națională din Córdoba, Argentina - seria B nr. 48. (funcții hipergeometrice ale lui Gel'fand, Kapranov și Zelevinsky)
( EN ) LJ Slater (1966) Funcții hipergeometrice generalizate Cambridge University Press
( EN ) WN Bailey (1935) Generalized Hypergeometric Series Cambridge University Press
( EN ) Gerrit Heckman, Henrik Schlichtkrull (1994): Analiza armonică și funcții speciale pe spații simetrice , Academic Press, ISBN 0-12-336170-2 (Partea 1 tratează funcțiile hipergeometrice pe grupurile Lie.)
( EN ) Masaaki Yoshida (1997): Funcții hipergeometrice, Dragostea mea: interpretări modulare ale spațiilor de configurare , Friedrick Vieweg & Son, ISBN 3-528-06925-2
(EN) George Eyre Andrews, Richard Askey, Ranjan Roy (1999): Funcții speciale, Cambridge University Press, ISBN 0-521-62321-9 , MR 1688958