Seria Q hipergeometrică

În matematică , seriile q hipergeometrice , numite și serii hipergeometrice de bază , sunt generalizări q-analogice ale seriilor hipergeometrice obișnuite. Sunt definite în mod obișnuit două tipuri de serii q, seria q hipergeometrică unilaterală și seria q hipergeometrică bilaterală .

Terminologia este stabilită în analogie cu cea a seriilor hipergeometrice obișnuite. O serie obișnuită $\sum _{n}x_{n}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n} x_ {n}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n} x_ {n}}$ se numește serie hipergeometrică (obișnuită) dacă relația dintre termenii succesivi $x_{n+1}/x_{n}$ ${\ displaystyle x_ {n + 1} / x_ {n}}$ ${\ displaystyle x_ {n + 1} / x_ {n}}$ este o funcție rațională a lui n . Dacă, pe de altă parte, relația dintre termenii succesivi este o funcție rațională a $q^{n}$ ${\ displaystyle q ^ {n}}$ $q ^ {n}$ , seria corespunzătoare se numește serie q hipergeometrică.

Seria q hipergeometrică a fost analizată pentru prima dată de Eduard Heine în secolul al XIX-lea, pentru a identifica trăsăturile comune funcțiilor theta și funcțiilor eliptice ale lui Jacobi.

Definiție

Definim seriile q hipergeometrice cu o singură față în 2 k + 1 parametri și în variabila z

\;_{k+1}\phi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{0},&a_{1},&a_{2},&\ldots ,&a_{k}\\&b_{1},&b_{2},&\ldots ,&b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k};q)_{n}}{(q,b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}z^{n}

{\ displaystyle \; _ {k + 1} \ phi _ {k} \ left [{\ begin {matrix} a_ {0}, & a_ {1}, & a_ {2}, & \ ldots, & a_ { k} \ \ & b_ {1}, & b_ {2}, & \ ldots, & b_ {k} \ end {matrix}}; q, z \ right] = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {k}; q) _ {n}} {(q, b_ {1}, b_ {2} , \ ldots, b_ {k}; q) _ {n}}} z ^ {n}}

{\ displaystyle \; _ {k + 1} \ phi _ {k} \ left [{\ begin {matrix} a_ {0}, & a_ {1}, & a_ {2}, & \ ldots, & a_ { k} \ \ & b_ {1}, & b_ {2}, & \ ldots, & b_ {k} \ end {matrix}}; q, z \ right] = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {k}; q) _ {n}} {(q, b_ {1}, b_ {2} , \ ldots, b_ {k}; q) _ {n}}} z ^ {n}}

unde este

(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}

{\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {m}; q) _ {n} = (a_ {1}; q) _ {n} (a_ {2}; q) _ {n} \ ldots (a_ {m}; q) _ {n}}

{\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {m}; q) _ {n} = (a_ {1}; q) _ {n} (a_ {2}; q) _ {n} \ ldots (a_ {m}; q) _ {n}}

este factorul q în creștere .

Seria q hipergeometrică bilaterală în 2 k parametri și în variabila z este definită ca

\;_{k}\psi _{k}\left[{\begin{matrix}a_{1},&a_{2},&\ldots ,&a_{k}\\b_{1},&b_{2},&\ldots ,&b_{k}\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{k};q)_{n}}{(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{k};q)_{n}}}z^{n}

{\ displaystyle \; _ {k} \ psi _ {k} \ left [{\ begin {matrix} a_ {1}, & a_ {2}, & \ ldots, & a_ {k} \\ b_ {1} , & b_ {2}, & \ ldots, & b_ {k} \ end {matrix}}; q, z \ right] = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {( a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {k}; q) _ {n}} {(b_ {1}, b_ {2}, \ ldots, b_ {k}; q) _ {n }}} z ^ {n}}

{\ displaystyle \; _ {k} \ psi _ {k} \ left [{\ begin {matrix} a_ {1}, & a_ {2}, & \ ldots, & a_ {k} \\ b_ {1} , & b_ {2}, & \ ldots, & b_ {k} \ end {matrix}}; q, z \ right] = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {( a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {k}; q) _ {n}} {(b_ {1}, b_ {2}, \ ldots, b_ {k}; q) _ {n }}} z ^ {n}}

.

Exemple simple

Câteva exemple simple ale acestor serii includ

{\frac {z}{1-q}}\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q,&q\\&q^{2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{3}}}+\ldots

{\ displaystyle {\ frac {z} {1-q}} \; _ {2} \ phi _ {1} \ left [{\ begin {matrix} q, & q \\ & q ^ {2} \ end {matrice}} \ ;; q, z \ right] = {\ frac {z} {1-q}} + {\ frac {z ^ {2}} {1-q ^ {2}}} + {\ frac {z ^ {3}} {1-q ^ {3}}} + \ ldots}

{\ displaystyle {\ frac {z} {1-q}} \; _ {2} \ phi _ {1} \ left [{\ begin {matrix} q, & q \\ & q ^ {2} \ end {matrice}} \ ;; q, z \ right] = {\ frac {z} {1-q}} + {\ frac {z ^ {2}} {1-q ^ {2}}} + {\ frac {z ^ {3}} {1-q ^ {3}}} + \ ldots}

,

{\frac {z}{1-q^{1/2}}}\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q,&q^{1/2}\\&q^{3/2}\end{matrix}}\;;q,z\right]={\frac {z}{1-q^{1/2}}}+{\frac {z^{2}}{1-q^{3/2}}}+{\frac {z^{3}}{1-q^{5/2}}}+\ldots

{\ displaystyle {\ frac {z} {1-q ^ {1/2}}} \; _ {2} \ phi _ {1} \ left [{\ begin {matrix} q, & q ^ {1 / 2} \\ & q ^ {3/2} \ end {matrix}} \ ;; q, z \ right] = {\ frac {z} {1-q ^ {1/2}}} + {\ frac {z ^ {2}} {1-q ^ {3/2}}} + {\ frac {z ^ {3}} {1-q ^ {5/2}}} + \ ldots}

{\ displaystyle {\ frac {z} {1-q ^ {1/2}}} \; _ {2} \ phi _ {1} \ left [{\ begin {matrix} q, & q ^ {1 / 2} \\ & q ^ {3/2} \ end {matrix}} \ ;; q, z \ right] = {\ frac {z} {1-q ^ {1/2}}} + {\ frac {z ^ {2}} {1-q ^ {3/2}}} + {\ frac {z ^ {3}} {1-q ^ {5/2}}} + \ ldots}

Și

\;_{2}\phi _{1}\left[{\begin{matrix}q,&-1\\&-q\end{matrix}}\;;q,z\right]=1+{\frac {2z}{1+q}}+{\frac {2z^{2}}{1+q^{2}}}+{\frac {2z^{3}}{1+q^{3}}}+\ldots

{\ displaystyle \; _ {2} \ phi _ {1} \ left [{\ begin {matrix} q, & - 1 \\ & - q \ end {matrix}} \ ;; q, z \ right] = 1 + {\ frac {2z} {1 + q}} + {\ frac {2z ^ {2}} {1 + q ^ {2}}} + {\ frac {2z ^ {3}} {1 + q ^ {3}}} + \ ldots}

{\ displaystyle \; _ {2} \ phi _ {1} \ left [{\ begin {matrix} q, & - 1 \\ & - q \ end {matrix}} \ ;; q, z \ right] = 1 + {\ frac {2z} {1 + q}} + {\ frac {2z ^ {2}} {1 + q ^ {2}}} + {\ frac {2z ^ {3}} {1 + q ^ {3}}} + \ ldots}

Identități simple

Dintre identitățile mai simple subliniem

\;_{1}\phi _{0}(a;q,z)=\prod _{n=0}^{\infty }{\frac {1-aq^{n}z}{1-q^{n}z}}

{\ displaystyle \; _ {1} \ phi _ {0} (a; q, z) = \ prod _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1-aq ^ {n} z} { 1-q ^ {n} z}}}

{\ displaystyle \; _ {1} \ phi _ {0} (a; q, z) = \ prod _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1-aq ^ {n} z} { 1-q ^ {n} z}}}

Și

\;_{1}\phi _{0}(a;q,z)={\frac {1-az}{1-z}}\;_{1}\phi _{0}(a;q,qz)

{\ displaystyle \; _ {1} \ phi _ {0} (a; q, z) = {\ frac {1-az} {1-z}} \; _ {1} \ phi _ {0} ( a; q, qz)}

{\ displaystyle \; _ {1} \ phi _ {0} (a; q, z) = {\ frac {1-az} {1-z}} \; _ {1} \ phi _ {0} ( a; q, qz)}

Cazul particular referitor la $a=0$ ${\ displaystyle a = 0}$ $a = 0$ este strâns legată de funcția q-exponențială .

Identitatea Ramanujan

Ramanujan a descoperit identitatea

\;_{1}\psi _{1}\left[{\begin{matrix}a\\b\end{matrix}};q,z\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}={\frac {(b/a;q)_{\infty }\;(q;q)_{\infty }\;(q/az;q)_{\infty }\;(az;q)_{\infty }}{(b;q)_{\infty }\;(b/az;q)_{\infty }\;(q/a;q)_{\infty }\;(z;q)_{\infty }}}

{\ displaystyle \; _ {1} \ psi _ {1} \ left [{\ begin {matrix} a \\ b \ end {matrix}}; q, z \ right] = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {(a; q) _ {n}} {(b; q) _ {n}}} = {\ frac {(b / a; q) _ {\ infty} \; (q; q) _ {\ infty} \; (q / az; q) _ {\ infty} \; (az; q) _ {\ infty}} {(b; q) _ {\ infty} \; (b / az; q) _ {\ infty} \; (q / a; q) _ {\ infty} \; (z; q) _ {\ infty}}}}

{\ displaystyle \; _ {1} \ psi _ {1} \ left [{\ begin {matrix} a \\ b \ end {matrix}}; q, z \ right] = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {(a; q) _ {n}} {(b; q) _ {n}}} = {\ frac {(b / a; q) _ {\ infty} \; (q; q) _ {\ infty} \; (q / az; q) _ {\ infty} \; (az; q) _ {\ infty}} {(b; q) _ {\ infty} \; (b / az; q) _ {\ infty} \; (q / a; q) _ {\ infty} \; (z; q) _ {\ infty}}}}

valabil pentru $|q|<1$ ${\ displaystyle | q | <1}$ ${\ displaystyle | q | <1}$ Și $|b/a|<|z|<1$ ${\ displaystyle | b / a | <| z | <1}$ ${\ displaystyle | b / a | <| z | <1}$ . O identitate fundamentală similară cu cea anterioară $\,_{6}\psi _{6}$ ${\ displaystyle \, _ {6} \ psi _ {6}}$ ${\ displaystyle \, _ {6} \ psi _ {6}}$ a fost dat de Bailey. S-a înțeles că această identitate este o generalizare a teoremei triple a produsului lui Jacobi , care poate fi scrisă prin intermediul seriei q ca

\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n(n+1)/2}z^{n}=(q;q)_{\infty }\;(-1/z;q)_{\infty }\;(-zq;q)_{\infty }

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} q ^ {n (n + 1) / 2} z ^ {n} = (q; q) _ {\ infty} \; (- 1 / z; q) _ {\ infty} \; (- zq; q) _ {\ infty}}

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} q ^ {n (n + 1) / 2} z ^ {n} = (q; q) _ {\ infty} \; (- 1 / z; q) _ {\ infty} \; (- zq; q) _ {\ infty}}

.

În plus, această identitate generalizează, de asemenea, o identitate analogă cu privire la un produs cvintuplu.

Ken Ono propune o serie formală de puteri conexe

A(z;q)={\frac {1}{1+z}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(z;q)_{n}}{(-zq;q)_{n}}}z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}z^{2n}q^{n^{2}}.

{\ displaystyle A (z; q) = {\ frac {1} {1 + z}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(z; q) _ {n}} { (-zq; q) _ {n}}} z ^ {n} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} z ^ {2n} q ^ {n ^ { 2}}.}

{\ displaystyle A (z; q) = {\ frac {1} {1 + z}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(z; q) _ {n}} { (-zq; q) _ {n}}} z ^ {n} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} z ^ {2n} q ^ {n ^ { 2}}.}

Seria Q hipergeometrică generalizată

În general, urmărind Gasper și Rahman, definim seriile q hipergeometrice unilaterale în funcție de Gasper în parametrii r + s + 1 și în variabila z

\;_{r+1}\phi _{s}\left[{\begin{matrix}a_{0},&a_{1},&a_{2},&\ldots ,&a_{r}\\&b_{1},&b_{2},&\ldots ,&b_{s}\end{matrix}};q,z\right]:\!=\sum _{n=0}^{\infty }\{(-1)^{n}q^{n \choose 2}\}^{s-r}{\frac {(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r};q)_{n}}{(q,b_{1},b_{2},\ldots ,b_{s};q)_{n}}}z^{n}

{\ displaystyle \; _ {r + 1} \ phi _ {s} \ left [{\ begin {matrix} a_ {0}, & a_ {1}, & a_ {2}, & \ ldots, & a_ { r} \ \ & b_ {1}, & b_ {2}, & \ ldots, & b_ {s} \ end {matrix}}; q, z \ right]: \! = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ {(-1) ^ {n} q ^ {n \ alege 2} \} ^ {sr} {\ frac {(a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {r}; q) _ {n}} {(q, b_ {1}, b_ {2}, \ ldots, b_ {s}; q) _ {n}}} z ^ {n}}

{\ displaystyle \; _ {r + 1} \ phi _ {s} \ left [{\ begin {matrix} a_ {0}, & a_ {1}, & a_ {2}, & \ ldots, & a_ { r} \ \ & b_ {1}, & b_ {2}, & \ ldots, & b_ {s} \ end {matrix}}; q, z \ right]: \! = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ {(-1) ^ {n} q ^ {n \ alege 2} \} ^ {sr} {\ frac {(a_ {0}, a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {r}; q) _ {n}} {(q, b_ {1}, b_ {2}, \ ldots, b_ {s}; q) _ {n}}} z ^ {n}}

Bibliografie

Eduard Heine , Theorie der Kugelfunctionen , (1878) 1 , pp 97-125.
Eduard Heine, Handbuch der Kugelfunctionen. Theorie und Anwendung (1898) Springer, Berlin.
WN Bailey, Generalized Hypergeometric Series , (1935) Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, nr. 32 , Cambridge University Press, Cambridge.
Chu WenChang (1998): Seria de bază aproape hiperometrică , Memorii ale Societății Americane de Matematică, Nr. 642, ISBN 0-8218-0811-7 .
Thomas Ernst (2001): Teză de licență: Istoria calculului q și o nouă metodă (Universitatea din Uppsala)
W. Chu, L. Di Claudio (2004): Classical Partition Identities and Basic Hypergeometric Series ^{[ link} discontinuu ^] Caiete ale Departamentului de Matematică al Universității din Lecce.
Gwynneth H. Coogan și Ken Ono, A q-series identity and the Arithmetic of Hurwitz Zeta Functions , (2003) Proceedings of the American Mathematical Society 131 , pp. 719-724
George Gasper și Mizan Rahman, Seria de bază hipergeometrică, ediția a doua , (2004), Enciclopedia matematicii și aplicațiile sale, 96 , Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4 .
Sylvie Corteel și Jeremy Lovejoy, Frobenius Partitions and the Combinatorics of Ramanujan's $\,_{1}\psi _{1}$ ${\ displaystyle \, _ {1} \ psi _ {1}}$ ${\ displaystyle \, _ {1} \ psi _ {1}}$ Suma , ( nedatată )

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică