Functie exponentiala

În funcție de variabila reală x , e ^x este întotdeauna pozitivă și în creștere . Semiaxa negativă a axei x este o asimptotă orizontală a graficului.

În matematică , funcția exponențială este funcția care se leagă de o valoare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ exponențiere pe baza numărului lui Euler $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ și exponent $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Alegerea bazei $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ este motivat de faptul că, în acest fel, derivata funcției exponențiale este însăși funcția exponențială. De obicei este reprezentat ca $e^{x}$ ${\ displaystyle e ^ {x}}$ $și ^ x$ , sau $\exp(x)$ ${\ displaystyle \ exp (x)}$ $\ exp (x)$ când este dificil să scrii variabila ca exponent.

Este de mare importanță în multe domenii ale matematicii, cum ar fi trigonometria , studiul ecuațiilor diferențiale , teoria dezvoltărilor lui Taylor , studiul transformărilor integrale . Poate fi definit nu numai pe numere reale , ci și pe numere complexe sau chiar pe obiecte mai complicate, cum ar fi matrici pătrate sau operatori. Este, de asemenea, funcția inversă a funcției logaritmice .

Definiții

Același subiect în detaliu: Definiții funcționale exponențiale .

Funcția exponențială (în albastru) este suma primilor termeni n + 1 din seria de putere prin care este definită (în roșu).

Funcția exponențială poate fi definită în mai multe moduri: una dintre cele mai utilizate, deoarece poate fi generalizată în multe zone, este definiția prin seria sa de putere .

Se numește funcție exponențială $\exp(x)$ ${\ displaystyle \ exp (x)}$ $\ exp (x)$ funcția continuă definită prin suma următoarelor serii ^[1]

\exp(x)\equiv e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots ,

{\ displaystyle \ exp (x) \ equiv e ^ {x} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {x ^ {n} \ over n!} = 1 + x + {x ^ {2 } \ over 2!} + {x ^ {3} \ over 3!} + {x ^ {4} \ over 4!} + \ cdots,}

\ exp (x) \ equiv e ^ x = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} {x ^ n \ over n!} = 1 + x + {x ^ 2 \ over 2!} + {x ^ 3 \ over 3!} + {X ^ 4 \ over 4!} + \ Cdots,

a spus seria exponențială , unde $n!$ ${\ displaystyle n!}$ $n!$ denotă factorialul de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Definiția este bine pusă, deoarece seria de putere converge absolut pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ (atât reale cât și complexe). Mai mult, seria converge uniform pe fiecare subset delimitat al câmpului complex și, în consecință, pe funcție $\exp(x)$ ${\ displaystyle \ exp (x)}$ $\ exp (x)$ poate fidiferențiat într-un sens complex în fiecare punct al planului complex .

Într-un mod diferit, dar complet echivalent, funcția exponențială poate fi definită ca limita secvenței

e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n},

{\ displaystyle e ^ {x} = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ left (1 + {\ frac {x} {n}} \ right) ^ {n},}

e ^ x = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ left (1 + \ frac {x} {n} \ right) ^ n,

convergente pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ (real sau complex).

Echivalența definițiilor

Definițiile

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}\qquad e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}

{\ displaystyle e ^ {x} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {x ^ {n} \ over n!} \ qquad e ^ {x} = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty } \ left (1 + {\ frac {x} {n}} \ right) ^ {n}}

e ^ x = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} {x ^ n \ over n!} \ qquad e ^ x = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ left (1 + \ frac {x} {n} \ dreapta) ^ n

sunt coincidente. De fapt, datorită teoremei binomiale avem:

\ \left(1+{x \over n}\right)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}1^{n-k}{{x^{k}} \over {n^{k}}}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{{x^{k}} \over {n^{k}}},

{\ displaystyle \ \ left (1+ {x \ over n} \ right) ^ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ choose k} 1 ^ {nk} {{x ^ {k}} \ over {n ^ {k}}} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ alege k} {{x ^ {k}} \ over {n ^ {k}} },}

\ \ left (1 + {x \ over n} \ right) ^ n = \ sum_ {k = 0} ^ {n} {n \ alege k} 1 ^ {nk} {{x ^ k} \ over {n ^ k}} = \ sum_ {k = 0} ^ {n} {n \ alege k} {{x ^ k} \ peste {n ^ k}},

unde este:

\ {n \choose k}=\ {n! \over k!(n-k)!}={\prod _{h=0}^{k-1}{n-h} \over k!}.

{\ displaystyle \ {n \ alege k} = \ {n! \ over k! (nk)!} = {\ prod _ {h = 0} ^ {k-1} {nh} \ over k!}.}

\ {n \ alege k} = \ {n! \ over k! (n-k)!} = {\ prod_ {h = 0} ^ {k-1} {n-h} \ over k!}.

În consecință se obține

{\begin{aligned}\left(1+{x \over n}\right)^{n}&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{{x^{k}} \over {n^{k}}}\\&=\sum _{k=0}^{n}{\prod _{h=0}^{k-1}{n-h} \over {n^{k}}}{{x^{k}} \over {k!}}\\&=\sum _{k=0}^{n}{{x^{k}} \over {k!}}\left[{{n-0} \over {n}}{{n-1} \over {n}}{{n-2} \over {n}}\cdots {{n-(k-1)} \over {n}}\right]\\&=\sum _{k=0}^{n}{{x^{k}} \over {k!}}\left[1\left(1-{{1} \over {n}}\right)\left(1-{{2} \over {n}}\right)\left(1-{{3} \over {n}}\right)\cdots \left(1-{{k-1} \over {n}}\right)\right].\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ left (1+ {x \ over n} \ right) ^ {n} & = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ alege k} {{x ^ {k}} \ over {n ^ {k}}} \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ prod _ {h = 0} ^ {k-1} {nh} \ peste {n ^ {k}}} {{x ^ {k}} \ peste {k!}} \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {{x ^ {k}} \ over {k!}} \ left [{{n-0} \ over {n}} {{n-1} \ over {n}} {{n-2} \ over {n}} \ cdots {{n- (k-1)} \ over {n}} \ right] \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {{x ^ {k}} \ over {k!}} \ left [1 \ left (1 - {{1} \ over {n}} \ right) \ left (1 - {{2} \ over {n}} \ right) \ left (1 - {{3} \ over {n} } \ right) \ cdots \ left (1 - {{k-1} \ over {n}} \ right) \ right]. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ left (1+ {x \ over n} \ right) ^ {n} & = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ alege k} {{x ^ {k}} \ over {n ^ {k}}} \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ prod _ {h = 0} ^ {k-1} {nh} \ peste {n ^ {k}}} {{x ^ {k}} \ peste {k!}} \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {{x ^ {k}} \ over {k!}} \ left [{{n-0} \ over {n}} {{n-1} \ over {n}} {{n-2} \ over {n}} \ cdots {{n- (k-1)} \ over {n}} \ right] \\ & = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {{x ^ {k}} \ over {k!}} \ left [1 \ left (1 - {{1} \ over {n}} \ right) \ left (1 - {{2} \ over {n}} \ right) \ left (1 - {{3} \ over {n} } \ right) \ cdots \ left (1 - {{k-1} \ over {n}} \ right) \ right]. \ end {align}}}

Luând în considerare limita pentru $\ n\to \infty$ ${\ displaystyle \ n \ to \ infty}$ $\ n \ to \ infty$ avem:

\ \lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}{{x^{k}} \over {k!}}\left[1\left(1-{{1} \over {n}}\right)\left(1-{{2} \over {n}}\right)\left(1-{{3} \over {n}}\right)\cdots \left(1-{{k-1} \over {n}}\right)\right].

{\ displaystyle \ \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {k = 0} ^ {n} {{x ^ {k}} \ over {k!}} \ left [1 \ left (1- {{1} \ over {n}} \ right) \ left (1 - {{2} \ over {n}} \ right) \ left (1 - {{3} \ over {n}} \ right) \ cdots \ left (1 - {{k-1} \ over {n}} \ right) \ right].}

{\ displaystyle \ \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {k = 0} ^ {n} {{x ^ {k}} \ over {k!}} \ left [1 \ left (1- {{1} \ over {n}} \ right) \ left (1 - {{2} \ over {n}} \ right) \ left (1 - {{3} \ over {n}} \ right) \ cdots \ left (1 - {{k-1} \ over {n}} \ right) \ right].}

Pentru fiecare addendum al însumării, factorul

\ \left[1\left(1-{{1} \over {n}}\right)\left(1-{{2} \over {n}}\right)\left(1-{{3} \over {n}}\right)\cdots \left(1-{{k-1} \over {n}}\right)\right]

{\ displaystyle \ \ left [1 \ left (1 - {{1} \ over {n}} \ right) \ left (1 - {{2} \ over {n}} \ right) \ left (1- { {3} \ over {n}} \ right) \ cdots \ left (1 - {{k-1} \ over {n}} \ right) \ right]}

{\ displaystyle \ \ left [1 \ left (1 - {{1} \ over {n}} \ right) \ left (1 - {{2} \ over {n}} \ right) \ left (1- { {3} \ over {n}} \ right) \ cdots \ left (1 - {{k-1} \ over {n}} \ right) \ right]}

tinde spre 1. Mai mult, trecerea la limită transformă însumarea într-o serie infinită

\ \lim _{n\to \infty }\sum _{k=0}^{n}{{x^{k}} \over {k!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{{x^{k}} \over {k!}},

{\ displaystyle \ \ lim _ {n \ to \ infty} \ sum _ {k = 0} ^ {n} {{x ^ {k}} \ over {k!}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {{x ^ {k}} \ over {k!}},}

\ \ lim_ {n \ to \ infty} \ sum_ {k = 0} ^ {n} {{x ^ k} \ over {k!}} = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} {{x ^ k} \ peste {k!}},

din care rezultă că

\ \lim _{n\to \infty }\left(1+{x \over n}\right)^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{{x^{k}} \over {k!}}.

{\ displaystyle \ \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (1+ {x \ over n} \ right) ^ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {{x ^ {k}} \ peste {k!}}.}

\ \ lim_ {n \ to \ infty} \ left (1 + {x \ over n} \ right) ^ n = \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} {{x ^ k} \ over {k! }}.

Proprietate

Funcția exponențială (în albastru) este suma primilor termeni n + 1 din seria de puteri prin care este definită (în roșu).

Convergența absolută a seriei care definește funcția exponențială implică faptul că

\sum _{k=0}^{\infty }{a^{k} \over k!}\sum _{m=0}^{\infty }{b^{m} \over m!}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\sum _{k=0}^{n}{n! \over {k!(n-k)!}}a^{k}b^{n-k}=\sum _{n=0}^{\infty }{(a+b)^{n} \over n!},

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {a ^ {k} \ over k!} \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {b ^ {m} \ over m! } = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n!}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n! \ over {k! (nk)!}} a ^ {k} b ^ {nk} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {(a + b) ^ {n} \ over n!} ,}

\ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} {a ^ k \ over k!} \ sum_ {m = 0} ^ {\ infty} {b ^ m \ over m!} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {1} {n!} \ sum_ {k = 0} ^ {n} {n! \ over {k! (n-k)!}} a ^ k b ^ {n -k} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} {(a + b) ^ n \ over n!},

care arată proprietatea importantă ^[1]

\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b),

{\ displaystyle \ exp (a + b) = \ exp (a) \ exp (b),}

{\ displaystyle \ exp (a + b) = \ exp (a) \ exp (b),}

valabil pentru orice pereche de numere complexe $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ .

De asemenea, se arată că următoarele proprietăți sunt valabile pentru orice număr complex $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ : ^[2]

Numarul $\exp(z)$ ${\ displaystyle \ exp (z)}$ $\ exp (z)$ este diferit de zero.
Functia $f(z)=\exp(z)$ ${\ displaystyle f (z) = \ exp (z)}$ $f (z) = \ exp (z)$ este egal cu derivatul său.
Restricția funcției $f(z)=\exp(z)$ ${\ displaystyle f (z) = \ exp (z)}$ $f (z) = \ exp (z)$ la axa reală este o funcție monotonă și pozitivă.
Există un număr $π$ {\ displaystyle \ pi} $\ pi$ astfel încât
- $\exp \left({i\pi \over 2}\right)=i$ ${\ displaystyle \ exp \ left ({i \ pi \ over 2} \ right) = i}$ $\ exp \ left ({i \ pi \ over 2} \ right) = i$
- $\exp(z)=1\$ ${\ displaystyle \ exp (z) = 1 \}$ $\ exp (z) = 1 \$ dacă și numai dacă ${z \over 2\pi i}$ ${\ displaystyle {z \ over 2 \ pi i}}$ ${z \ peste 2 \ pi i}$ este întreg.
Functia $f(z)=\exp(z)$ ${\ displaystyle f (z) = \ exp (z)}$ $f (z) = \ exp (z)$ este periodic cu punct $2\pi i$ ${\ displaystyle 2 \ pi i}$ $2 \ pi i$
Funcția care se leagă de numărul real $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ numarul $\exp(it)$ ${\ displaystyle \ exp (it)}$ $\ exp (it)$ parametrizează cercul unității.
Pentru orice număr complex $w$ ${\ displaystyle w}$ $w$ există un număr diferit de zero $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ astfel încât $w=\exp(z)$ ${\ displaystyle w = \ exp (z)}$ $w = \ exp (z)$ .

Importanţă

Derivata funcției exponențiale este funcția în sine, de fapt:

{d \over dz}\exp(z)={\mathop {\lim _{h\to 0}} {{\exp \left({z+h}\right)-\exp \left(z\right)} \over h}}=\exp(z){\mathop {\lim _{h\to 0}} {{\exp \left({h}\right)-1} \over h}}=\exp(z).

{\ displaystyle {d \ over dz} \ exp (z) = {\ mathop {\ lim _ {h \ to 0}} {{\ exp \ left ({z + h} \ right) - \ exp \ left ( z \ right)} \ over h}} = \ exp (z) {\ mathop {\ lim _ {h \ to 0}} {{\ exp \ left ({h} \ right) -1} \ over h} } = \ exp (z).}

{d \ over dz} \ exp (z) = {\ mathop {\ lim_ {h \ to 0}} {{\ exp \ left ({z + h} \ right) - \ exp \ left (z \ right) } \ over h}} = \ exp (z) {\ mathop {\ lim_ {h \ to 0}} {{\ exp \ left ({h} \ right) - 1} \ over h}} = \ exp ( z).

Folosind definiția obținem, într-un mod echivalent:

{d \over dz}\exp(z)={d \over dz}\sum _{n=0}^{\infty }{z^{n} \over n!}=\sum _{n=0}^{\infty }{nz^{n-1} \over n!}=\sum _{n=1}^{\infty }{nz^{n-1} \over n!}=\sum _{n=1}^{\infty }{z^{n-1} \over (n-1)!}=\sum _{l=0}^{\infty }{z^{l} \over l!}=\exp(z).

{\ displaystyle {d \ over dz} \ exp (z) = {d \ over dz} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {z ^ {n} \ over n!} = \ sum _ { n = 0} ^ {\ infty} {nz ^ {n-1} \ over n!} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {nz ^ {n-1} \ over n!} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {z ^ {n-1} \ over (n-1)!} = \ sum _ {l = 0} ^ {\ infty} {z ^ {l} \ over l!} = \ exp (z).}

{d \ over dz} \ exp (z) = {d \ over dz} \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} {z ^ n \ over n!} = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} {nz ^ {n-1} \ over n!} = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} {nz ^ {n-1} \ over n!} = \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} {z ^ {n-1} \ over (n-1)!} = \ sum_ {l = 0} ^ {\ infty} {z ^ l \ over l!} = \ exp (z).

Funcțiile formei $ce^{x}$ ${\ displaystyle ce ^ {x}}$ $ce ^ x$ , cu $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ constant, ei sunt singurii care se bucură de această proprietate. Mai exact, pentru orice constantă reală $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ functia $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ $f: \ R \ to \ R$ în variabilă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ satisface ecuația diferențială $f'=kf$ ${\ displaystyle f '= kf}$ $f '= kf$ dacă și numai dacă $f=ce^{kx}$ ${\ displaystyle f = ce ^ {kx}}$ $f = ce ^ {kx}$ pentru unele constante $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ . În mod echivalent, se poate spune că panta graficului este în fiecare punct egală cu valoarea funcției în sine.

Pentru funcții exponențiale cu baze diferite avem:

{d \over dx}a^{x}=a^{x}\ln a.

{\ displaystyle {d \ over dx} a ^ {x} = a ^ {x} \ ln a.}

{d \ over dx} a ^ x = a ^ x \ ln a.

Fiecare exponențială este deci un multiplu al derivatei sale.

Pentru funcții exponențiale cu baze diferite și o constantă multiplicativă la exponent avem:

\left(a^{cx}\right)'={a^{cx}\ln a\cdot c}

{\ displaystyle \ left (a ^ {cx} \ right) '= {a ^ {cx} \ ln a \ cdot c}}

\ left (a ^ {cx} \ right) '= {a ^ {cx} \ ln a \ cdot c}

Functia $f(x)=e^{x}$ ${\ displaystyle f (x) = e ^ {x}}$ $f (x) = e ^ x$ iar funcțiile pe care le compune rezolvă o clasă de ecuații diferențiale care exprimă în termeni matematici multe dintre cele mai importante probleme fizice. În special, acest tip de funcție este utilizat atunci când rata de creștere a unei mărimi fizice este proporțională cu entitatea cantității în sine. Multe ecuații diferențiale importante dau naștere funcțiilor exponențiale, cum ar fi ecuația Schrödinger , ecuația Laplace sau mișcarea armonică simplă . Acesta definește așa-numita creștere exponențială, care este tipică pentru multe sisteme, fenomene fizice și demografice.

Trigonometrie

Interpretarea geometrică a formulei lui Euler pe planul complex .

Formula Euler vă permite să utilizați funcția exponențială pentru a reprezenta funcții trigonometrice . Formula afirmă că pentru orice număr real $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ avem:

e^{ix}=\cos x+i\sin x,

{\ displaystyle e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x,}

e ^ {{ix}} = \ cos x + i \ sin x,

unde este $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ este unitatea imaginară , în timp ce $\sin x$ ${\ displaystyle \ sin x}$ $\ sin x$ Și $\cos x$ ${\ displaystyle \ cos x}$ $\ cos x$ sunt respectiv sinus și cosinus .

Este o relație utilizată pentru a reprezenta numere complexe în coordonate polare și pentru a permite definirea logaritmului pentru argumente complexe. Reprezentarea funcției $e^{ix}$ ${\ displaystyle e ^ {ix}}$ $și ^ {{ix}}$ în planul complex este un cerc unitar și $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este unghiul format cu axa pozitivă reală de segmentul care unește originea cu un punct al cercului unitar, măsurat în sens invers acelor de ceasornic și în radiani.

Folosind proprietățile exponențialelor se pot obține cu ușurință multe identități trigonometrice și formula lui De Moivre . Formula lui Euler ne permite, de asemenea, să interpretăm funcțiile sinus și cosinus ca variante simple ale funcției exponențiale:

\cos x={e^{ix}+e^{-ix} \over 2},

{\ displaystyle \ cos x = {e ^ {ix} + e ^ {- ix} \ over 2},}

\ cos x = {e ^ {{ix}} + e ^ {{- ix}} \ peste 2},

\sin x={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i},

{\ displaystyle \ sin x = {e ^ {ix} -e ^ {- ix} \ over 2i},}

\ sin x = {e ^ {ix} - e ^ {- ix} \ peste 2i},

e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y).\

{\ displaystyle e ^ {z} = e ^ {x + iy} = e ^ {x} e ^ {iy} = e ^ {x} (\ cos y + i \ sin y). \}

e ^ z = e ^ {x + iy} = e ^ {x} e ^ {iy} = e ^ x (\ cos y + i \ sin y). \

Exponențialul complex este o funcție holomorfă și periodică cu o perioadă imaginară $2\pi i$ ${\ displaystyle 2 \ pi i}$ $2 \ pi i$ , care mapează fiecare linie a planului complex într-o spirală logaritmică centrată la origine. Acest lucru poate fi observat observând că liniile paralele cu axa reală și imaginară sunt mapate într-o linie și , respectiv, în cerc .

Extinderea definiției logaritmului natural la valori complexe duce la o funcție polidrom , logaritmul complex $\ln(z)$ ${\ displaystyle \ ln (z)}$ $\ ln (z)$ , care vă permite să definiți o exponențiere cu o altă bază decât $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ :

z^{w}=e^{w\ln z},

{\ displaystyle z ^ {w} = e ^ {w \ ln z},}

z ^ w = e ^ {w \ ln z},

pentru toate numerele complexe $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ Și $w$ ${\ displaystyle w}$ $w$ . Aceasta este, de asemenea, o funcție polidrom, iar legile exponențiale menționate anterior rămân valabile dacă sunt interpretate corect ca afirmații despre funcțiile polidrom.

Analiza armonică

Același subiect în detaliu: Seria Fourier și Transformata Fourier .

Un polinom trigonometric este o funcție periodică a perioadei $2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ definit pe câmpul real al tipului: ^[3]

f(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos(nt)+b_{n}\sin(nt)\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{int},

{\ displaystyle f (t) = a_ {0} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left [a_ {n} \ cos (nt) + b_ {n} \ sin (nt) \ right ] = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} c_ {n} e ^ {int},}

f (t) = a_0 + \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ left [a_n \ cos (nt) + b_n \ sin (nt) \ right] = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty c_n și ^ {int},

unde este $a_{i}$ ${\ displaystyle a_ {i}}$ $la}$ Și $b_{i}$ ${\ displaystyle b_ {i}}$ $bi}$ sunt numere complexe și n este întreg.

Este:

u_{n}(t)=e^{int}

{\ displaystyle u_ {n} (t) = e ^ {int}}

u_n (t) = e ^ {int}

și ambele:

\langle f,\,g\rangle \;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(t){\overline {g(t)}}\,dt

{\ displaystyle \ langle f, \, g \ rangle \; {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \; {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (t) {\ overline {g (t)}} \, dt}

\ langle f, \, g \ rangle \; {\ stackrel {{\ mathrm {def}}} {=}} \; {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {{- \ pi} } ^ {{\ pi}} f (t) \ overline {g (t)} \, dt

un produs intern în $L^{2}(T)$ ${\ displaystyle L ^ {2} (T)}$ $L ^ {2} (T)$ , unde este $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este circumferința unității .

Atunci $\{u_{n}=e^{int},n\in \mathbb {Z} \}$ ${\ displaystyle \ {u_ {n} = e ^ {int}, n \ in \ mathbb {Z} \}}$ $\ {u_ {n} = e ^ {{int}}, n \ in {\ mathbb {Z}} \}$ este o bază ortonormală în raport cu produsul intern astfel definit, de fapt: ^[4]

\langle u_{n},u_{m}\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{i(n-m)t}dt=\delta _{n,m}.

{\ displaystyle \ langle u_ {n}, u_ {m} \ rangle = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} e ^ {i (nm) t } dt = \ delta _ {n, m}.}

\ langle u_n, u_m \ rangle = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} e ^ {i (n-m) t} dt = \ delta_ {n, m}.

Un astfel de sistem ortonormal în $L^{2}(T)$ ${\ displaystyle L ^ {2} (T)}$ $L ^ {2} (T)$ se numește sistem ortonormal trigonometric și este un sistem complet.

Se numește seria Fourier a unei funcții $f\in L^{2}(T)$ ${\ displaystyle f \ în L ^ {2} (T)}$ $f \ în L ^ {2} (T)$ un pătrat însumabil este reprezentarea funcției prin intermediul unei combinații liniare a vectorilor de bază $u_{n}$ ${\ displaystyle u_ {n}}$ $A}$ al sistemului ortonormal trigonometric: ^[5]

\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)u_{n}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)e^{int}.

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} f (n) u_ {n} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} f (n) e ^ {int }.}

\ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty f (n) u_n = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty f (n) e ^ {int}.

Coeficienții combinației sunt, prin urmare, proiecția funcției pe baza vectorilor înșiși:

f(n):={\frac {\langle f,u_{n}\rangle }{\|u_{n}\|^{2}}}=\langle f,u_{n}\rangle ={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }\,f(t)\,e^{-int}dt

{\ displaystyle f (n): = {\ frac {\ langle f, u_ {n} \ rangle} {\ | u_ {n} \ | ^ {2}}} = \ langle f, u_ {n} \ rangle = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} \, f (t) \, e ^ {- int} dt}

f (n): = \ frac {\ langle f, u_n \ rangle} {\ | u_n \ | ^ 2} = \ langle f, u_n \ rangle = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ pi} ^ \ pi \, f (t) \, e ^ {- int} dt

și se numesc coeficienți Fourier .

Să presupunem că extindeți $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ la un interval suficient de mare încât să susțină o funcție periodică $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ cu punct $T=2\pi$ ${\ displaystyle T = 2 \ pi}$ $T = 2 \ pi$ este cuprins în $[-T/2,T/2]$ ${\ displaystyle [-T / 2, T / 2]}$ $[-T / 2, T / 2]$ . Apoi coeficientul n $f(n)$ ${\ displaystyle f (n)}$ $f (n)$ este dat de:

f(n)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-T/2}^{T/2}f(x)\,e^{-i(2\pi {\frac {n}{T}})x}dx.

{\ displaystyle f (n) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (x) \, e ^ {- i (2 \ pi {\ frac {n} {T}}) x} dx.}

f (n) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (x) \, e ^ {- i (2 \ pi \ frac n T) x} dx.

În mod informal se poate spune că pe măsură ce lățimea intervalului crește $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ pe care se calculează seria Fourier a unei funcții $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ coeficienții seriei aproximează valoarea transformatei Fourier ${\hat {f}}(t)$ ${\ displaystyle {\ hat {f}} (t)}$ $\ hat f (t)$ funcției în sine, iar suma seriei aproximează valoarea transformării inverse. Mai exact, pentru orice eventualitate $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ este identic zero în afara intervalului de integrare $[-T/2,T/2]$ ${\ displaystyle [-T / 2, T / 2]}$ $[-T / 2, T / 2]$ , valoarea celui de-al n-lea coeficient Fourier este egală cu ${\mathcal {F}}\{f\}({n \over T})$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {f \} ({n \ peste T})}$ $\ mathcal {F} \ {f \} ({n \ peste T})$ . Se extinde $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ transformata Fourier se obține în acest fel la întreaga axă reală.

Definim transformata Fourier a unei funcții $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ aparținând spațiului Schwartz integral: ^[6]

{\mathcal {F}}\{f\}(t)={\hat {f}}(t):={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }f(x)e^{-ixt}\,dx\qquad \forall t\in \mathbb {R} .

{\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ {f \} (t) = {\ hat {f}} (t): = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {\ mathbb {R}} f (x) e ^ {- ixt} \, dx \ qquad \ forall t \ in \ mathbb {R}.}

\ mathcal {F} \ {f \} (t) = \ hat {f} (t): = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {\ R} f (x) e ^ {-ixt} \, dx \ qquad \ forall t \ in \ R.

De cand $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ aparține lui $L^{1}(\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle L ^ {1} (\ mathbb {R})}$ $L ^ {1} (\ mathbb {R})$ , integralul este bine definit pentru orice număr real. Ca o consecință a teoremei lui Plancherel , transformarea poate fi extinsă într-un mod unic și în spațiul Hilbert $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ totuși, ca funcție punctuală, este definită aproape peste tot în acel set. ^[7]

Algebra Banach

Același subiect în detaliu: funcția matricei și matricea exponențială .

Asocierea unei serii Taylor la exponențială ne permite să extindem conceptul la orice algebră Banach .

În special, este util să se aplice matricilor pătrate :

e^{A}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {A^{k}}{k!}}=I+A+{\frac {A^{2}}{2}}+{\frac {A^{3}}{6}}+\cdots ,

{\ displaystyle e ^ {A} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {A ^ {k}} {k!}} = I + A + {\ frac {A ^ {2 }} {2}} + {\ frac {A ^ {3}} {6}} + \ cdots,}

e ^ A = \ sum_ {k = 0} ^ \ infty \ frac {A ^ k} {k!} = I + A + \ frac {A ^ 2} {2} + \ frac {A ^ 3} {6 } + \ cdots,

unde este $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este matricea identică de rang $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ Și $A^{n}$ ${\ displaystyle A ^ {n}}$ $A ^ n$ este ridicarea la puterea matricei . Matricea exponențială are aceleași proprietăți ca și exponențialul scalar, cum ar fi cea de inversibilitate și unitaritate a elevației la matricea nulă și cele ale puterilor, cu excepția următoarelor:

e^{X+Y}=e^{X}e^{Y}

{\ displaystyle e ^ {X + Y} = e ^ {X} e ^ {Y}}

e ^ {X + Y} = e ^ X e ^ Y

care este valabil numai dacă produsul este comutativ $xy=yx$ ${\ displaystyle xy = yx}$ $xy = yx$ , în general nu este adevărat pentru toate perechile de matrice (în cazul necomutativ este necesară formula Baker-Campbell-Hausdorff ).

Avem și asta $e^{X}$ ${\ displaystyle e ^ {X}}$ $și ^ {X}$ este inversabil, iar inversul său este egal cu $e^{-X}$ ${\ displaystyle e ^ {- X}}$ $și ^ {- X}$ , în timp ce derivatul din punctul $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este harta liniară pe care o trimite $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ în $u\cdot e^{X}$ ${\ displaystyle u \ cdot e ^ {X}}$ $u \ cdot e ^ {X}$ .

Teorema Hamilton-Cayley permite reducerea procedurii de la calcularea puterilor matricei de la infinitul dat de definiție la cea a puterilor n-2 (identitatea și matricea în sine nu sunt calculate banal), complicând în același timp coeficienții:

\mathrm {e} ^{A}=\sum _{k=0}^{n-1}\alpha _{k}A^{k},

{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {A} = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ alpha _ {k} A ^ {k},}

\ mathrm e ^ A = \ sum_ {k = 0} ^ {n-1} \ alpha_k A ^ k,

acești coeficienți n-1 sunt de fapt obținuți din soluția unui sistem liniar care este întotdeauna unic deoarece matricea sistemului este un pătrat de tip Vandermonde cu n-1 rânduri și n-1 coloane în valorile proprii ale matricei de pornire , fiecare cu multiplicitate $n_{i}$ ${\ displaystyle n_ {i}}$ $n_i$ , apoi cu $\sum _{j=1}^{h}n_{j}=n$ ${\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {h} n_ {j} = n}$ $\ sum_ {j = 1} ^ h n_j = n$ :

(\alpha _{k})=([(\lambda _{j}^{k})^{(i)}]^{T})^{-1}\,(e^{i\lambda _{j}})\qquad 0\leq k\leq n-1,\,1\leq j\leq h,\,0\leq i\leq n_{j}-1.

{\ displaystyle (\ alpha _ {k}) = ([(\ lambda _ {j} ^ {k}) ^ {(i)}] ^ {T}) ^ {- 1} \, (e ^ {i \ lambda _ {j}}) \ qquad 0 \ leq k \ leq n-1, \, 1 \ leq j \ leq h, \, 0 \ leq i \ leq n_ {j} -1.}

(\ alpha_k) = ([(\ lambda_j ^ k) ^ {(i)}] ^ T) ^ {- 1} \, (e ^ {i \ lambda_j}) \ qquad 0 \ le k \ le n-1 , \, 1 \ le j \ le h, \, 0 \ le i \ le n_j-1.

În contextul algebrelor Banach necomutative, cum ar fi algebrele matriciale sau operatorii din spațiul Banach sau din spațiul Hilbert , funcția exponențială este adesea considerată ca o funcție de argument real:

f(t)=\mathrm {e} ^{tA},\

{\ displaystyle f (t) = \ mathrm {e} ^ {tA}, \}

f (t) = \ mathrm e ^ {t A}, \

unde este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este un element al algebrei fixe și $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ este orice număr real. Această funcție are câteva proprietăți importante:

f(s+t)=f(s)f(t)\qquad f(0)=1\qquad f'(t)=Af(t).

{\ displaystyle f (s + t) = f (s) f (t) \ qquad f (0) = 1 \ qquad f '(t) = Af (t).}

f (s + t) = f (s) f (t) \ qquad f (0) = 1 \ qquad f '(t) = A f (t).

Exemplu de calcul

Să calculăm exponențialul

$\exp {{\begin{bmatrix}-1&2&0\\0&-2&0\\1&2&-2\end{bmatrix}}t}=\exp {\begin{bmatrix}-t&2t&0\\0&-2t&0\\t&2t&-2t\end{bmatrix}}$ ${\ displaystyle \ exp {{\ begin {bmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \ end {bmatrix}} t} = \ exp {\ begin {bmatrix } -t & 2t & 0 \\ 0 & -2t & 0 \\ t & 2t & -2t \ end {bmatrix}}}$ ${\ displaystyle \ exp {{\ begin {bmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \ end {bmatrix}} t} = \ exp {\ begin {bmatrix } -t & 2t & 0 \\ 0 & -2t & 0 \\ t & 2t & -2t \ end {bmatrix}}}$

valorile proprii sunt λ ₁ = -1 cu multiplicitate n ₁ = 1 și λ ₂ = -2 cu multiplicitate n ₂ = 2 de aceea coeficienții sunt:

${\begin{bmatrix}\alpha _{0}(t)\\\alpha _{1}(t)\\\alpha _{2}(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&-1&1\\1&-2&4\\0&1&-4\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}\mathrm {e} ^{-t}\\\mathrm {e} ^{-2t}\\t\mathrm {e} ^{-2t}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4\mathrm {e} ^{-t}-3\mathrm {e} ^{-2t}-2t\mathrm {e} ^{-2t}\\4\mathrm {e} ^{-t}-4\mathrm {e} ^{-2t}-3t\mathrm {e} ^{-2t}\\\mathrm {e} ^{-t}-\mathrm {e} ^{-2t}-t\mathrm {e} ^{-2t}\end{bmatrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ alpha _ {0} (t) \\\ alpha _ {1} (t) \\\ alpha _ {2} (t) \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 4 \\ 0 & 1 & -4 \ end {bmatrix}} ^ {- 1} {\ begin {bmatrix} \ mathrm {e} ^ {- t} \\\ mathrm {e} ^ {- 2t} \\ t \ mathrm {e} ^ {- 2t} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 4 \ mathrm {e} ^ {- t } -3 \ mathrm {e} ^ {-2t} -2t \ mathrm {e} ^ {- 2t} \\ 4 \ mathrm {e} ^ {- t} -4 \ mathrm {e} ^ {- 2t} -3t \ mathrm {e} ^ {-2t} \\\ mathrm {e} ^ {- t} - \ mathrm {e} ^ {- 2t} -t \ mathrm {e} ^ {- 2t} \ end { bmatrix}}}$ $\ begin {bmatrix} \ alpha_0 (t) \\ \ alpha_1 (t) \\ \ alpha_2 (t) \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -2 & 4 \ \ 0 & 1 & -4 \ end {bmatrix} ^ {- 1} \ begin {bmatrix} \ mathrm e ^ {- t} \\ \ mathrm e ^ {- 2t} \\ t \ mathrm e ^ {- 2t } \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 4 \ mathrm e ^ {- t} -3 \ mathrm e ^ {- 2t} - 2t \ mathrm e ^ {- 2t} \\ 4 \ mathrm e ^ {- t} -4 \ mathrm e ^ {- 2t} - 3t \ mathrm e ^ {- 2t} \\ \ mathrm e ^ {- t} - \ mathrm e ^ {- 2t} - t \ mathrm e ^ {- 2t } \ end {bmatrix}$

prin urmare, se dovedește că:

${\begin{aligned}\exp {\begin{bmatrix}-t&2t&0\\0&-2t&0\\t&2t&-2t\end{bmatrix}}&=(4\mathrm {e} ^{-t}-3e^{-2t}-2te^{-2t}){\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}+(4e^{-t}-4e^{-2t}-3te^{-2t}){\begin{bmatrix}-1&2&0\\0&-2&0\\1&2&-2\end{bmatrix}}\\&\qquad +(e^{-t}-e^{-2t}-te^{-2t}){\begin{bmatrix}1&-6&0\\0&4&0\\-3&-6&4\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}e^{-t}&2e^{-t}-2e^{-2t}&0\\0&e^{-2t}&0\\e^{-t}-e^{-2t}&2e^{-t}-2e^{-2t}&e^{-2t}\end{bmatrix}}\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ exp {\ begin {bmatrix} -t & 2t & 0 \\ 0 & -2t & 0 \\ t & 2t & -2t \ end {bmatrix}} & = (4 \ mathrm {e} ^ {- t} - 3e ^ {- 2t} -2te ^ {- 2t}) {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} + (4e ^ {- t} -4e ^ {- 2t} -3te ^ {- 2t}) {\ begin {bmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \ end {bmatrix}} \\ & \ qquad + (e ^ {- t} -e ^ {- 2t} -te ^ {- 2t}) {\ begin {bmatrix} 1 & -6 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ - 3 & -6 & 4 \ end {bmatrix}} \\ & = {\ begin {bmatrix} e ^ {- t} & 2e ^ {-t} -2e ^ {- 2t} & 0 \\ 0 & e ^ {- 2t} & 0 \\ e ^ {- t} -e ^ {- 2t} & 2e ^ {- t} -2e ^ {- 2t} & e ^ {- 2t} \ end {bmatrix}} \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ exp {\ begin {bmatrix} -t & 2t & 0 \\ 0 & -2t & 0 \\ t & 2t & -2t \ end {bmatrix}} & = (4 \ mathrm {e} ^ {- t} - 3e ^ {- 2t} -2te ^ {- 2t}) {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} + (4e ^ {- t} -4e ^ {- 2t} -3te ^ {- 2t}) {\ begin {bmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \ end {bmatrix}} \\ & \ qquad + (e ^ {- t} -e ^ {- 2t} -te ^ {- 2t}) {\ begin {bmatrix} 1 & -6 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ - 3 & -6 & 4 \ end {bmatrix}} \\ & = {\ begin {bmatrix} e ^ {- t} & 2e ^ {-t} -2e ^ {- 2t} & 0 \\ 0 & e ^ {- 2t} & 0 \\ e ^ {- t} -e ^ {- 2t} & 2e ^ {- t} -2e ^ {- 2t} & e ^ {- 2t} \ end {bmatrix}} \ end {align}}}$

Se poate observa că modul nu apare în matricea exponențială $te^{-2t}$ ${\ displaystyle you ^ {- 2t}}$ $tu ^ {- 2t}$ care este în schimb prezent în coeficienții inițiali.

Algebra minciunii

Harta exponențială care trimite o algebră Lie în grupul Lie care dă naștere posedă proprietățile menționate mai sus și acest lucru justifică terminologia. De fapt, de când $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ este algebra Lie a grupului Lie al tuturor numerelor reale pozitive cu suma, funcția exponențială obișnuită a argumentelor reale este un caz special al situației algebrei Lie. În mod similar, din moment ce algebra Lie $M(n,\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle M (n, \ mathbb {R})}$ $M (n, \ R)$ dintre toate matricele pătrate aparține grupului Lie al tuturor matricilor pătrate inversabile, funcția exponențială pentru matricele pătrate este un caz special al hărții exponențiale a algebrei Lie.

Funcție exponențială dublă

Termenul de funcție exponențială dublă poate avea două semnificații:

O funcție cu doi termeni exponențiali, cu exponenți diferiți.
O functie $f(x)=a^{a^{x}}$ ${\ displaystyle f (x) = a ^ {a ^ {x}}}$ $f (x) = a ^ {a ^ x}$ , care crește mai repede decât o funcție exponențială. De exemplu, dacă $a=10$ ${\ displaystyle a = 10}$ $a = 10$ : $f(-1)={\sqrt[{10}]{10}}\approx 1,26$ ${\ displaystyle f (-1) = {\ sqrt [{10}] {10}} \ approx 1.26}$ ${\ displaystyle f (-1) = {\ sqrt [{10}] {10}} \ approx 1.26}$ , $f(0)=10$ ${\ displaystyle f (0) = 10}$ ${\ displaystyle f (0) = 10}$ , $f(1)=10^{10}$ ${\ displaystyle f (1) = 10 ^ {10}}$ ${\ displaystyle f (1) = 10 ^ {10}}$ , $f(2)=10^{100}=$ ${\ displaystyle f (2) = 10 ^ {100} =}$ ${\ displaystyle f (2) = 10 ^ {100} =}$ googol , $\ldots$ ${\ displaystyle \ ldots}$ $\ ldots$ , $f(100)=$ ${\ displaystyle f (100) =}$ ${\ displaystyle f (100) =}$ googolplex .

Reprezentare prin fracție continuă

Prin aplicarea formulei fracției continue a lui Euler este posibil să se reprezinte funcția exponențială prin intermediul unei fracții continue :

e^{z}={\cfrac {1}{1-{\cfrac {z}{1+z-{\cfrac {z}{2+z-{\cfrac {2z}{3+z-{\cfrac {3z}{4+z-{\cfrac {4z}{5+z-\ddots }}}}}}}}}}}}

{\ displaystyle e ^ {z} = {\ cfrac {1} {1 - {\ cfrac {z} {1 + z - {\ cfrac {z} {2 + z - {\ cfrac {2z} {3 + z - {\ cfrac {3z} {4 + z - {\ cfrac {4z} {5 + z- \ ddots}}}}}}}}}}}}}

{\ displaystyle e ^ {z} = {\ cfrac {1} {1 - {\ cfrac {z} {1 + z - {\ cfrac {z} {2 + z - {\ cfrac {2z} {3 + z - {\ cfrac {3z} {4 + z - {\ cfrac {4z} {5 + z- \ ddots}}}}}}}}}}}}}

care converge uniform pe fiecare domeniu limitat din planul complex.

O altă reprezentare este următoarea: ^[8] ^[9]

e^{z}={\cfrac {1}{1-{\cfrac {z}{1+{\cfrac {z}{2-{\cfrac {z}{3+{\cfrac {z}{2-{\cfrac {z}{5+{\cfrac {z}{2-\ddots }}}}}}}}}}}}}}

{\ displaystyle e ^ {z} = {\ cfrac {1} {1 - {\ cfrac {z} {1 + {\ cfrac {z} {2 - {\ cfrac {z} {3 + {\ cfrac {z } {2 - {\ cfrac {z} {5 + {\ cfrac {z} {2- \ ddots}}}}}}}}}}}}}}}

{\ displaystyle e ^ {z} = {\ cfrac {1} {1 - {\ cfrac {z} {1 + {\ cfrac {z} {2 - {\ cfrac {z} {3 + {\ cfrac {z } {2 - {\ cfrac {z} {5 + {\ cfrac {z} {2- \ ddots}}}}}}}}}}}}}}}

Exemple

Exemplu fizic de funcție exponențială

Un exemplu simplu este cel al unui obiect aruncat la o viteză $v_{0}$ ${\ displaystyle v_ {0}}$ $v_0$ într-un mediu vâscos. Dacă presupunem că rezistența plasată de vehicul la avansarea obiectului este proporțională cu viteza $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ dintre acestea din urmă:

F=-kv\,

{\ displaystyle F = -kv \,}

F = -kv \,

există o relație între viteză și variația sa în timp (accelerația a):

ma=-kv,

{\ displaystyle ma = -kv,}

ma = -k v,

adică:

m{\frac {dv}{dt}}=-kv.

{\ displaystyle m {\ frac {dv} {dt}} = - kv.}

m \ frac {dv} {dt} = -k v.

Se poate arăta că soluția acestei ecuații este:

v(t)=v_{0}e^{-t/\tau }=v_{0}e^{-t/{\frac {m}{k}}}.

{\ displaystyle v (t) = v_ {0} e ^ {- t / \ tau} = v_ {0} e ^ {- t / {\ frac {m} {k}}}.}

v (t) = v_0 și ^ {- t / \ tau} = v_0 și ^ {- t / \ frac {m} {k}}.

În cazul unui glonț aruncat în aer, ar fi mai corect să presupunem că rezistența este proporțională cu pătratul vitezei, cu toate acestea tendința vitezei în timp este descrisă de o funcție formată pornind de la constanta matematică $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ .

Calcul numeric

Pentru a obține o aproximare numerică a funcției exponențiale, seria infinită poate fi scrisă după cum urmează:

e^{x}={\frac {1}{0!}}+x\left({\frac {1}{1!}}+x\left({\frac {1}{2!}}+x\left({\frac {1}{3!}}+x\left({\frac {1}{4!}}+x\left({\frac {1}{5!}}+\cdots \right)\right)\right)\right)\right).

e^{x}={\frac {1}{0!}}+x\left({\frac {1}{1!}}+x\left({\frac {1}{2!}}+x\left({\frac {1}{3!}}+x\left({\frac {1}{4!}}+x\left({\frac {1}{5!}}+\cdots \right)\right)\right)\right)\right).

e^x=\frac{1}{0!}+x\left(\frac{1}{1!}+x\left(\frac{1}{2!}+x\left(\frac{1}{3!}+x\left(\frac{1}{4!}+x\left(\frac{1}{5!}+\cdots \right)\right)\right)\right)\right).

Questa espressione converge rapidamente se $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ è minore di 1.

In caso contrario, è possibile utilizzare la seguente identità:

e^{x}=e^{z+f}=e^{z}\cdot \left[{\frac {1}{0!}}+f\left({\frac {1}{1!}}+f\left({\frac {1}{2!}}+f\left({\frac {1}{3!}}+f\left({\frac {1}{4!}}+f\left({\frac {1}{5!}}+\cdots \right)\right)\right)\right)\right)\right],

e^{x}=e^{z+f}=e^{z}\cdot \left[{\frac {1}{0!}}+f\left({\frac {1}{1!}}+f\left({\frac {1}{2!}}+f\left({\frac {1}{3!}}+f\left({\frac {1}{4!}}+f\left({\frac {1}{5!}}+\cdots \right)\right)\right)\right)\right)\right],

e^x = e^{z+f} = e^z \cdot \left[\frac{1}{0!}+f\left(\frac{1}{1!}+f\left(\frac{1}{2!}+ f\left(\frac{1}{3!}+f\left(\frac{1}{4!}+f\left(\frac{1}{5!}+\cdots \right)\right)\right)\right)\right)\right],

dove $z$ ${\displaystyle z}$ $z$ è la parte intera di $x$ ${\displaystyle x}$ $x$ , $f=x-z$ ${\displaystyle f=xz}$ $f = x - z$ e di conseguenza $z$ ${\displaystyle z}$ $z$ è un numero intero e $f$ ${\displaystyle f}$ $f$ è un numero reale minore di 1.

Note

^ ^a ^b W. Rudin , p. 1 .
^ W. Rudin , p. 2 .
^ W. Rudin , p. 88 .
^ W. Rudin , p. 89 .
^ W. Rudin , p. 91 .
^ W. Rudin , p. 180 .
^ W. Rudin , p. 189 .
^ Wolfram Mathworld - Exponential Function , su mathworld.wolfram.com . URL consultato il 12 aprile 2020 .
^ Mauro Fiorentini - Funzioni espresse tramite frazioni continue , su bitman.name . URL consultato il 10 aprile 2020 .

Bibliografia

Walter Rudin, Real and Complex Analysis , Mladinska Knjiga, McGraw-Hill , 1970, ISBN 0-07-054234-1 .

Voci correlate

Altri progetti

Wikibooks contiene testi o manuali su funzione esponenziale
Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su funzione esponenziale

Collegamenti esterni

( EN ) Yu.V. Sidorov, Exponential function , in Encyclopaedia of Mathematics , Springer e European Mathematical Society, 2002.
( EN ) Eric W. Weisstein, Exponential Function , in MathWorld , Wolfram Research.
( EN ) exponential function , in PlanetMath .
( EN ) complex exponential function , in PlanetMath .

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 67951 · NDL ( EN , JA ) 00571261

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[def-1] W. Rudin , p. 1 .

[2] W. Rudin , p. 2 .

[3] W. Rudin , p. 88 .

[4] W. Rudin , p. 89 .

[5] W. Rudin , p. 91 .

[6] W. Rudin , p. 180 .

[7] W. Rudin , p. 189 .

[mathworld-8] Wolfram Mathworld - Exponential Function , su mathworld.wolfram.com . URL consultato il 12 aprile 2020 .

[9] Mauro Fiorentini - Funzioni espresse tramite frazioni continue , su bitman.name . URL consultato il 10 aprile 2020 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]